深圳杯数学建模竞赛论文深圳市人口与医疗需求预测.doc

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1、 深圳市人口及医疗需求预测摘要 本文通过对深圳市现有的人口及医疗数据、深圳统计年签2011进行分析并建立模型求解，并最终给出了深圳人口与医疗需求预测结果，具体如下：对于问题一，利用多项式拟合法对深圳市近三十年来的人口及医疗数据情况进行多次分析、拟合，最终确定了深圳市人口变化很好地符合函数，据此推算出深圳市未来十年常住人口的数目为：年份2011201220132014201520162017201820192020人数（万人）1035.771057.011075.951092.671107.231119.741130.331139.161146.411152.27利用ARIMA及拟合模型，综合分

2、析了深圳市各类非常住人口的数目变化，预测出2020年非常住人口数目如下：年份2011201220132014201520162017201820192020Q1167.8171439.6521430.4321532.261600.2781681.0251767.0021824.7381886.3151949.222 此外，通过对深圳市人口年龄结构进行分析，我们得出未来2020年深圳市的年龄结构大约为：年龄男女0-4岁5-9岁10-14岁15-19岁20-24岁25-29岁2020年百分比0.526537210.473462793.233.433.1812.1520.5712.89年龄30-34

3、岁35-39岁40-44岁45-49岁50-54岁55-59岁60-64岁65-69岁2020年百分比15.0412.068.142.702.361.610.850.87年龄70-74岁75-79岁80-84岁85-89岁90-94岁95-99岁100岁及以上2020年百分比0.640.260.170.0410.08750.02740.000007对于问题二，我们选择急性阑尾炎及子宫平滑肌瘤两种疾病，运用拟合及数据优化的方法得出这两种病在2020年的发病情况及对各类医院的床位需求：分类综合医院妇幼保健院中医院儿童医院实际床位需求17602617急性阑尾炎：分类综合医院妇幼保健院中医院儿童医院实

4、际床位需求1012400 子宫平滑肌瘤：关键词：深圳人口及医疗预测，深圳统计年鉴，MATLAB,拟合，ARIMA 1、 问题重述：深圳是我国经济发展最快的城市之一，30多年来，卫生事业取得了长足发展，形成了市、区及社区医疗服务系统，较好地解决了现有人口的就医问题。从结构来看，深圳人口的显著特点是人口远远超过户籍人口，且年轻人口占绝对优势。深圳人口主要是从事第二、三产业的企业一线工人和商业服务业人员。年轻人身体强壮，发病较少，因此深圳目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求。然而，随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响外来务

5、工人员的数量。这些都可能导致深圳市未来的医疗需求与现在有较大的差异。未来的医疗需求与人口结构、数量和经济发展等因素相关，合理预测能使医疗设施建设正确匹配未来人口健康保障需求，是保证深圳社会经济可持续发展的重要条件。然而，现有人口社会发展模型在面对深圳情况时，却难以满足人口和医疗预测的要求。为了解决此问题，请根据深圳人口发展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入情况（医疗设施、医护人员结构等方面）收集数据、建立针对深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来的人口增长和医疗需求，解决下面几个问题： （1）、分析深圳近十年常住人口、非常住人口变化特征，预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势，以此为基础预测

6、未来全市和各区医疗床位需求； （2）、根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，选择高血压、糖尿病、小儿肺炎、分娩等）在不同类型的医疗机构就医的床位需求。2、基本假设 （1）、假设附表给的数据以及相应网站上所给的数据都是准确的； （2）、假设未来10年内深圳户籍人口不发生突然的大规模 （3）、假设未来10内深圳妇女的生育能力不发生问题；3、定义符号说明 非常住人口总和； 进入城镇务工、经商、和从事劳动服务的暂住人口总和； 为探亲访友、旅游、治病等而外出的人员; 无职业、无收入、无居住证的三无人员，即盲流人口； 比例系数； 深圳市t年GDP总量； 常住人口GDP值； 进入城镇务工、经商及

7、从事劳动服务的暂住人口总和的初始值； 探亲访友人数的比例； 旅行人数； 外来求医人数； 其他人数。 4、问题分析与模型建立4.1 问题一的求解4.1.1 预测常住人口4.1.1.1 常住人口定义： 常住人口指经常居住（一般指超过六个月）在某一地区的人口。它包括常住该地而临时外出的人口,不包括临时寄住的人口。根据附件一给出的数据可知，常住人口包括户籍人口与非户籍人口。4.1.1.2 现有数据分析： 利用现有数据（附件一）分析深圳市在1979年到2010年的变化规律，利用MATLAB软件（程序见附录一）对数据进行处理，做出深圳常住人口1979年到2010年的散点图(见图1)： 图1 常住人口散点图

8、 通过对现有数据散点图的分析，我们发现深圳市常住人口从1979到1991的人口增长率基本保持不变，近乎呈线性增长；从1992年到2002年增长率也近乎保持不变，呈线性增长趋势，但比1980至1991年增速快；从2003年到2010年深圳常住人口的增速相对放缓，增速比1992年到2002要快但依然保持稳定。上述的各个点可以近似地认为符合一种函数关系。根据已经学过的数学知识，我们知道多项式拟合法是用解析表达式来模拟离散数据所呈现趋势的常用方法,基本思想就是:观测散点走势来确定拟合函数的形式,利用散点但又不拘泥于散点。因此我们考虑采用二次、三次、四次函数拟合模型对数据进行拟合，从中择优选出最合适的函

9、数模型来预测。4.1.1.3 模型建立对多项式拟合模型进行分析。多项式拟合的定义为：所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值f1,f2,fn，通过调整该函数中若干待定系数f(1, 2,n)，使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。形象的说,拟合就是把平面上一系列的点,用一条光滑的曲线连接起来.因为这条曲线有无数种可能,从而有各种拟合方法.拟合的曲线一般可以用函数表示.根据这个函数的不同有不同的拟合名字。在MATLAB中可以用polyfit 来拟合多项式。我们采用的多项式拟合法函数式为：二次函数拟合模型： 三次函数拟合模型： 四次函数拟合模型： 利用MALTAB数学软件对已知数据分别建立二

10、次、三次、四次拟合模型，通过编程我们可以分别得到如下的几个图形（具体程序代码见附录一）：图2 二次函数拟合模型图3 三次函数拟合模型图4 四次函数拟合模型上述三个图中的黑线为深圳市常住人口实际数字的所连成的曲线，红线分别为二次、三次、四次函数拟合模型的曲线，通过对比我们发现我们通过二次拟合模型预测的值基本与实际人口大致吻合，但还是存在一定的误差；三次拟合模型预测的值基本与实际人口几乎一致，但是仍存在着较小的差距，且最后(2012年到2020年)出现了人口持续下降的趋势，这种情况显然不符合实际； 四次函数拟合模型预测的值与实际常住人口数目拟合的最好，差距较小，最后人口数目依然在增长但是增速放缓，

11、符合一般的实际情况。因此，我们选用四次函数拟合模型对深圳市常住人口的数目进行预测。我们利用MALTAB软件求出的二次、三次、四次函数拟合函数模型为： 二次函数拟合模型： 三次函数拟合模型： 四次拟合你和模型： 通过四次函数拟合模型，我们对深圳市2011年到2020年的常住人口进行预测，最终得到如表1：年份2011201220132014201520162017201820192020人数（万人）1035.771057.011075.95表11092.671107.231119.741130.331139.161146.411152.274.1.2 预测非常住人口4.1.2.1 非常住人口定义：

12、非常住人口是相对于某地的常住人口而言的, 指离开常住户籍所在地, 跨越一定的行政辖区范围, 在某一地区短暂滞留的人口. 包括: （1）、 进入城镇务工、经商、和从事劳动服务的暂住人口（一般不超过六个月），即为；（2）、为探亲访友、旅游、治病等而外出的人员，即为; （3）、 无职业、无收入、无暂住证的三无人员即盲流人口，即为。 为此我们可得： 4.1.2.2 求解进入城镇务工、经商、和从事劳动服务的暂住人口：显然对于,它是深圳市经济发展主要的带动者，因此与深圳市GDP有很大的关系，GDP越多，则深圳市外来人口就越多。为此我们假设与外来人口所产生的GDP成正比例关系，由此我们可得： 对于一个非平稳

13、序列来说，其数字特征，如均值，方差和协方差等是随着时间的变化而变化的。也就是说,非平稳序列在各个时间点上的随机规律是不同的，难以通过序列已知的信息去掌握序列整体上的随机性。而GDP时间序列都是非平稳的,为此我们采用ARIMA模型求解：ARIMA模型使用包括自回归项（AR 项） , 单整项和MA移动平均项三种形式对扰动项进行建模分析, 使模型同时综合考虑了预测变量的过去值, 当前值和误差值, 从而有效地提高了模型的预测精度 。（1）ARIMA模型的形式：考虑序列 ,若其能通过次差分后变为平稳序列, 即, 则 为平稳序列, 即 , 于是可建立ARIMA模型： 经阶差分后的ARIMA模型称为ARIM

14、A 模型。其中为自回归模型的阶数，为移动平均的阶数，为一个白噪声过程。（2）建立ARIMA 模型的一般方法： 1） 检验原序列的平稳性􀀁 检验的标准方法是单位根检验, 若序列不满足平稳性条件, 则可通过数学方法, 如差分变换或者对数差分变换使其满足平稳性条件； 2） 通过计算能够描述序列特征的一些统计量, 如自相关（ACP）系数和偏自相关（PACP）系数来确定ARIMA模型的阶数和，并根据一定的准则, 如ATC准则或SC准则等综合考虑来确定模型的参数； 3) 估计模型的未知参数2, 并通过参数的􀀁 统计量检验其显著性, 以及模型的合理性； 4） 进行诊断分析

15、, 检验模型的拟合值和实际值的残差序列是否为一个白噪声序列。（3）数据的来源与描述：从深圳统计年鉴各卷统计出1979 至2006 年深圳国内生产总值，具体如下：表2：1979 2006年深圳国内生产总值统计表（亿元）年份GDP（万亿）年份GDP（万亿）年份GDP（万亿）年份GDP（万亿）19791.9638198641.64511993453.144520002187.454519802.7012198755.90151994634.671120012482.487419814.9576198886.98071995842.483320022969.528419828.25731989115.

16、656519961048.442120033585.7235198313.12121990171.666519971297.42.820044282.1428198423.41611991236.66319981534.727220054950.9078198539.02221992317.319419991804.017620065684.39并按此数据作图5从中可以粗略地看出, 具有长期上升趋势, 非水平平稳。 图 5 图 6 表 3 由表3可知其平稳,说明GDP序列为2 阶单整序列, 即模型的识别与建立 由以上对序列, 的A D F 检验, 我们可确定,模型中的应取为2为了确定模型中的和

17、, 作出序列直至滞后16 阶的自相关(ACP )图和偏自相关(PACP) 图, 分别见图5、图6. 由图7和图8可看出, 少In Xt 序列的自相关图与偏自相关图都是拖尾的, 因此可建立：图7 图8ARIMA 模型。经反复计算比较, 最终取，, 建立如下 模型: (括号中的数据为对应估计值的检验统计量) 即： 利用二次拟合,对其进行回归拟合, 模型中的残差序列(Residual) 以及过的实际值(Actual)和拟合值(Fitted )的序列图见图9：图9 从图9可以看出, 模型的拟合值和实际值的变动具有较好的一致性。其次, 模型的残差值较小，消除了线性或者指数趋势, 表现得较为平稳, 说明模

18、型通过了适应性检验, 所以该模型还是比较理想的。为了进一步检验该模型的效果, 记为该模型的残差序列, 对其进行DF检验, 得：，DF的值为-5.3921 而在1%显著水平下,DF的临界值为-2.6649，因此,残差序列, 即误差项序列能在1 %显著水平下被看作白噪声过程，这说明的拟合值是实际值的无偏估计, 模型具有较好的拟合效果。作出残差序列前16 阶的自相关(ACP)和偏自相关(PACP)图, 分别见图10和图11。从两图我们也可看出, 自相关函数和偏自相关函数均落在置信区间内, 残差序列应为白噪声过程, 这与上面D F 检验的结果一致。图10: 自相关(ACP)图 图11：偏自相关(PAC

19、P)图（4） 模型的预测： 由模型得： 又因为： 可得的预测公式为：因此得序列的预测公式为： 用模型对深圳国内生产总值作预测, 结果见表4表4 实际值与ARIMA模型预测值比较(亿元)年份实际GDP值预测GDP值年份实际GDP值预测GDP值20012482,492548.91201110047.5920022969.593016.40201210997.4720033585.723579.39201311073.5420044282.144302.28201411901.8420054950.914919.29201512512.5820065684.395604.26201613217.73

20、20076801.576578.56201713967.4120087786.927654.81201814537.7620098201.328564.23201915143.9420109581.519684.85202015769.47为此，我们可以求出和的值：由可得： 通过1979年初始可知,几乎可以忽略不计，则：通过上面数据求出的平均值为： 由此可得： 则： 可得下表：表5 与时间关系表年份20112012201320142015201620172018201920201103.0571373.6641364.3961465.7031533.3361613.6391699.144175

21、6.521817.7151880.2284.1.2.3 求解为探亲访友、旅游、治病等而外出的人员： 对于，探亲访友与深圳市现有人口总数成正比，旅游人数可以通过深圳市旅游人口数情况可直接求的；对于外来治病人数，显然与深圳市公有医院服务水平有很大关系，我们假设成正比关系，因此我们可得： 求解,对于探亲访友人数应该和在该地区中人口成正比，在1979年，深圳刚开放，以此那时没有几乎没有其它外来人员，为此我们可得： 可得：表6 访友人数表年20112012201320142015201620172018201920205.832457.1086697.1086697.6304458.0151728.45

22、93718.9316219.2909059.67275910.0668 求解，根据现有的资料，我们查询深圳市南山区2008年统计年鉴旅行情况可得下表： 表7 09年6月旅游者接待情况统计项目单位2000年2001年2002年2003年2004年2005年2006年2007年2008年接待游客人次万人/次986.710041044851.510881116.8115712501185.3旅游景点接待人次万人/次767.21762.22837.24625.39897.42924.98922.631003.6873.66旅游业总收入亿元104.33107.89旅游企业营业收入亿元16.517.319

23、.318.922.224.427.4431.2731.98宾馆酒店客房率%75.172.273.971.272.069.770.765.463.5 为此，根据上表我们求解出该区每天平均每天接待人数和同比增长率如下表所示： 表8 每天平均每天接待人数和同比增长率项目单位2000年2001年2002年2003年2004年2005年2006年2007年2008年接待游客人次万人/次986.710041044851.510881116.811571250.21185.3平均每天接待人数万人/次2.7032.7062.860272.3322.9808223.0597263.1698633.4252053

24、.247397同比增长万人/次%00.0175330.03840.2777450264710.0369960.080553-0.05191 由上表可知深圳近几年来旅游增长幅度不大，而且旅游是深圳非常住人口的一小部分，为了减少计算难度，我们忽略的这种增长。对于深圳共有7个区，为了简化计算，我们假设旅客到每一区去旅行都是随机的，去每区每年平均每天接待人数为3.425万可得： 对于外来求医人数，深圳市公有医院服务水平有很大关系，我们假设与公有医院的等级成正比，与公有医院的总数成正比关系，因此我们可得： 其中： 公有医院等级因数； 公有医院总数；但是根据题意：此深圳目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市

25、平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求。可知，对于深圳医疗水平，相对于其它如上海、广州等一些大城市相比，医疗水平很弱，因此为了简化模型便于计算，我们将直接放到其它人口中考虑。4.1.2.4 求解三无人口数目：三无人口定义：无职业、无收入、无暂住证的三无人员即盲流人口。由此我们可以得到该三无人口出现的概率非常小，几乎可以忽略不计，为此我们也将他归为其它人口内。综上所述： 综上所述求解可得： 表9 非常住人口表年份2011201220132014201520162017201820192020Q1167.8171439.6521430.4321532.261600.2781681.0251767.

26、0021824.7381886.3151949.2224.1.3 人口年龄结构分析与预测 首先，我们根据附件二、附件三、附件四给出的几组数据计算出深圳市2000年、2005年、2010年的人口性别比及年龄结构，具体如下：表 10 年龄男女0-4岁5-9岁10-14岁15-19岁20-24岁25-29岁2000年0.492862790507137213.312.912.2814.7124.9920.232005年0.50970.49033.273.172.73134322.7816.562010年0.541770.4582294.113.122.757.4619.6717.65年龄30-34岁3

27、5-39岁40-44岁45-49岁50-54岁55-59岁60-64岁65-69岁2000年13.487.663.542.441.460.910.810.552005年14.269.865.842.571.911.260.830.712010年12.9811.418.825.482.541.931.01069年龄70-74岁75-79岁80-84岁85-89岁90-94岁95-99岁100岁及以上2000年0.320.180.070.0450.01610.00440.0000072005年0.480.220.120.0430.05180.01590.0000072010年0.520.310.1

28、40.0630.02860.01370.000006 利用该表的数据绘制出深圳市2000年、2005年、2010年的人群年龄结构分布图，如下所示： 图 12通过对表10的分析我们发现深圳人口的总体结构大致保持不变，但是通过对比我们发现深圳市014岁人口比例保持稳定，1535岁的人口比例呈下降趋势，3559岁的人口比例呈上升趋势，而69岁到100岁以上的人口比例较稳定。同时，从深圳市人群年龄结构图可知，深圳市的主要人口在年龄构成上为15至50岁的人口最多，15岁以下及45岁以上人群较少。4.1.3.1 人口结构分析 我们知道，在一个稳定的社会，人口结构在短期内会保持稳定，不可能发生大规模变化。通

29、过上表对深圳市人口年龄结构的分析我们知道深圳市的人口呈现出小规模的变动，因此未来10年该市的人口结构将大致保持稳定。并且现代人少生优生的理念已经深入人心，因此小孩的增长率在短时间内不会发生较大的改变，也就是说深圳人口结构总体上将保持稳定。2005年的人口结构为预测数据，具有不确定性，因此我们选择2000年及2010年的数据进行分析，认为2010年的人口结构即为2000年及2020年人口结构的平均数。由图12可知，人口所占比例与之前几乎一致。据此我们由公式E=2B-A来预测深圳市2020年的各年龄阶段的人口比例其中， E(2020年各年龄段所占百分比)； B(2010年各年龄段所占百分比)； A

30、(2000年各年龄段所占百分比)。通过计算得到深圳市2020年个年年龄阶段的人口比例如下（表11）： 表11 深圳市2020年各年龄段人口所占百分比年龄男女0-4岁5-9岁10-14岁15-19岁20-2岁25-29岁2020年百分比0.526537210.473462793.233.433.1812.1520.5712.89年龄30-34岁35-39岁40-44岁45-49岁50-54岁55-59岁60-6岁65-69岁2020年百分比15.0412.068.142.702.361.610.850.87年龄70-74岁75-79岁80-84岁85-89岁90-94岁95-99岁100岁及以上

31、2020年百分比0.640.260.170.0410.08750.02740.0000074.1.4 全市医疗床位的需求预测通过查询深圳统计年鉴2011，我们得到了1979年到2010年深圳市医院及床位的发展情况，具体如下： 表 12年份19791980198110821983198419851986床位5976437907171023163418852028年份19871988198919901991199219931994床位22252496283831803498446651686040年份19951996199719981999200020012002床位664071057813835

32、3872096161054211808年份20032004200520062007200820092010床位1269714186155771619316766184351987221166据此我们绘制出深圳市1979年到2009年的人口数量及床位发展变化曲线。图13 深圳市1979年至2010年医疗床位变化情况图14 深圳市1979年至2010年人口变化情况通过观察分析可知，深圳市的床位数目及人口数目变化的趋势是一致的，利用MALTAB数学软件对已知数据进行多次拟合，进行对比筛选，认为二次拟合（程序代码见附录一）是最优的，通过编程我们得出如下图形（图15）： 图 15 图中蓝线曲线为医院床位

33、实际数字的曲线绘制，红线为采用二次拟合模型的曲线，该函数为，因此可以预测2020年该市床位数大约为3.58万个，2011年到2020年的床位需求变化大致为： 表 14年份2011201220132014201520162017201820192020床位数（万个）2.102.362.502.642.792.943.103.263.423.58 在预测2010年至2020年各区的床位需求时，我们假设各个区未来十年的人口数目占总人口的比例基本保持不变，各个区人口总数占全市的比例与2010年相同。利用附件二算出的2010年深圳市各区人口比例如下表所示： 表 15区域名罗湖区福田区南山区宝安区龙岗区盐

34、田区光明新区坪山新区人口（人）9234701317620108800840178052011224208878481505309244比例（%）0.090.130.110.390.190.020.050.03据此我们将2010年到2020年的的医疗床位按照各区人口比例分配到各个区，预测出的深圳市各个区未来十年的医疗床位数目如下： 表 16罗湖区福田区南山区宝安区龙岗区盐田区光明新区坪山新区2011年2002.002891.782446.898675.354226.45444.891112.22667.332012年2123.603067.432595.519202.284483.16471.9

35、11179.78707.872013年2248.903248.412748.669745.244747.68499.761249.39749.632014年2377.903434.752906.3310304.245020.02528.421321.06792.632015年2510.603626.433068.5210879.285300.16557.911394.78836.872016年2647.013823.453235.2311470.365588.12588.221470.56882.342017年2787.114025.823406.4712077.475883.90619.36

36、1548.39929.042018年2930.914233.543582.2312700.626187.48651.311628.29976.972019年3078.424446.603762.5113339.816498.88684.091710.231026.142020年3229.624665.013947.3213995.046818.09717.691794.241076.544.2 问题二的求解4.2.1 不同类型的医疗机构就医的床位需求4.2.1.1 求解思路分析： （1）、我们依据2010年度政府办医院部分病种信息一览表，来预测2020年政府办各类医疗机构的急性阑尾炎和子宫平滑

37、肌瘤两种病的床位需求。 （2）、由于统计数据仅限于政府办医院，所以我们假定患者仅到政府办医院就诊，并且假设患者直到到各种政府办医院就医的概率是相同的且在长时间内保持稳定。 （3）、假设A病在B类医院每天就诊人数为P，其平均住院天数为Q，那么A病在B医院应当设置的床位数为M=PQ，即A病在B医院该设置的床位数为每天就诊人数与其平均住院天数的积。在这个过程中考虑因医疗条件改善导致的住院周期的降低。最终算出未来A病在B类医院需要的床位数。 （4）、利用已知数据求解出A病占B人群的百分比，再通过已经预测的B类人群的数量求出A病在未来的病例数，在这个过程中考虑到医疗条件的改善而导致的发病率降低，外来就医人数的改变以及各种突发情况，最终预测出未来A病的大致病例数P。4.2.1.2 医疗机构分类：我们根据政府办医院的不同性质将其分为四种：综合医院、妇幼保健院、中医院、儿童医院。其中综合医院医疗专业性强，内、外、妇、儿等专科齐全，许多医院在医疗之外，