八级学生从实验几何过渡到论证几何的困难分析.doc

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1、八年级学生从实验几何过渡到论证几何的困难分析 摘要 平面几何的教学内容在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位,有着重要的教育价值,如:有助于锻炼和培养学生的逻辑推理能力;有助于学生形成空间观念;有助于学生数学思考、解决问题、情感态度等多方面的发展。 论证几何,乃是平面几何学习的关键。从实验几何进入到论证几何,不仅需要从“形”的思维向“质”的思维转变,需要熟练进行文字语言,符号语言和图形语言之间的转换,更需要思维层次从形象思维,直觉思维向逻辑思维的飞跃,思维水平需要上升的一个新的高度。在所有国家的中小学数学课程中,论证几何均处核心的地位。 因此,本文以处于这个过渡阶段的八年级学生作为对象,采用文

2、献研究、问卷调查及访谈相结合的方法展开研究。主要通过阅读大量文献,在调查问卷及访谈的基础上,主要围绕两个问题展开研究: 一是学生对于几何证明内涵理解程度的研究; 二是对学生几何基本图形的画图、识图能力的分析。 根据分析结果总结了八年级学生从实验几何向论证几何过渡中面对的主要困难以及需要克服的障碍是: 1、消极对待几何;2、对几何的抽象和形式化不适应; 3、对于几何的概念理解不透彻;4、几何语言运用的不规范;5、逻辑思维能力的欠缺;6、最大的困难是:对几何证明技能的理解和应用。 最后,本文从几方面给出了一些解决这些问题的相关策略: 1、转变学生的几何学习观; 2、加深对于概念的理解和应用; 3、

3、借助“思路概念图”分析题目; 4、借助“导学提纲”,引导学生说过程、谈推理; 5、一题多变、一题多解,拓视野,扩思维。关键词:实验几何 论证几何 困难分析- - III III - -ABSTRACTPlane geometry, which plays an important role in the mathematics curricula in junior schools, could help to cultivate the students abilities of mathematics reasoning and form an idea of space concept.

4、 Meantime, it can also make the students to learn how to solve problems in a mathematic way in order to develop the attitudes in various aspectsThe proving geometry is the key of geometry learning. Changes from the experimental geometry to the proving one require not only a paradigm shift from “form

5、al thinking” to “essential thinking”, together with skilled maths language as well as the smooth transition between symbolic language and graphic language, but also some changes in imaginative power, even the leap from intuitive thinking to logical thinking, arousing the level rising to a new height

6、Among all the mathematics curriculum of elementary or middle schools from different countries, the proving geometry leads the core positionTherefore, focused on the eighth grade students as an object in this transitional phase, the thesis mainly aims at discussing the issues on the studentsdifficult

7、ies in learning how to prove geometry from the experimental geometry, revealing their obstacles in the geometric transition by the means of literature study, questionnaire survey and a large amount of talking with the students and teachersAs a result, the thesis concludes several solutions to the re

8、lated proposals KEY WORDS: experimental geometry, proving geometry, - - IV IV - -目 录 第一章 引言. 1 1.1 研究的缘起1 1.2研究的必要性. 8 1.3研究的意义 11 第二章研究的理论基础. 12 2.1实验到证明:从实验几何到论证几何 12 2.1.1实验几何的特征12 2.1.2几何证明的特征12 2.1.3实验几何和几何证明的区别. 20 2.2从实验几何到论证几何的过渡 22 2.2.1从具体到抽象22 2.2.2从“外部行为”到“内部操作”. 23 2.2.3从“情境?经验型”到“方法?观念

9、型”24 第三章 研究方法. 25 3.1研究样本 25 3.1.1学生的选择. 25 3.1.2访谈教师的选择25 3.2数据收集的方法 26 3.2.1测试卷的设计和编制 26 3.2.2访谈. 27 3.2.3课堂实录28 3.3 实施方法29 第四章 研究分析与讨论30 4.1对于几何证明内涵理解程度的分析: 30 4.1.1测试卷分析(初中生对几何的认识) 30 4.1.2研究结果 37 4.1.3困难分析. 39 4.2对于几何基本图形的画图、识图能力的分析 41 4.2.1一次考试带给我们的震惊. 41 4.2.2造成学生识图、画图能力差异的情况分析42 第五章 研究结果与建议

10、62 5.1从实验几何到论证几何过渡的主要困难 62 5.2针对困难的教学策略. 65 - - 1 1 - -第六章 研究不足. 74 参考文献 75 附录1:八年级学生对于证明的理解程度的测试卷77 附录2:教师访谈表 78 致谢. 80 - - 2 2 - -数学,犹如拼写之于诗歌. 如同诗歌由字符组成一样,数学工作是由证明组成的?阿尔诺德 第一章 引言 1 .1 研究 的缘起 (一)初中学生数学思维的起伏变化要求我们关注直观几何、实验几何和几何证明; 1、六年级部分学生对于直观实验的结论产生了一定的疑惑 上教版六年级上第四章第一节圆的周长一课是一节概念与计算相结合研究几何形体的几何课,它

11、是在学生以前学过的长方形,正方形图形知识基础上进行教学的。教材试图通过测量,计算等实验活动,让学生在观察、分析、归纳中理解圆的周长的含义,经历圆周率的形成过程,推导圆周长的计算方法,为学习圆的面积、圆柱、圆锥等知识打下基础。本节课的重点在于让学生理解圆的周长计算公式,理解计算公式的推导过程及其实践运用,难点在于理解圆周率。如果对于“任何圆的周长都是它的直径的 3 倍多一些”这个问题,学生都能理解,那么圆的周长计算公式的归纳就可以迎刃而解了。 通常大多数老师采取的方法基本上是让学生准备大小不同的圆形物体,先用直尺或者两块三角板测量出圆形物体的直径,然后通过用绳子或者铁丝围绕它一圈的方法,或者在直

12、尺上滚一周的方法测出圆形物体的周长,最后通过计算得出周长是直径的 3倍多一些。 这个教学设计很好,目的是想通过操作测量,一方面告诉同学们,数学来源于生活,另一方面,让学生体会知识的发生和发展过程。但是在实际课堂中,会出现很多问题。比如,学生如果选择的是一枚硬币,但是选择测量的绳子比较粗,或者有弹性,那么测量的误差会很大,不会像设想的那样“周长是直径的 3倍多” ,有的时候可能是 4倍多或者只有 2倍多。当看到自己的实验误差这么大,很多同学会对此都产生疑问,但是因为大多数同学在小学就知道了这个结论,所以通常- - 1 1 - -的情况时,同学们高高兴兴,然后不了了之,老师也就不了了之了。但是这样

13、形式化的实验,表面上热闹的操作达到数学教育真正的目的了吗? 其实,当时部分学生已经不满足于通过做简单的几何实验学习几何知识了,他们渴望知道“事情的真相”,了解这其中蕴含的数学思想。比如在课后,我就吃惊地看到有同学画了张图,来表述了圆周率的产生,其实就是古代数学家刘徽(三国后期人)发明的割圆术。 2、七年级学生不理解有些就是事实,为什么还要去证明? 在上教版七年级下第十三章三角形中,上海市中小学数学课程标准中第一次提到:把握从实验几何逐步过向论证几何过渡的要求,进行逻辑推理的初步训练,认识几何结论严格化的过程和方法,了解数学证明的必要性,奠定推理论证的初步基础上海市中小学数学课程标准.2005,

14、其中第十三章第二节的内容是“三角形的内角和”,它是对图形进一步认识以及规范证明过程的重要内容之一,也是以后学习证明(二) 证明(三)中用以研究角的关系的重要方法之一。 本节课的一个难点就是:引导学生通过:过三角形的一个顶点作对边的平行线,把三角形的内角和转化为一个平角来讨论,为了突破这一难点,同时迎合初一学生好动的特点,大多数教师认为还是采取实验操作的形式作为引入,学生会比较感兴趣,而且这样能让学生对图形的变换有一个感性的认识。但是当我们这样进行教学的时候,发现问题又出现了: 首先是很多同学对问题的探究不感兴趣,不愿意动手,他们认为这个实在太“小儿科”,小学就都知道了,根本没有必要在证明了;

15、其次,在学生象征性的操作完之后,教师要求他们观察拼合出来的图形,看看能否发现一些特殊位置关系的线。这一环节中,学生反应还是很快的,一下子就看到了两条平行的线,但是对于这一发现和我们要做的证明定理这一目标有什么关系?大多数学生依旧不清楚为什么要验证,难道就是为了得出结论?只有个别基础较好的学生能联系起来,说出证明思路。学生不能把在实验操作中观察到- - 2 2 - -的现象和所学的数学知识联系起来; 第三,有同学剪下三个内角之后,就得到另外三个小三角形,一共出现了 6个角,不知道谁和谁拼在一起,最后连哪个是原来三角形的内角也分不清楚了,更谈不上拼接了。这个失败在于同学们不清楚老师让大家操作的目的

16、是什么。 第四,缺乏自信,不敢肯定自己所得的正确结论。例如:教师演示的是把三角形的两个内角移到第三个角的两侧,而学生把两角移到第三个角的同侧时马上否定了自己的操作。从设计的本意:通过动手操作,形成形象思维,并且体会辅助线的添加。本次课堂实施还是没有达到这种效果。 课后有同学问,如果我把锐角三角形,直角三角形,钝角三角形,等腰三角形,等边三角形,不等边三角形等所有类别的三角形内角全部量一遍(假设误差为零) ,然后把内角统统加起来是 180度,用这样的方法证明可以吗? 这位同学提的问题非常好,首先他已经很清楚仅仅量一个或几个三角形,得出结论已经是不可靠的,也就是说直观实验采用了不完全归纳的方法来推

17、断结论,这是不可靠的,因为无限多种不同的几何形态可能蕴含的是同一个几何概念.所有他在“证明”时,选取了有各种各样的三角形。但实际上实验操作仅仅对部分图形进行了验证,不能说明问题,即便是对一些很显然的结论,也不能下结论。按照 Bishop 的观点,这表明学生尚未克服区分几何对象“形式和内容”的障碍(黄兴丰,李士?.2007),其次部分学生对几何证明还缺乏理解.他们认为,只要排除误差和不完全归纳这两个因素,直观实验就是几何证明.也就是说,只要提供了客观确凿的事实,那就是证明. 3、九年级学生对于几何推理论证能力的薄弱。 十年磨一剑,中考的试题无论难度如何,对于老师,还是学生而言都是一块试金石,从综

18、合题目完成情况来看更能够说明一个学生,他的数学逻辑推理能力达到了什么样的水平,笔者有幸从 2008 年至今连续参与了三次中考阅卷,现选取了 2008年 23题为例谈谈初中高年级学生的几何推理论证能力的薄弱。 如图,已知平行四边形 ABCD中,对角线 AC、BD交于点 O,E 是 BD延 长线上的点,且ACE 是等边三角形. (1)求证:四边形 ABCD是菱形; (2)若AED2EAD,求证:四边形 ABCD 是正方形. 菱形、正方形判定定理及等边三角形知识的运用能力- - 3 3 - -是本道题目的考查重点,难度虽然不是很高,但从阅卷情况来看,无论是学生书写的规范性、思维的严密性还是本题的得分

19、情况等都存在不尽如人意的地方,同时阅卷的其他老师也有同样感觉,笔者对电脑随机生成批阅的 200份试卷进行了大致以下几方面的统计: 试卷基本情况 得分率 方法特点 分数 1.用 AE=CE,AO=CO证 EOAC,AD=DE,从而得证两解 试卷整洁 25 100% 2.证AOECOE 得AOE=COE=90,再证证明简洁 AD=DE; 3.步骤较多,但会用“同理可得”简化过程73 100% 思路清楚 1.证 23次三角形全等; 证明烦琐 2.证 AB=BC=CD=AD重复叙述,不会 类推; 3.用三角形外角求ADO,EAD,AED 的度数过程繁琐55 85% 概念混淆 1.颇费周折拿到第一解 6

20、分; 思路不清 2.书写插入较多,废话连篇甚至无法看清; 3.推论依据不足自以为是,却用结论(1)证得(2)得6分31 47% 缺乏对比 1.先将正方形证出一部分而不会用这个中间结论; 计算错误 2.角度算错,无法推出最后结论; 3.能得到的结论不管是否需要都写10 16.7% 基本不会 1、逻辑错误,但是碰巧答到了 1、2个得分点; 。 但不放弃 2、循环论证,自创条件如AOD456 0% 完全不会 1、 空白一片; 2、 不知所云。从表格和印象深刻的问题实例可以看出,学生平面几何学习的整体能力不容乐观,对几何的基本概念、论证依据尚模糊不清,在逻辑推演表达方式和逆向思维方法运用上存在较多的不

21、足之处,表现出初中学生之间能力的差异较大,值得我们对初中几何教学的结果作深刻分析。 从上面三点我们可以发现,学生对于几何的证明存在认识上的偏差,甚至不- - 4 4 - -理解什么是数学证明,我们分析了原因如下: 首先,由于受到学生认知水平发展的限制,受到经验型逻辑思维的影响,以及抽象性逻辑思维模式发展的不完善,面对抽象的事物,学生主要利用感性经验进行判断。这样就导致当命题,无论是在直观角度,还是实验角度都比较明显的时候,学生认为证明可以省略。 其次,当学生对于某个命题的正确性表示疑惑的时候,他们会想办法解决这个问题。但此时对于大部分学生而言,他们认为“有意义的证明”或者“说明”可能不仅仅是“

22、演绎证明”这一种形式。比如,多数学生会接受权威的判断,或者凭借个人的经验;或者把观察实验的结论一般化;再如从反面看,找不到反例就认为是对的。 最后就是在进行教学过程中,我们的部分教师不恰当的讲解,造成学生没有区分有效的数学证明与有说服力但是无效的证明之间的区别。 (二)平面几何教育的发展史,促使我们必须正视实验几何和几何证明的辩证统一 几何学一词,拉丁文是 geometria ,源于希腊文 r i,是由 r 土地 与 i测量 这两个单词合成,原是测量土地的意思(梁宗巨.1980)。几何学最早起源于四大文明古国,当时人们借助几何测量土地,研究天文,治理水利,但当时的几何仅仅局限于寓理以算,没有系

23、统的使用数学符号,没有抽象思维,没有具体的理论体系,比如中国的九章算术。直到古希腊欧几里得Euclid的几何原本的出现,它的出现可以说是数学几何史上的新的里程碑,他创造性的把琐碎的,零散的几何研究成果用逻辑锁链沟通在了一起,建立了完善的科学体系,使人们的思维避免混乱,避免似是而非,能够使人们利用推理得到结论,利用逻辑表达思想,对科学文化的发展产生了深刻的影响。从公元前 3世纪起,统治了几何学,很长时期成为教育中训练理性思维的工具之一(项武义.1983)。 直到 1900年,英国培利Perry,1850?1920发动了数学教育改革运动,矛头指向欧几里得的几何原本, 20世纪 60年代,法国布尔巴

24、基学派的元老, “新数”运动的精神领袖、著名数学家狄多内J? Dieudonne, 1906一 1992发出了“逐客令”,提出了“欧几里得滚蛋Euc1id must go”的口号1959,与此同时,东方的中国也出现“打倒欧家店”的提法,以此作为数学教育改革的目标之一1960,直至 1980年,新数学运动宣告失败, 在新数学运动之后,几何已经呈现衰退趋势。人们宣告“回到基础”(陈重穆等.1997 )。 - - 5 5 - -通过历史上一次次数学教育的运动,我们看到几何课程都被当做改革的焦点和成败的标志,几经风雨,几经磨难,但却始终未能撼动欧氏几何在中学数学课程中的统治地位,由此也可以看出,几何课

25、程的教育价值是不可忽视的张奠宙.2005。 在中国早在 1607 年,明末的徐光启和利玛窦合作翻译了几何原本,但这本著作并没有引起人们的注意,直到辛亥革命之后,几何才作为中小学课程的内容,而且分量重,论证要求极高。1950年平面几何教材苏联化,难度降低,但是论证严密,到 2000 年,虽然期间教材有改变,内容减少,但是仍然保留了论证几何的体系。21世纪初,我国实施了新一轮基础教育课程改革。 标准对第三学段几何部分做了大幅度的变革。对几何的处理意见是:不再片面的追求证明的难度和深度,数量和技巧,强调对几何论证的理解;遵循从直觉感知到操作确认,从度量计算到推理论证;推理论证的基础主要以六条公理为主

26、,逐渐改变平面几何的公理化演绎体系陈婷,2008。 这些改革,有人支持,有人批评,引发了许多的争议,比如:削弱平面几何的演绎体系,可能会降低中学数学教育的水准;几何学很多问题是理性思维的问题,有些和生活的联系并不是很密切,不能因为数学要贴近生活而强求;新课标把证明都改成说理,让学生看一看、量一量、猜一猜就算得到真理,总是通过实验得到真理,会影响学生的逻辑思维能力,降低了推理的能力;培养理性思维需要载体,几何是最好的载体。新课标说要讲什么是证明,却只能讲 8 组命题,但是培养几何的推理能力需要学生“做”推理,光讲什么是命题,什么是推理,什么是证明是学不会的。几何学是一个体系,支解成一段段的知识是

27、不行的,减轻负担要精中求简,不能随意砍掉(鲍建生.2000)。 通过国内外几何教学的改革分析,我们迫切的体会到实验几何和论证几何的辩证统一。 (三)“几何教学难,学生接受难”要求我们重视实验几何到几何证明的过渡 曾经听说过这样一句话:“人生有几何?何必学几何。学了几何几何好?不学几何又几何?”在很多人幼小的心灵中种下了几何难教,难学的阴影。(郁祖权.2006) 这里,让我们引用 1997年发表的一次调查的结果: “代数得分率高于几何得分率,且差异显著。人们可能会以为代数的满分情- - 6 6 - -况一定高于几何的满分情况,但事实恰恰相反,几何的满分人数达到 2003人,而代数的满分只有 14

28、24 人。在解答题中,几何代数的得分率基本上是一样的,但是对于基础题型,代数明显优于几何。为什么呢?主要在于学生喜欢计算,对于代数的基本知识和技能掌握的比较好,而对于解答题则比较容易望而生畏。 这一结论表明,对初中学生来说,首先是几何入门难。 因为在学习几何时,学生必须经历认识上的一个转折-由代数向几何的转变。代数以“数”为研究对象,而几何以“形”为研究对象,研究对象不同导致思维方式的不同,代数以计算为主,几何以推理论证为主,学生要经历由对符合信息的操作转变为对图像信息的操作,由对事物间的数量化分析转向对其空间形式的定性分析。很多同学不理解证明,不习惯几何学中的推理论证,不会使用几何的语言进行

29、描述,所以认为比代数难学,有些学生连“基本题”也做不好;其次是“两极分化”随着学习的深入,几何概念越来越多,论证的要求也日益提高,出现了学习上的分化现象。一些学生越过了障碍,走在了前面,并由此体验到了证明的真谛,获得了成功的喜悦,喜欢上了几何,增强了学习的积极性,几何满分的人数比代数满分的人数多。而相反,部分学生被难住了,并且由此失去了学习的信心,所以得分率较低。 看来,几何对许多学生来说的确很难,应当减轻他们的负担,选择适当的教学方式方法,对于不同的人进行不同的几何学习,恐怕是我们应当做的事(李红婷,2007)。 (四)教材的编排迫使我们一定要注重实验几何到几何证明的过渡 八年级上的第十九章

30、几何证明是实验几何过渡到论证几何的启蒙章节。我们应该认识到学习欧几里得几何对锻炼和培养学生的逻辑推理能力,有着其他内容无法代替的作用;然而几何入门难的问题多年来一直存在。对于几何的处理,本套教科书根据数学课程标准的要求,提供了一个全新的思路。 从六年级“圆与扇形”一章的实验入门,到七年级的 “图形和变换” 、 “相交线、平行线”的实验为主,开始出现局部推理,再到七年级下册“平行线” “三角形的全等”的实验,开始向推理过渡,再到本章开始有固定格式的论证几何。因为有了一年半几何感性认识的基础,初步的识图能力,简单的推理能力,再学习高层次的论证几何,自然就有了一定的准备和基础。 几何证明这一章的内容

31、处于“实验几何”与“论证几何”的交接点上,它对学生顺利地转入论证几何的学习,有着重要的思维润滑作用。能有效地帮助学生认识到学习论证几何的必要- - 7 7 - -性,继而为下阶段的学习铺平了道路。 学生在认识几何证明的必要性方面从实验几何向几何证明过渡的第一个难点与重点。学生已有近两年的实验几何的学习基础,固然对后阶段的学习有很重要的奠基作用,但也有一定的负迁移作用。学生已经习惯于从“量一量” “算一算”及图形运动变换中直接得出图形性质,并有了一定的初级、简单推理时充当理由的使用历史,即基本默认了这些性质。因此,使学生充分认识到几何证明的必要性便成为顺利过渡的一个难点。掌握证明的一般步骤与格式

32、是过渡的第二个重点与难点。 因此,从教材的编排来看,我们一定要重视实验几何向几何证明的过渡。 1.2 研 究的必要性 实验几何以学生的生活经验和几何经验为基础,通过图形的折叠、旋转、翻折、平移、拼接或拆分等数学活动,发现一些几何事实或几何关系,发展学生运用直觉思维、合情推理和创新思维的能力。由于几何图形具有很强的直观性,它是从自然界客观世界的物体形状抽象出来的,并且比客观实物更理性,更纯粹,更具典型性,人们可以通过直观实验了解几何图形,发现其中的规律.。然而,因为几何图形本身同时还具有抽象性和一般性,一种几何概念可能包含无限多种不同的情形,例如有无数种位置各异、大小不同的圆,无数种形状不同的三

33、角形,通过实验几何得出的结论往往只适用于一种几何概念所包含的一部分集体对象,是否适用于其他对象就不得而知了。因此,一般地,研究图形的形状、大小和位置关系时,不能仅仅依靠直观实验的方法,而需要具有一般性和抽象性的方法,即论证几何。论证几何以演绎推理为主, 借助一些公理或真实性已经确定的命题来论证某些新命题的真实性的思维过程。它保证命题的正确性、严密性,揭示各定理之间内在的联系,从而使数学构成一个较为严密的体系,使数学命题具有充分的说服力,通过几何证明的学习,不但可以使学生感受公理化的思想,而且能够培养学生的逻辑推理能力,两种几何课程的教育功能不能互相取代,但它们在培养学生推理能力、发展学生理性思

34、维上是互补和协同的。 学生从实验几何向论证几何过渡,需要从“形”的思维向“质”的思维转变,需要熟练进行文字语言、符号语言和图形语言之间的转换,思维层次从形象思维、直觉思维到逻辑思维的飞跃,思维水平需要上升的一个新的高度。总之,平面几何的内容和方法对学生提出了更高的要求。笔者选取这个课题进行初步研究的必- - 8 8 - -要性有以下几点: 首先,八年级处于两个学段的过渡阶段。 第一,根据皮亚杰的智力发展理论,初中生的年龄正符合其所谓的形式思维的发展时期,八年级学生正处于具体运算阶段7 岁到 12、13岁向形式运算阶段12 岁到 15 岁的过渡时期,学生的认知结构中已有了抽象的概念,能借助具体事

35、物或表象的支持进行逻辑分类和认识逻辑关系,比如圆周率的概念的建立是儿童通过测量各种大小不同的圆形物体的周长和直径形成的,但还不能处理那些不直接呈现在面前或者事前没有经历过的事物。所以虽然有能力去从事抽象符号的假设及演绎推理工作,但思维发展水平有可能限制八年级学生从直观实验到几何论证的转变朱文芳.2005。 八年级的学生正处于具体运算和形式运算两个阶段的交错时期,他们要经历从直观实验几何向论证演绎几何的演变,他们的思维水平处于从经验型向理论型发展的阶段,是对立统一的辨证思维发展的开始,一些同学可能仍处于具体运算阶段,另一些同学则刚刚进入形式运算阶段,还有一些同学正处于这个智力发展阶段的过渡时期,

36、因此有些同学还不能看出原理的例证和原理的证明两者之间的区别,此时,同学们会对几何图形的知觉,对几何语言的理解和使用,对三阶论形式的掌握,对并不呈现一定程式的论证方法产生认知困难(这些都是学生原认知结构中没有的);从另一个角度看,几何学习的特征又是促进思维水平从具体运算到形式运算发展的最佳载体,这一时期平面几何的学习为思维的发展提供了条件。它能促使学生的思维从具体过渡到抽象,能够发展学生的抽象思维概括能力和推理能力(祁乐珍.2007)。 作为教师,如果能够把握适当的教学方法,精心设计教学情境,让学生多参与,多讨论,动手实验,进行模型的参观和制作,动用多感官谈一谈、画一画、做一做和改一改,促进学生

37、快速的熟悉几何学习的技能,形成适宜几何学习的“图式”,顺利完成从“同化”到“顺应”的转变章建跃,朱文芳.2001。 第二,培养和发展学生的空间想象能力是中学几何的教学目的之一。空间想象能力由低到高可以分成三级水平,每一级水平的空间想象能力都是随着学生学习年级的升高而呈上升发展的趋势。其中,八年级学生的空间想象能力在第一、第二水平之上,与七年级学生相同水平层次上的能力相比较,并没有太大的进步,相反地,在第三水平上还有所滑落。九年级的学生,在前两级水平有一个飞速的发展,这一发展速度要大大超过其他时期的发展速度,这表明八年级是空间想象- - 9 9 - -能力迅速发展的关键期,由于八年级的数学教学中

38、大大丰富了平面几何的内容,因此经过八年级一年的学习,初中三年级学生的空间想象能力获得了一个质的飞跃发展涂荣豹.2003。 其次,几何证明在中学教育中处于重要的地位。课程标准中提到:“经历从直观经验几何、实验几何到推理几何的演进过程,体会直观感知与理想思考的联系和区别,体会归纳推理、类比推理与演绎推理的意义和作用;体验、探索具体图形的位置关系和运行规律,能用方向、距离、角度、几何变换等进行刻画;具有“实验-归纳-猜测-论证”的经历,感受数学发现、创造的历程。平面几何从开始到三角形全等,基本上都是处于实验几何阶段,目的是培养学生养成分析说理的习惯;接下来以三角形的全等为始,逐渐进入论证几何的说理,

39、最后从说理(填写理由)到形式化的证明。这样步步深入,一方面解决了突然进入论证的尴尬,化解了难点;另一方面,从知识的发生和发展入手,让学生体会证明的起源,为什么要证明?怎样发现了证明?并在这样的过程中,漫漫的渗透各种数学思想。如数形结合的数学思想,分类讨论的数学思想等,既培养了学生的推理论证的能力,同时也培养了形式化的论证能力孙名符等.2001。 此外,在奥苏贝尔的有意义学习理论中,他继承了皮亚杰的同化概念来解释其有意义的学习的实质,并赋予了它新的内容。学生原有认知结构中如果没有足够的知识固着点,那么将不足以同化新的几何知识。其实早在小学阶段便接触到几何的知识,但是当时的几何仅仅局限于运算几何或

40、者说通过简单实验操作得到一个事实,因为运算以及实验操作与论证有很大的区别,所以学生便错误百出,逻辑顺序混乱,并有固着性deep-seated的错误现象。由此可见,学生从实验向论证的过渡是需要改造原有的认知模式,重组认知结构,从而实现本质的变化。这样的学习过程势必给七年级、八年级的学生带来一定的困难。 综上分析,在从实验几何向几何证明的过渡中,一方面,思维的方式、知识的结构都发生了巨大的变化;另一方面,老师的教学模式、课堂内容的安排有很大的变化,所以八年级学生将面临“如何学习平面几何,渡过论证关”的挑战。 ”因此,笔者认为探讨处于这一阶段的八年级学生的平面几何学习,对造成其过渡困难的原因作深层次

41、的剖析是一个具有现实性和紧迫性的课题吴开琪.1995。 - - 10 10 - -1.3 研 究的意义 一方面,本研究通过探讨了八年级学生从实验几何向几何证明的转变,力图刻画学生在转变阶段的过程,发现过渡中学生所出现的困难和面对的困境,可以引起数学教育工作者对这一阶段的关注;也能够为数学教育工作者提供较有针对性的教学建议,并且给学生提供一些有效的学习方法等;另一方面,八年级学生学习几何证明,就是顺应学习的过程。因此本研究过程一定意义上可以从实践上和微观上为教育心理学有关顺应学习方面的论述进行了一定的补充。例如,可以结合德国教育家赫尔巴特的“同化”概念来解释知识的学习,他认为学习的过程是新旧观念

42、的同化过程(皮连生,2000);奥苏伯尔认为同化是有意义学习的心理机制的学习分类理论等(施良方,2001)。 - - 11 11 - -第二章研究的理论基础 2.1 实验到证明:从实验几何到论证几何 实验几何是由不完全归纳思维来刻画的,即实验几何的核心是通过实验操作或者计算机模拟从个别或特殊的事物概括出共同本质或一般原理,其目的在于透过现象认识本质,通过特殊揭示一般杨正家.1995;而几何证明则是演绎思维,它不同于归纳思维,是从一般到个别的推理,它是以几何图形为载体,利用已知的正确(真实)条件和客观事实(定理),通过逻辑推断,推导出有关图形性质的结论,而且结论完全可靠的一个过程,这个过程是严密

43、的。 2.1.1 实验几何的特征 在实验几何中,着重于通过图形或者动画演示一些难以用语言或者数学式子表达的数学问题,这个过程是可视的、可操做的,情境性的,研究对象是有形的,具有直观形象性、非系统化的特点,它是学习中的一个不可或缺的环节,但并非是最终的结果或者终极目标;而论证几何倚重的是演绎思维,它是去情境性的、系统化的,是能够借助一些公理或者真实性已经确定的命题来证明某些命题的真实性的思维过程,它的目的是探索存在于几何图形中更本质、更一般的关系。 2.1.2几何证明的特征 2.1.2.1几何证明具有一定结构性和顺序性 几何证明主要想培养学生: (一)能够阅读教材或教师课堂上给出的几何证明,并且

44、能够理解证明中所使用的方法,以及为什么要用这个方法; (二)对一个数学事实给出它的数学证明,学会用数学的语言表述他的思考过程。 几何证明不像代数有运算的技能,有固定的程序可以遵循。学生学习证明的过程其实就是在学习如何思考,而且会证明一个命题和在纸上写下证明的过程,是不一样的,要进行不同的心理活动。证明是个思维过程,而书写证明不仅仅是思维,还涉及到语言的表达过程。前者可以是无序、无结构的,后者需要一定的- - 12 12 - -(数学上是逻辑地)格式或结构,一般我们采用的都是“三段论”。 三段论是由三个性质判断组成的演绎推理。它是借助两个性质判断中所包含的一个共同的概念把这两个性质判断的另外两个

45、概念联结起来, 从而推出 一个新的性质判断的推理。因为它是由三个性质判断构成,并只包含三个概念,故称之为三段论(章邦基,胡炳生编.1984)。有一个著名的推论: “人都是要死的”; “苏格拉底是人”; “所以苏格拉底是要死的”。 。如:等边三角形的三条边相等,三个角相等且都是 60 ;因为 ABC 是等边三角形; 。所以在ABC 中,ABACBC,ABC60。这个推理结论断定 “ABC ” 与 “ABACBC,ABC60 ” 之间的关系,正是借助前提两个判断都包含了“等边三角形”这个共同的概念,并以此作为中介,使这两个概念间的联系成为必然 。 前提中所包含的那个共同的概念被称为中项,用字母 M

46、表示;结论判断中的主项被称为小项,用字母 S表示;结论中的谓项被称为大项,用字母 P表示。包含大项的那个前提判断被称为大前提,包含小项的那个前提判断被称为小前提。上面的那个推理可以表示为 :所有的M都是P ;所有的 S都是 M;所以 ,所有的 S 都是P。 用集合论的观点来讲,就是:若集合 M 的所有元素都具有性质 P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性质 P.其推理规则可用符号表示为:“如果MP,S MSP,则 。” 三段论推理所依据的就是三个不同的概念反映的对象类与类之间的包含与被包含的关系。这种关系是三段论推理能够由前提得出结论的客观依据,即三段论的公理 。三段论公理具体表述为:凡肯定了一类事物,则对该类事物中的每一个对象也有所肯定:凡否定了一类事物,则对该类事物的每一个对象也有所否定。用圆圈图 形(因系十八世纪瑞士数学家欧拉所设立,故被称为欧拉图)表示为图(1), 后者表示为图2。