微分方程建模课件.ppt

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1、微 分 方 程 建 模,1,感谢你的欣赏,2019-10-9,当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立对象的动态模型。,在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题。,2,感谢你的欣赏,2019-10-9,一、数学建模的基本思维过程,转化实际问题 1、对要讨论的问题所涉及的重要特征进行合理的数学刻画（转化），即用数学语言对问题涉及到的重要特征进行表述.,2、寻求的实际问题的文字叙述，利用一些原则或定律，将其转化为数

2、学描述。,解数学问题 用数学工具求解得到的数学问题。,3,感谢你的欣赏,2019-10-9,二、微分方程模型,涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边际”、“速度”、“运动”、“追赶”、“逃跑”、等等词语的确定性连续问题。,b、微分方程建模的基本手段 微元法 等,a、微分方程建模的对象,4,感谢你的欣赏,2019-10-9,1、寻找改变量 一般说来微分方程问题都遵循这样的文字等式变化率（微商）=单位增加量-单位减少量 等式通常是利用已有的原则或定律。,c、微分方程建模的基本规则,2、对问题中的特征进行数学刻画3、用微元法建立微分方程；4、确定微分方程的定解条件（初边值条件）；

3、5、求解或讨论方程（数值解或定性理论）6、模型和结果的讨论与分析。,5,感谢你的欣赏,2019-10-9,对论文的评价主要以“假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰性”为标准。所以，在论文中应努力反映出这些特点。,三、数学建模论文的撰写方法,6,感谢你的欣赏,2019-10-9,论文格式及组成,题目摘要，关键词 问题重述,模型假设分析与建立数学模型数学模型的求解 模型检验(总结与评价)模型推广 参考文献附录（若有）,正文,7,感谢你的欣赏,2019-10-9,1、题目,论文题目是一篇论文给出的涉及论文范围及水平的第一个重要信息。要求简短精练、高度概括、准确得体、恰如其分。既要

4、准确表达论文内容，恰当反映所研究的范围和深度，又要尽可能概括、精练。,8,感谢你的欣赏,2019-10-9,2、摘要、关键词,摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文既能获得必要的信息。在数学建模论文中，摘要是非常重要的一部分。数学建模论文的摘要应包含以下内容：所研究的实际问题、建立的模型、求解模型的方法、获得的基本结果以及对模型的检验或推广。论文摘要需要概括、简练的语言反映这些内容，尤其要突出论文的优点，如巧妙的建模方法、快速有效的算法、合理的推广等。一般科技论文的摘要要求不列举例证，不出现图、表和数学公式，不自我评价，且字数200以内。前几年，全国大学生数学建模

5、竞赛要求摘要字数应在300字以内。但从2001年开始，为了提高论文评选效率，要求将论文第一页全用作摘要，对字数已无明确限制。在摘要中也可适当出现反映结果数学公式。,9,感谢你的欣赏,2019-10-9,3、问题重述,数学建模比赛要求解决给定的问题，所以论文中应叙述给定问题。撰写这部分内容时，不要照抄原题，应把握问题的实质，再用较精练的语言叙述问题。,10,感谢你的欣赏,2019-10-9,4、模型假设,建模时，要根据问题的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，对问题进行必要的简化，做出一些合理的假设。模型假设部分要求用精练、准确的语言列出问题中所给出的假设，以及为了解决问题所做的必要、

6、合理的假设。假设作得不合理或太简单，会导致错误的或无用的模型；假设作得过分详尽，试图把复杂对象的众多因素都考虑进去，会使工作很难或无法继续下去，因此常常需要在合理与简化之间作出恰当的折中。,11,感谢你的欣赏,2019-10-9,5、分析与建立模型,根据假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，得到一个数学结构。建模时应尽量采用简单的数学工具，使建立的模型易于被人理解。在撰写这一部分时，对所用的变量、符号、计量单位应作解释，特定的变量和参数应在整篇文章保持一致。为使模型易懂，可借助于适当的图形、表格来描述问题或数据。,12,感谢你的欣赏,2019-10-9,6、模型求解,使用各种数学方法或软

7、件包求解数学模型。此部分应包括求解过程的公式推导、算法步骤及计算结果。为求解而编写的计算机程序应放在附录部分。有时需要对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏度分析等。,13,感谢你的欣赏,2019-10-9,7、模型检验,把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和适用性。如果结果与实际不符，问题常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模。这一步对于模型是否真的有用十分关键。,14,感谢你的欣赏,2019-10-9,8、模型推广,模型的评价不要流于空泛，需对模型的意义、可信程度、精度等可能问题，需要认真地思考和讨论。将该问题的

8、模型推广到解决更多的类似问题，或讨论给出该模型的更一般情况下的解法，或指出可能的深化、推广及进一步研究的建议。,15,感谢你的欣赏,2019-10-9,9、参考文献,在正文中提及或直接引用的材料或原始数据，应注明出处，并将相应的出版物列举在考文献中。需标明出版物名称、页码、著者姓名、出版日期、出版单位等。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：编号 作者，书名M，出版地：出版社，出版年。参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：编号 作者，论文名J，杂志名，出版年，卷期号：起止页码。参考文献中网上资源的表述方式为：编号 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。,16,感谢你的欣赏,2

9、019-10-9,10、附录,附录是正文的补充，与正文有关而又不便于编入正文的内容都收集在这里。包括：计算机程序、比较重要但数据量较大的中间结果等。为便于阅读，应在源程序中加入足够的注释和说明语句。,17,感谢你的欣赏,2019-10-9,18,最简单的数学模型之一“航行问题”,用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速每小时20千米/小时.,甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?,x=20y=5,感谢你的欣赏,2019-10-9,19,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（

10、x,y表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（x=20,y=5）；,回答原问题（船速每小时20千米/小时）。,感谢你的欣赏,2019-10-9,四、导弹跟踪问题,1、实验目的 本实验主要涉及常微分方程。通过实验复习微分方程的建模和求解；介绍两种微分方程的数值方法：Euler法和改进的Euler法；还介绍了仿真方法。,20,3、数学模型 微分方程建模的方法主要是依据守恒律来建立等量关系式。对于这个问题，寻求等量关系是比较简单的。设坐标系如图3.1所示，取导弹基地为原点 O(0,0)，x 轴指向正东方,y 轴指向正北方。,

11、2、实际问题 某军的一导弹基地发现正北方向120km处海面上有敌舰一艘以 90km/h 的速度向正东方向行驶。该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇，导弹速度为 450km/h，自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇。试问导弹在何时何处击中敌舰？,感谢你的欣赏,2019-10-9,当 t=0 时，导弹位于点O，敌艇位于点 A(0,H)，其中H=120（km）。,21,设导弹在t时刻的位置为 P(x(t),y(t)，由题意,感谢你的欣赏,2019-10-9,方程(3.1),(3.3)连同初值条件构成了一个关于时间变量t的一阶微分方程组的初值问题。,其中 另外在 t 时刻,敌艇位置为,其中。由于导弹轨迹

12、的切线方向必须指向敌艇，即直线 PM 的方向就是导弹轨迹上点 P 的切线方向,故有或写为,22,两边对t 求导,为了寻求x与y的关系,要设法消去变量t,由式(3.2)得,感谢你的欣赏,2019-10-9,即有把式(3.1)写为 代入上式,就得到轨迹方程.这是一个二阶非线性微分方程,加上初值条件,则初值问题,23,感谢你的欣赏,2019-10-9,就是导弹轨迹的数学模型。值得注意的是，前面导出的一阶微分方程组(3.1)，(3.3)和(3.4)实际上已经是一个数学模型了，不过多一个变量（或说参数）而已。,24,则（3.5）化为一阶可分离变量方程,即易得,由初值条件(3.7)即,4、解析方法方程（3

13、.5）可以降阶.令,感谢你的欣赏,2019-10-9,注意到上式可改写为于是有这样我们又得到一个可分离变量方程积分得利用 于是导弹轨迹方程为,25,感谢你的欣赏,2019-10-9,设导弹击中敌艇于B(L,H),以 Y=H 代入(3.9)式,得而导弹击中敌艇的时刻将数据 代入(3.10),(3.11)式,得,26,5、数值方法 将初值问题(3.5)(3.7)化为一阶微分方程组,感谢你的欣赏,2019-10-9,取自变量 y 的步长为,于是得节点相应点上的 x 的值和 p 的值记为 显然,有初值条件 我们将介绍两种近似算法来进行数值处理.,27,设导弹到达 处的时刻为 那么得到计算的迭代格式,E

14、uler 方法 Euler 方法十分简单,就是用差商代替微商,即以 代之以 而代之以 这样有,感谢你的欣赏,2019-10-9,于是表 3.1 是取 n=4 时的计算结果,读者可以用来检验程序或应用软件的正确性.表 3.1 k yk xk pk 0 0 0 0 1 30 0 0.05 2 60 1.5 0.12 3 90 5.0 0.22 4 120 11.5 0.42此时,28,感谢你的欣赏,2019-10-9,表 3.2 是对于不同的 n 值所对应的计算结果.显然,n 越大(即 h 越小),结果就越精确.表 3.2 n 4 8 12 24 48 96 120 240 L 11.52 15.

15、96 17.97 20.55 22.25 23.33 23.58 24.15 T 0.128 0.177 0.200 0.228 0.247 0.259 0.262 0.268,29,注意，由问题（3.1）,(3.3),(3.4)消去 t 推导出问题（3.5）(3.7)是较为巧妙和偶然的.一般而言，一个微分方程组未必能消去一些变元而减少方程的个数。那么，我们能否直接对初值问题(3.1),(3.3),(3.4)进行数值处理呢？答案是肯定的。实际上，只要由方程(3.1),(3.3)解出 和 的表达式，这样问题变为,感谢你的欣赏,2019-10-9,取时间步长 对应 时导弹轨迹上点的坐标为 则 Eu

16、ler 格式为当计算到 即停止,于是,30,感谢你的欣赏,2019-10-9,表 3.3 和表 3.4 分别列出了取步长 为 0.1 和 0.05 时的计算结果:表 3.3 k tk xk yk 0 0.0 0.000 00 0.000 00 1 0.1 0.000 00 45.000 00 2 0.2 5.361 54 89.679 46 3 0.3 22.674 95 131.215 53 此时取,31,感谢你的欣赏,2019-10-9,表 3.4 k tk xk yk 1 0.05 0.000 00 22.500 00 2 0.10 1.037 36 42.976 07 3 0.15 3

17、.412 05 67.350 41 4 0.20 7.646 15 89.448 43 5 0.25 14.867 90 110.757 96 6 0.30 29.194 80 128.107 02此时取表 3.5 是对应不同的,用 Euler 法所得相应的步长推进次数 n 和计算结果.表 3.5 0.1 0.05 0.005 0.001 n 3 6 56 278 L 22.674 95 29.194 80 25.667 31 25.049 35 T 0.251 94 0.324 39 0.285 19 0.278 33,32,感谢你的欣赏,2019-10-9,Euler 方法较为简单,但也较

18、为粗糙,对形式较复杂的微分方程更易有较大的误差.人们设计了不少更精确的近似算法,这里我们介绍其中的一种,进一步研究可看参考书.,33,.改进的 Euler 方法(预报-校正法)以一维情况为例,对问题Euler 迭代格式是,感谢你的欣赏,2019-10-9,由积分表达式的几何意义看,右边为 下方的曲边梯形,从图 3.2 我们可以看出 Euler 法是用矩形来代替曲边梯形,而改进的 Euler 法则是用梯形来代替曲边梯形.对问题(3.18)(3.20),我们写出相应的改进 Euler 迭代格式,34,感谢你的欣赏,2019-10-9,35,感谢你的欣赏,2019-10-9,表 3.6 和表 3.7

19、 分别列出了取步长 为 0.1 和 0.05 时的计算结果:表 3.6 k tk xk yk 0 0.0 0.000 00 0.000 00 1 0.1 2.680 77 44.839 73 2 0.2 12.575 24 88.286 79 3 0.3 22.072 42 130.255 69此时取 表 3.7 k tk xk yk 1 0.05 0.518 68 22.488 04 2 0.10 2.105 96 44.921 95 3 0.15 5.098 21 67.202 13 4 0.20 10.160 96 89.069 06 5 0.25 19.656 46 108.978 9

20、8 6 0.30 24.240 89 130.990 30,36,感谢你的欣赏,2019-10-9,此时取表 3.8 是对应不同的,用改进的 Euler 法所得相应的步长推进次数 n 和计算结果.表 3.8 0.1 0.05 0.005 0.001 n 3 6 56 278 L 27.072 42 24.240 89 25.135 52 24.981 12 T 0.300 80 0.269 34 0.279 28 0.277 57,图 3.3 画出了导弹轨迹由解析式所给出的精确曲线以及由 Euler 法和改进的 Euler法进行数值计算 所给出的近似曲线.,37,感谢你的欣赏,2019-10-

21、9,6、仿真方法 如果建立微分方程很困难，或者微分方程很复杂而较难作出数值处理，常常可以用仿真方法。所谓仿真方法，顾名思义，指的是模仿真实行为和过程的方法。在这个具体问题中，就是一步步地模拟导弹追踪敌艇的实际过程。而计算机仿真，则是在计算机上通过相应的程序和软件来实现对事件运行的实际过程的模拟。设导弹和敌艇在初始时刻（即t=0 时）分别位于 P0(0,0)和 M0(0,H)。此时，导弹指向M0。而在 t=时，导弹的位置 P1(x1,y1)，其中，敌艇的位置则为 这时导弹沿 P1 M1 方向飞行，P1 M1 的倾角为 在 t=2 时，导弹的位置为 P(x,y)，其中,38,感谢你的欣赏,2019

22、-10-9,此时敌艇位置为,导弹沿 P2 M2 方向飞行(见图 3.4).以此方式,一般地,设 时,导弹位置为 敌艇的位置则为导弹将沿 PkMk 方向飞行,那么,PkMk 的倾角为,39,感谢你的欣赏,2019-10-9,从而 时,导弹位置为,其中而敌艇位置为 仍然可以如前那样,当 时,仿真停止;或者事先给定误差界,当 时,仿真停止,这时 对于 我们用仿真迭代格式(3.33)(3.36)进行计算,结果与 Euler 迭代格式的结果完全一致(见表 3.33.5).这两种迭代格式实际上确实是相同的,建议读者自己验证一下.值得注意的是,在仿真方法中,我们根本没有用到微分方程组(3.18)(3.20)

23、,却得到了它的一种离散形式,这是十分有意思的.,40,感谢你的欣赏,2019-10-9,五、实验任务 1.应用数学软件或编制计算程序对问题(3.12)(3.14)进行数值计算，先运用Euler法，与表3.2以及表3.3的数据比较，并以更小的步长计算结果；再用改进的Euler法计算（步长与Euler法相同）。2在本实验介绍的计算过程中，我们是计算到 即停止，然后取,这样做法可能会有不小的误差。有时甚至会出现整体步长改小而结果却未必能改进的情况。由于Euler法或改进的Euler法的计算格式中每一步值的取得仅仅依赖上一步的值，因此在计算过程中改变步长是可行的，即当计算到 而y远大于H时，可缩小步长（例如为原来的十分之一）以xy作为新起点继续进行迭代。试用这种变步长方法来改进在任务中得到的结果。3如果当基地发射导弹的同时，敌艇立即由仪器发觉。假定敌艇为一高速快艇，它即刻一135km/h的速度与导弹方向垂直的方向逃逸，问导弹何时何地击中快艇？试建立数学模型并求解。4、如果敌艇以135km/h的速度与导弹方向成固定夹角的方向逃逸，问导弹何时何地击中敌艇？试建立数学模型。并选择若干特殊角度进行计算。5、对问题5的结果，你发现敌艇与导弹方向成何夹角逃逸才好？从结论中你又能得到些什么看法？,41,感谢你的欣赏,2019-10-9,