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1、邯郸学院本科毕业论文题 目 全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨学 生 柴云飞指导教师 闫 峰 教授年 级 2009级本科专 业 数学与应用数学二级学院 数学系（系、部）邯郸学院数学系2013年6月 郑重声明本人的毕业论文是在指导教师闫峰的指导下独立撰写完成的如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督特此郑重声明论文经“中国知网”论文检测系统检测，总相似比为5.80% 毕业论文作者（签名）： 年 月 日全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨摘要全国大学生数学建模竞赛作为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，
2、越来越受到人们的重视，所以建模竞赛的方法也就变得尤为重要随着竞赛的不断发展，赛题的开放性逐步增大，一道赛题可用多种解法，各种求解的算法有时会相互融合，同时也在向大规模数据处理方向发展，这就对选手的能力提出了更高的要求由于建模方法种类众多，无法一一介绍，所以本文主要介绍了四种比较常用的数学建模竞赛方法，包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论方法，并结合历年赛题加以说明关键词：数学建模竞赛 统计学方法 数学规划 图论Commonly Used Modeling Method of China Undergraduate Mathematical Contest in M
3、odelingChai yunfei Directed by Professor Yan fengABSTRACTThe China undergraduate mathematical contest in modeling has been attention by more and more people as a basic subject of the largest national college competition. The method of modeling competition has become more and more important. Open que
4、stions gradually increased with the development of competition. Most of the games can be solved by lots of solutions. Sometimes these methods can be used together. And there is also a lot of data which puts forward higher requirement on the ability of players. The modeling methods is too numerous to
5、 mention, so this article mainly four kinds Commonly used modeling method are introduced that differential and difference equations modeling method, Mathematical programming modeling method, Statistics modeling method, graph theory and interprets with calendar years test questions.KEY WORDS：Mathemat
6、ical contest in modeling Statistics method Mathematical programming Graph theory目 录摘 要I英文摘要II 前言11 微分方程与差分方程建模21.1 微分方程建模21.1.1 微分方程建模的原理和方法21.1.2 微分方程建模应用实例31.2 差分方程建模41.2.1 差分方程建模的原理和方法41.2.2 差分方程建模应用实例52 数学规划建模52.1 线性规划建模的一般理论62.2 线性规划建模应用实例73 统计学建模方法83.1 聚类分析83.1.1 聚类分析的原理和方法83.1.2 聚类分析应用实例83.2
7、回归分析93.2.1 回归分析的原理与方法93.2.2 回归分析应用实例104 图论建模方法104.1 两种常见图论方法介绍114.1.1 模拟退火法的基本原理114.1.2 最短路问题114.2 图论建模应用实例125 小结13参考文献14致谢15前言全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛参赛者需要根据题目要求，在三天时间内完成一篇包括模型假设、模型建立和求解、计算方法的设计和实现、模型结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文通过参加竞赛的训练和比赛，可以提高学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，而且在
8、培养团队精神和撰写科技论文等方面都会得到十分有益的锻炼竞赛题目的涉及面比较宽，有工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等竞赛选手不一定预先掌握深入的专业知识，而只需要学过高等数学的相关课程即可，并且题目具有较大的灵活性，便于参赛者发挥其创造能力近年来，竞赛题目包含的数据较多，手工计算一般不能实现，所以就对参赛者的计算机能力提出了更高的要求，如2003年B题，某些问题的解决需要使用计算机软件；2001年A题，问题的数据读取需要计算机技术，并且对于给出的图像，需要用图像处理的方法获得；再如2004年A题则需要利用数据库数据，数据库方法，统计软件包等等竞赛题目的总体特点可大致归
9、纳如下：（1）实用性不断加强，问题和数据来自于实际，解决方法需要切合实际，模型和结果可以应用于实际；（2）综合性不断加强，解法多样，方法融合，学科交叉；（3）数据结构越来越复杂，包括数据的真实性，数据的海量性，数据的不完备性，数据的冗余性等；（4）开放性也越来越突出，题意的开放性，思路的开放性，方法多样，结果不唯一等总体来说，赛题向大规模数据处理方向发展，求解算法和各类现代算法相互融合纵观历年的赛题，主要用到的建模方法有：初等数学模型、微分与差分方程建模、组合概率、数据处理、统计学建模、计算方法建模、数学规划、图论方法、层次分析、插值与拟合、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、计
10、算机模拟法、灰色系统理论、时间序列等本文不一一列举竞赛题目中涉及的所有方法，只是重点讨论其中一些比较常用的方法，包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论建模方法，并结合案例说明建模方法的原理及应用1 微分方程与差分方程建模在很多竞赛题目中，常常会涉及很多变量之间的关系，找出它们之间的函数关系式具有重要意义可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但可以得到含有所求函数的导数（或微分）或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程或差分方程. 建立微分方程或差分方程的数学模型是一种重要的建模方法.如1996年A题“最优捕鱼策略”，1997年A题“零件参数
11、设计”，2003年A题“SARS的传播”，2007年A题“中国人口增长预测”，2009年A题“最优捕鱼策略”等赛题中，都用到了这种方法1.1 微分方程建模1.1.1 微分方程建模的原理和方法一般来说，任何时变问题中随时间变化而发生变化的量与其它一些量之间的关系经常以微分方程的形式来表现例1.1 有一容器装有某种浓度的溶液，以流量注入该容器浓度为的同样溶液，假定溶液立即被搅拌均匀，并以的流量流出混合后的溶液，试建立反映容器内浓度变化的数学模型解 注意到溶液浓度=，因此，容器中溶液浓度会随溶质质量和溶液体积变化而发生变化不妨设t时刻容器中溶质质量为，初始值为,时刻容器中溶液体积为，初始值为，则这段
12、时间内有， （1）其中表示单位时间内注入溶液的浓度，表示单位时间内流出溶液的浓度，当很小时，在内有. （2）对式（1）两端同除以，令，则有. （3）即所求问题的微分方程模型虽然它是针对液体溶液变化建立的，但对气体和固体浓度变化同样适用实际应用中，许多时变问题都可取微小的时间段去考察某些量之间的变化规律，从而建立问题的数学模型，这是数学建模中微分方程建模常用手段之一常用微分方程建模的方法主要有：（1）按实验定律或规律建立微分方程模型此种建模方法充分依赖于各个学科领域中有关实验定律或规律以及某些重要的已知定理，这种方法要求建模者有宽广的知识视野,这样才能对具体问题采用某些熟知的实验定律（2）分析微
13、元变化规律建立微分方程模型求解某些实际问题时，寻求一些微元之间的关系可以建立问题的数学模型如例1.1中考察时间微元，从而建立起反应溶液浓度随时间变化的模型此建模方法的出发点是考察某一变量的微小变化，即微元分析，找出其他一些变量与该微元间的关系式，从微分定义出发建立问题的数学模型（3）近似模拟法在许多实际问题中，有些现象的规律性并非一目了然，或有所了解亦是复杂的，这类问题常用近似模拟方法来建立问题的数学模型一般通过一定的模型假设近似模拟实际现象，将问题做某些规范化处理后建立微分方程模型，然后分析、求解，并与实际问题作比较，观察模型能否近似刻画实际现象近似模拟法的建模思路就是建立能够近似刻画或反映
14、实际现象的数学模型，因此在建模过程中经常做一些较合理的模型假设使问题简化，然后通过简化建立近似反映实际问题的数学模型1.1.2 微分方程建模应用实例例1.2（2003年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题） SARS传播的预测2003年爆发的“SARS”疾病得到了许多重要的经验和教训，使人们认识到研究传染病的传播规律的重要性题目给出了感病情况的三个附件，要求对SARS的传播建立数学模型：（1）对SARS的传播建立一个自己的模型，并说明模型的优缺点；（2）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测问题求解过程分析 由于题目具有开放性，故选择文献1中的求解思路分析.传染病的传
15、播模式可近似分为自由传播阶段和控后阶段，然后将人群分为易感者，感病者，移出者三类由三者之间的关系可得到下列微分方程：，利用附件中给出的数据，可以将上述方程变形为， 其中，其解为.其中为初始值但此模型只适用于病例数与总人口数具有可比性的情况，当病例数远小于总人口数时，感病人数将随时间以指数增长.这是按实验定律或规律建立的微分方程模型.为进一步改进模型，用计算机跟踪病毒的个体传播情况，又建立计算机模拟模型然后用计算机模拟北京5月10日之前SARS的传播情况，并对5月10日以后的传播情况进行预测但是得到的有效接触率与实际统计数据有所偏差，所以统计数据，为参数的确定寻求医学上的支持，并以随机模拟取代完
16、全确定性的模拟，对原模型进行改进，建立随机模拟模型通过计算机编程，产生正态分布的随机数，并对传染情况进行500次模拟，即可进行预测，并可得出对SARS疫情控制提出的相应建议1.2 差分方程建模1.2.1 差分方程建模的原理和方法差分方程在数学建模竞赛中应用的频率极高，所以要对这种方法引起足够的重视它针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量具体方法是：根据实际的规律性质、平衡关系等，建立离散变量所满足的关系式，从而建立差分方程模型差分方程可以分为不同的类型，如一阶和高阶差分方程，常系数和变系数差分方程，线性和非线性差分方程等等建立差分方程模型一般要注意以下问题：（1）注意题中的离散变化量，对
17、过程进行分析，尤其要注意形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量；（2）通过对具体变化过程的分析，列出满足题意的差分方程，其中入手点是找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程1.2.2 差分方程建模应用实例例1.3（2007年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题） 中国人口增长预测.题目要求从中国的实际情况和人口增长的特点出发，参考附录中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，特别要指出模型中的优点与不足之处.问题求解过程分析 由于题目具有开放性，故选择文献2中的求解思路分析.通
18、过分析题中相关的数据，考虑到我国近年来人口发展的总趋势，因为涉及到人口的增长和变换，所以可以先用微分方程来建立模型，并对我国人口增长的中短期和长期趋势做出预测首先，根据灰色系统理论，使用灰色关联分析模型法对人口系统结构进行关联分析，找出影响人口增长的主要因素；其次使用年龄推算法进行短期预测.在建立和求解长期预测模型时，根据人口阻滞增长模型（Logistic模型），可以考虑对中国人口老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及乡村人口城镇化等因素建立新的人口增长的差分方程模型.但是它仅给出了人口总数的变化规律，反映不出各类人口的详细信息，所以我们需要建立离散化的模型，并进一步可以得到全面系统地反
19、应一个时期内人口数量状况的差分方程，可以用微分和差分方程理论来表现和模拟人口数量的变化规律从而对人口分布的状况、变化趋势、总体特征等有更加详细和科学的了解在模型的求解过程中，用到了MATLAB软件，并做参数估计，利用所得结果和题目给出的近五年来的人口数据，对我国人口发展趋势进行了预测，得到了在老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及乡村人口城镇化等因素影响下，未来我国人口发展预测情况.2 数学规划建模数学规划是指在一系列条件限制下，寻求最优方案，使得目标达到最优的数学模型，它是运筹学的一个重要分支数学规划的内容十分丰富，包括许多研究分支，如：线性规划、非线性规划、整数规划、二次规划、0-1
20、规划、多目标规划、动态规划、参数规划、组合优化、随机规划、模糊规划、多层规划问题等在1993年A题“非线性交调的频率设计”，1993年B题“足球队排名”，1995年A题“飞行管理问题”，1996年B题“节水洗衣机”，1997年A题“零件的参数设计”，1998年A题“一类投资组合问题”，1999年B题“钻井布局”，2001年B题“公交车调度问题”，2002年A题“车灯线光源的优化”，2006年A题“出版社书号问题”，2007年B题“城市公交线路选择问题”等赛题中，都用到了规划的方法在此以线性规划为例，对规划的方法进行探讨2.1 线性规划建模的一般理论线性规划建模方法主要用于解决生产实际中的资源利
21、用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法一般的优化问题是指用“最好”的方式，使用或分配有限的资源即劳动力、原材料、机器、资金等，使得费用最小或利润最大优化模型的一般形式为: (4) (5).由（4）、（5）组成的模型属于约束优化若只有（4）式就是无约束优化称为目标函数，称为约束条件在优化模型中，如果目标函数和约束条件中的都是线性函数，则该模型称为线性规划建立实际问题线性规划模型的步骤如下：（1）设置要求解的决策变量决策变量选取得当，不仅能顺利地建立模
22、型而且能方便地求解，否则很可能事倍功半（2）找出所有的限制，即约束条件，并用决策变量的线性方程或线性不等式来表示当限制条件多，背景比较复杂时，可以采用图示或表格形式列出所有的已知数据和信息，从而避免“遗漏”或“重复”所造成的错误（3）明确目标要求，并用决策变量的线性函数来表示，标出对函数是取极大还是取极小的要求需要特别说明的是，要使用线性规划方法来处理一个实际问题，必须具备下面的条件：（1）优化条件：问题的目标有极大化或极小化的要求,而且能用决策变量的线性函数来表示（2）选择条件：有多种可供选择的可行方案，以便从中选取最优方案（3）限制条件：达到目标的条件是有一定限制的（比如，资源的供应量有限
23、度等），而且这些限制可以用决策变量的线性等式或线性不等式表示出来此外，描述问题的决策变量相互之间应有一定的联系，才有可能建立数学关系，这一点自然是不言而喻的 线性规划模型的求解可用图解法或单纯形法随着计算机的普及和大量数学软件的出现，可以利用现成的软件MATLAB或LINGO等求解，在此不再叙述2.2 线性规划建模应用实例例2.1（2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题） 艾滋病疗法的评价及疗效的预测.题目给出了美国某艾滋病医疗试验机构公布的两组数据，数据涉及到了病人CD4和HIV的浓度含量的测试结果.根据所给的资料需要参赛者完成以下问题：（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者
24、确定最佳治疗终止时间；（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间；（3）如果病人需要考虑4种疗法的费用，对评价和预测有什么影响.问题求解过程分析 由于题目具有开放性，故选择文献3中的求解思路进行分析. 首先对题目所给数据进行分析,考虑到治疗的效果与患者的年龄有关，将患者按年龄分组，如岁,岁,岁及岁以上组每组中按照种疗法和个治疗阶段（如周，周，周，周），构造个决策单元取种药品量为输入，治疗各个阶段末患者的值与开始治疗时值的比值为输出.然后建立相应的数学模型,利用相对有效性评价方法，建立分式规划模型并经过变换，转化为线性规划
25、模型求解，对各年龄组患者在各阶段的治疗效率进行评价计算结果：对第年龄组疗法和在整个治疗中效率较高，在第阶段仍然有效；对第年龄组疗法在第，阶段有效；对第年龄组疗法，在第阶段有效；对第年龄组疗法，在第，阶段有效表明只有岁的年种轻患者，才能在治疗的最后阶段仍然有有效的疗法随后，由线性规划模型的对偶形式建立预测模型，对各年龄组各种疗法下一阶段的疗效进行预测若由某决策单元得到的实际输出大于预测输出，则该决策单元相对有效；反之，说明该种疗法对该组患者在治疗的未来阶段不再有效，应该转换疗法3 统计学建模方法在数学建模竞赛中，常常会涉及到大量的数据，因此，我们就需要用统计学建模方法对这些数据进行处理此类方法主
26、要包括统计分析、计算机模拟、回归分析、聚类分析、数据分类、判别分析、主成分分析、因子分析、残差分析、典型相关分析、时间序列等如2004年A题“奥运会临时超市网点设计问题”，2004年B题“电力市场的输电阻塞管理问题”，2007年A题“人口增长预测问题”，2008年B题“大学学费问题”，2012年A题“葡萄酒的评价”等都用到了这种建模方法在此选取其中两类方法进行阐述3.1 聚类分析3.1.1 聚类分析的原理和方法该方法说的通俗一点就是，将个样本，通过适当的方法选取聚类中心，通过研究8 d( $ M1 S9 u, f, r各样本和各个聚类中心的距离，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法来聚类，从
27、而可以得到聚类9 c. - % s: y, d, 9 e$ 结果利用sas 软件或者spss 软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图这种模型的的特点是直观，容易理解聚类分析的类型可分为：型聚类（即对样本聚类）和型聚类（即对变量聚类）& / rT: C. B, C: D- z n7 X+ h+ _: B( fM% ( x7 O9 u% S通常聚类中有相似系数法和距离法两种衡量标准.# . n. + E& G: d% h- s- X聚类方法种类多样，有可变类平均法、中间距离法、最长距离法、利差平均和法等.在应用时要9 |! B. K C2 r Q, S7 注意,在样本量比较大时，要得到聚类结
28、果就显得不是很容易,这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理主要的( B3 1 U4 h( |/ B; I方法步骤大致如下：（1） 首先把每个样本自成一类；（2）选取适当的衡量标准，得到衡量矩阵；（3）重新计算类间距离，得到衡量矩阵；（4）重复第2步，直到只剩下一个类.3.1.2 聚类分析应用实例例3.1（2012年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题） 葡萄酒的评价.题目的附件中给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，和该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据.要求参赛者建立数学模型解决以下问题：（1）分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信；（2）根据酿酒葡萄的理化指标
29、和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级；（3）分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系；（4）分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量.问题求解过程分析 由于题目具有开放性，故选择文献4中的求解思路分析. 由于给定了酿酒葡萄的理化指标，首先可将附录2和附录3中的一些数据进行处理.并可以据此对各种酿酒葡萄进行聚类分析，但是，由于题目中所给的数据庞大，所以可通过主成分分析法，简化并提取大部分有效信息，再用聚类分析对酿酒葡萄进行分级最后根据酿酒葡萄对应葡萄酒质量的平均值大小进行比较，排序分级接下来针对问题中分析酿酒葡萄与葡萄酒理化指标之间的
30、联系，及上面整理好的数据，采用回归分析原理，在SPSS中得到酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系再通过相关分析，得出相应的相关系数，从而得到相应的判断结论在分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系时，还用到了多元线性回归分析该模型用于生活实践中，也可以解决很多实际问题3.2 回归分析 回归分析是利用数据统计原理，对大量数据进行数学处理，并确定因变量与某些自变量的相关关系，建立一个相关性较好的回归方程，并加以外推，用于预测今后的因变量的变化的分析方法3.2.1 回归分析的原理与方法回归分析是在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型；对回归模型的可信度进行检验；判断每个
31、自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制回归分析主要包括一元线性回归、多元线性回归、非线性回归回归分析的主要步骤为：（1）根据自变量和因变量的关系，建立回归方程（2）解出回归系数（3）对其进行相关性检验，确定相关系数（4）当符合相关性要求后，便可与具体条件结合，确定预测值的置信区间.需要注意的是，要尽可能定性判断自变量的可能种类和个数，并定性判断回归方程的可能类型另外，最好应用高质量的统计数据，再运用数学工具和相关软件定量定性判断3.2.2 回归分析应用实例例3.2（2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题） 艾滋病疗法的评价及疗效的预测.题
32、目同例2.1问题求解过程分析 由于题目具有开放性，故选择文献3中的求解思路进行分析. 问题2的解决就用到回归模型.首先分析数据知，应建立时间的一次与二次函数模型，并经过统计分析比较，确定哪种较好所以可建立一个统一的回归模型，也可对每种疗法分别建立一个模型以总体回归模型为例，分别用一次与二次时间函数模型进行比较，可知疗法用一次模型较优，且一次项系数为负，即在减少，从数值看疗法优于疗法和；疗法用二次模型较优，即先增后减，在左右达到最大可以通过条回归曲线进行比较，显示疗法在周之前明显优于其它最后再用检验法作比较，结果是疗法与无显著性差异，而疗法与，与，与均有显著性差异4 图论建模方法图论建模方法在建
33、模竞赛中也经常涉及，应用十分广泛，并且解法巧妙，方法灵活多变如1990年B题“扫雪问题”，1991年B题“寻找最优Steiner树”，1992年B题“紧急修复系统的研制”，1993年B题“足球队排名”，1994年A题“逢山开路问题”，1994年B题“锁具装箱问题”，1995年B题“天车与冶炼炉的作业调度”，1997年B题“截断切割的最优排列”，1998年B题“灾情巡视最佳路线”，1999年B题“钻井布局”，2007年B题“城市公交线路选择问题”等都应用到了图论的方法图论近几年来发展十分迅速，在物理、化学、生物学、地理学、计算机科学、信息论、控制论、社会科学、军事科学以及计算机管理等方面都有着广
34、泛的应用因此图论越来越受到了全世界数学界和工程技术界乃至经营决策管理者的重视同时也成为了数学建模中一种十分重要的方法图论问题算法很多，包括最短路、最大流、最小生成树、二分匹配、floyd、frim等 4.1 两种常见图论方法介绍图论中的图是由平面上的一些点及这些点之间的连线（称为边）构成的图中的点表示要研究的离散对象，边表示对象之间的关系用这些点和边建立的离散对象来建立模型，通过这种办法许多难题都可以被巧妙地解决所以图论方法成为研究离散问题的一种重要手段由于图论方法所包含的概念和定义较多，无法全部列举在这里只就其中的两种方法作介绍4.1.1 模拟退火法的基本原理模拟退火法是模拟热力学中系统的降
35、温过程，当孤立粒子系统的温度以足够慢的速度下降时，系统近似处于热力学平衡状态，最后系统将达到本身的最低能量状态，即基态，这相当于能量函数的全局极小点其步骤如下(也称为Metropolis过程)：（1）给定初始温度，及初始点，计算该点的函数值；（2）随机产生扰动，得到新点计算新点函数值,及函数值差；（3）若，则接受新点，作为下一次模拟的初始点；（4）若，则计算新点接受概率：，产生区间上均匀分布的伪随机数,，如果，则接受新点作为下一次模拟的初始点；否则放弃新点，仍取原来的点作为下一次模拟的初始点4.1.2 最短路问题最短路问题是一个有着广泛应用价值的问题，例如各种管道的铺设，线路的安排，输送网络费
36、用等问题，都可以用到最短路求法在解决实际问题时，我们问题中的“边权”可以有着各种不同的解释例如在运输网络中，从运送一批货物到，若“边权”视为通常意义下的路程，则最短路问题就是使运输总路程最短的路线，若“边权”表示运输时间，则最短路就是运输总时间最短的路线，“边权”也可以代表费用，这时相应的就是总费用最省的的路线4.2 图论建模应用实例例4.2（2007年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题） 城市公交线路选择问题.在2007年B题中，涉及到了北京公交车的换乘问题，为了使乘客利益最大化，需要设计一个“公交线路选择自主查询系统”，其核心是线路选择的模型，该模型必须考虑实际情况，满足查询者的各种不同需
37、求要求解决如下问题：(1)仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法 (2)同时考虑公汽与地铁线路，解决以上问题(3)假设又知道所有站点之间的步行时间，请你给出任意两站点之间线路选择问题的数学模型问题求解过程分析 由于题目具有开放性，故选择文献5中的求解思路进行分析. 由于在现实情况下，乘客一般不能乘坐一辆公交车就到达终点，可能会换乘，但要是频繁倒车，会给乘客造成不便，也会增加车费所以可针对城市公交线路选择问题建立模型为了使问题简单化，我们分别以乘车时间、乘车费用以及换乘次数为目标函数，得到各自的较优线路，再通过对比，有效地处理这些线路，最终得出查询系统给出的结果首
38、先固定换乘次数，通过集合论的相关知识把确定换乘点的具体位置, 转化成确定一些集合间的交集，从而建立集合寻线算法，再根据集合相关公式，得到所有可行线路；进一步考虑时间和费用等因素，对可行线路进行处理比较，得出最佳线路图论模型中，通过图论的知识将整个北京市交通线路构建出一个有向图，每个站点与有向图的顶点一一对应，同一线路上的相邻站点对应为有向边，通过不同目标（时间、费用）给有向图进行不同的赋权，分别将不同目标转化为赋权有向图寻找最短有向路，根据最短路径算法，得到最佳线路最后综合评价了两个模型的优缺点以每个站点为顶点，若站点到站点有公交线路并且与为相邻站点，则连一条到有向边，根据所给的站点与线路我们
39、建立一个得到一个有重边的有向图一条公交线路就是的一条有向路则任意两公汽站点之间线路最少时间选择问题就转化为求的对应两顶点的最短有向路问题由图论模型所得的查询系统，是以图论知识中的最短路有向图为基础，对不同线路经过同一站点时，假设多个假想点，并将各不同站点之间所需时间作为权，对各线路站点赋权，分别确定以时间、费用、换乘为目标转化为寻找有向的完全图，并根据实际情况，建立出动态赋权有向图，得出最佳线路.5 小结建模竞赛的方法种类众多，本文主要对其中四中常用的方法进行了阐述、总结和探讨在每一章的开头，都列出了近几年来应用到此方法的赛题在四种方法中，微分与差分方程是比较基础的一种方法，在解决变量问题时经
40、常会用到第二种规划方法则是一种应用广泛的方法，很多赛题都会涉及到第三种是统计学方法，从近些年的赛题变化趋势来看，赛题题目中所给的数据越来越多，越来越复杂化，这就需要用统计学方法对这些数据进行分类处理，并最终得到相关结论最后一种是图论方法，这种方法灵活多变，应用巧妙，可以使很多复杂问题简单化当然还有很多常用方法，本文不再一一列举，希望本文能够对读者有所帮助参考文献1 李小华，刘纽. SARS传播的数学模型及对经济的影响J.http:/ 李译，李志坤，殷婷.中国人口增长预测J. ff3ea8a40029bd64783e2cf6.html，2013.53 周利庭，张洪雷，杨丽娜.艾滋病疗法的评价及疗
41、法的预测J. http:/wenku.4 未知作者葡萄酒的评价J. 45b307a896.html,2013.55 未知作者城市公交路线选择优化模型J. 297375a417866f8f1e.html,2013.56 华罗庚，王元编著数学模型选谈M湖南：湖南教育出版社，1991.77 Saaty TL. The Analytic Hierarchy Process M.Mcgraw 2 Hill,1980.48 杨学桢.数学建模方法M.保定：河北大学出版社，2000.89 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程M.北京：高等教育出版社，1983.810 王兴宇，樊恺.数学模型方法M.武汉：
42、华中理工大学出版社，1996.8致谢四年的大学生活转眼就要说再见了，当大学的最后一项任务即将完成的时候，终于长长地吁出一口气时，这时也突然意识到，原来四年马上就要过去了，到了该告别的时候了仔细想想，竟有些恍惚，四年的时光就这样过去了，猛然有了那么多的不舍可是终归真的要毕业了大学四年，读的是一所普普通通的二流大学，而且处在一个大学生泛滥的时代，面对着父母的期待，有时候真的会很茫然，甚至不知所措但是我依然踏踏实实的过完了这四年从开始的新奇，到后来的迷茫，再到后来的坚定和努力我无愧于这四年的大学生活，在即将给它画上句号的时候，我还是会带着微笑去回忆，这四年我成长了许多，从那么的稚嫩、懵懂变得成熟稳重
43、我会始终带着感恩去铭记这里，去铭记我的恩师们，你们辛苦了 特别感谢闫峰老师，在她细心的指导下，我才得以完成这篇论文，从开题、资料查找、修改到最后定稿，承载了她太多的心血，她的涓涓教诲，我会永远铭记心田我很自豪有这样一位老师，她值得我感激和尊敬 同时还要感谢数学系的全体授课老师，以及实习学校的许爱英老师，侯东校老师，你们使我终身受益感谢所有关心、鼓励、支持我的家人、亲戚和朋友我的大学爱情观目录：n 大学概念n 分析爱情健康观n 爱情观要三思n 大学需要对爱情要认识和理解n 总结1、什么是大学爱情：大学是一个相对宽松，时间自由，自己支配的环境，也正因为这样，培植爱情之花最肥沃的土地。大学生恋爱一直
44、是大学校园的热门话题，恋爱和学业也就自然成为了大学生在校期间面对的两个主要问题。恋爱关系处理得好、正确，健康，可以成为学习和事业的催化剂，使人学习努力、成绩上升；恋爱关系处理的不当，不健康，可能分散精力、浪费时间、情绪波动、成绩下降。因此，大学生的恋爱观必须树立在健康之上，并且树立正确的恋爱观是十分有必要的。因此我从下面几方面谈谈自己的对大学爱情观。2、什么是健康的爱情：1) 尊重对方，不显示对爱情的占有欲，不把爱情放第一位，不痴情过分；2) 理解对方，互相关心，互相支持，互相鼓励，并以对方的幸福为自己的满足; 3) 是彼此独立的前提下结合；3、什么是不健康的爱情：1)盲目的约会，忽视了学业;
45、2)过于痴情，一味地要求对方表露爱的情怀，这种爱情常有病态的夸张;3)缺乏体贴怜爱之心，只表现自己强烈的占有欲;4)偏重于外表的追求;4、大学生处理两人的在爱情观需要三思：6 不影响学习：大学恋爱可以说是一种必要的经历，学习是大学的基本和主要任务，这两者之间有错综复杂的关系，有的学生因为爱情，过分的忽视了学习，把感情放在第一位；学习的时候就认真的去学，不要去想爱情中的事，谈恋爱的时候用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。7 有足够的精力：大学生活，说忙也会很忙，但说轻松也是相对会轻松的！大学生恋爱必须合理安排自身的精力，忙于学习的同时不能因为感情的事情分心，不能在学习期间，放弃学习而去谈感情，把握合理的精力，分配好学习和感情。（2） 有合理的时间；大学时间可以分为学习和生活时间，合理把握好学习时间和生活时间的“度”很重要；学习的时候，不能分配学习时间去安排两人的在一起的事情，应该以学习为第一；
