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1、行列式与矩阵知识在解析几何某些问题中的应用西安文理学院本科毕业论文（设计）开题报告论文（设计）题目行列式与矩阵知识在解析几何某些问题中的应用毕业年份 系院 数学系专业、班级 学生姓名 学号 指导教师 一、 拟开展研究的价值和意义 高等代数与解析几何不仅是作为数学学科中三大支柱课程中的一部分,也是数学系课程中联系最为密切的两门基础课程,在代数与几何的发展过程中，高等代数与解析几何互相联系、互相促进的关系日趋明显。行列式与矩阵是高等代数的一部分主要内容，讨论行列式与矩阵的知识在解析几何某些问题中的应用，对于未来研究解析几何有着重要的意义。二、研究的步骤方法 1、查阅书籍学刊，搜集整理材料，熟悉、分
2、析行列式与矩阵在解析几何中的部分应用。 2、通过分析研究，归纳总结出行列式与矩阵对于研究解析几何中有着重要的意思。三、论文拟定提纲 一 摘要，关键词，引言 二 正文 1.行列式在解析几何中的应用1.1两向量共线问题1.2三向量共面问题1.3行列式知识在直线一般方程与标准方程互化中的应用1.4空间两直线的相关位置关系的判定1.5行列式的知识在有关距离计算中的应用1.6两直线在同一平面上的判定2.矩阵知识在解析几何中的应用2.1矩阵知识在二次曲线的化简中的作用2.1.1有心二次曲面方程的化简2.1.2无心二次曲面方程的化简2.2应用不变量化简二次曲面的方程 2.2.1不变量与半不变量 2.2.2二
3、次曲面五种类型的判别 三 结语 行列式与矩阵的知识对于我们学习研究解析几何有着很多的帮助。四、主要参考文献1吕林根，许子道.解析几何M.北京：高等教育出版社，2007.2牛兴文.高等代数与解析几何M.北京：化学工业出版社，2005.3胡国权.几何与代数引导M.北京：科学出版社，2006.4王心介.高等代数与解析几何M.北京：科学出版社，2002.5刘仲奎.高等代数M.北京：高等教育出版社，2003.6孟道骥.高等代数与解析几何M北京：科学出版社，1998.7田勇.线性代数教材辅导M.北京：科学技术文献出版社，2005. 8杨武茂,李全英.空间解析几何M.武汉:武汉大学出版社, 2004.9李汉
4、龙，王金宝，朱宝彦.化简二次曲面的一种新方法J.沈阳：建筑大学学报，2007.10陈志杰.等代数与解析几何M.北京：高等教育出版社，2000.11王元.华罗庚M.北京：开明出版社,1994.指导教师意见及建议签字： 年 月 日系（院）主管主任意见及建议签字 （盖章）： 年 月 日 注：此表前4项由学生填写后，交指导教师签署意见，经主管系主任审批后，才能开题行列式与矩阵知识在解析几何某些问题中的应用摘要：高等代数与解析几何不仅是作为数学学科中三大支柱课程中的一部分,也是数学系课程中联系最为密切的两门基础课程,在代数与几何的发展过程中，高等代数与解析几何互相联系、互相促进的关系日趋明显。行列式与矩
5、阵是高等代数的一部分主要内容，本文主要讨论行列式与矩阵的知识在解析几何某些问题中的应用，认为行列式与矩阵的知识对于解析几何的研究有着重要的意义。关键词：行列式；矩阵；解析几何；应用The determinant and matrix knowledge in the application of some problems in analytic geometry Abstract: higher algebra and analytic geometry as mathematics is not only part of the three pillar courses in math c
6、ourses, also is most closely connected, the two basic courses in algebra and geometry of the development process, the higher algebra and analytic geometry connected each other, promote each other relationship has become increasingly evident. The determinant and matrix is higher algebra part of main
7、contents, this article mainly discusses the determinant and matrix knowledge in analytic geometry, and some problems reflect the application for the knowledge with matrix determinant of analytic geometry is of great significance to the study. Keywords: determinant; Matrix; Analytic geometry; applica
8、tion 引言：在解析几何中，许多问题的解决都需要运用高等代数中行列式与矩阵的知识，行列式与矩阵知识是解决解析几何问题的重要桥梁。因此，研究行列式与矩阵知识在解析几何某些问题中的应用这个课题，可以帮助我们更加深入和广泛的研究解析几何。1.行列式在解析几何中的应用1.1两向量共线问题定理：设为两不共线的向量，证明向量共线的充要条件是=0证：由于两向量共线的充要条件是存在不全为零的数使 即因为为两不共线的向量，也就是两向量线性无关.所以 又因为不全为零，从而得向量与共线的充要条件为=01.2三向量共面问题1.2.1定理 三向量，共面的充要条件是=0证：我们来研究三向量的混合积是如何表示的由于=+根
9、据数量积的坐标表示法，得= =+, =通过研究混合积我们知道三向量的混合积最终可以表示为一个行列式，要说明三向量共面，我们只需再证明它们的坐标构成的行列式的值为零.由于三向量共面的充要条件是存在不全为0的数使得 =0由此可得 因为不全为零，所以 即：三向量共面的充要条件是1.2.2四点共面问题定理：四个点共面的充要条件是 或 证：取平面的方向向量，那么， ，因此平面的向量式参数方程为（1）坐标式参数方程为（2）从（1）与（2）分别消去参数得 与=0又可改写为1.3行列式知识在直线一般方程与标准方程互化中的应用设有两个平面与，存在 如果,即方程组的系数行列式,不全为零 ，那么平面与相交，它们的交
10、线设为如果我们令为直线上一点，则,就是直线的方向向量，于是得直线的标准方程为=例1 化直线的一般方程 为标准方程解：因为直线的方向数为：=-4:8:0=1：（-2）：0再设，解得，那么（0,4,1）为直线上的一点，所以直线的标准方程为 1.4空间两直线的相关位置关系的判定1.4.1空间两直线的位置关系有异面与共面，而在共面中又有相交、平行、重合的三种情况设两直线, ,这里的直线是由点与向量决定的，是由点与向量决定的。空间两直线（1）与（2）的相关位置有以下几种情形：异面： ;相交：;1.5行列式的知识在有关距离计算中的应用定理：设, 则它们之间的距离计算公式是 证：设两异面直线与它们的公垂线的
11、交点分别为,而分别为直线上的任意点，于是公垂线的长于是为两异面直线的的距离，即,其中分别为两异面直线上的已知点，而两异面的方向向量与的向量积显然平行于公垂线，所以是公垂线的一个方向向量，因此有如果用坐标表示就是例2.求通过点且与两直线，都相交的直线的方程。解： 设所求直线的方向向量为,那么所求直线的方程可写成 因为都相交，而且过点，方向向量为，过点，方向向量为。所以有,即，即又上两式的显然又有，即，即所以所求直线的方程为1.6两直线在同一平面上的判定定理:直线与在同一平面上的充要条件是=0证：因为通过的任意平面=0其中是不全为零的任意实数，而通过的任一平面为=0其中是不全为零的任意实数。因此两
12、直线在同一平面上的充要条件是存在不全为零的实数与使得以上两平面表示一个相同的平面，那么就存在一个不为零的数因子，即化简整理得所以 因为不全为零，所以得=0而，因此两直线共面的充要条件为=0 即 =0以上我们看出了高等代数中的行列式知识在研究向量共线，向量共面，直线的一般方程表示以及判断两直线共面中都有非常重要的应用.2. 矩阵知识在解析几何中的应用2.1矩阵知识在二次曲线的化简中的作用2.1.1有心二次曲面方程的化简我们把二次曲面分为中心二次曲面，线心二次曲面，面心二次曲面和无心二次曲面四种，我们把前三种二次曲面统称为有心二次曲面，现讨论有心二次曲面标准方程的建立。设是有心二次曲面在直角坐标系
13、下的方程，则有解，存在一个正交矩阵，使得.任取的一个解.设，可得直角坐标系.把到的直角坐标变换公式带入的方程，可得由，可得其中. 即可化为标准方程.例3.用直角坐标变换化二次曲面为标准方程，写出坐标变换公式，并说明是什么曲面.解 设 , , 则方程可记作由,可知有唯一解，方程表示中心二次曲面.解方程组，可求出唯一解，进而可得的特征值多项式为=的特征值为，分别解方程组,可求出对应的单位特征向量.待添加的隐藏文字内容3，.于是原方程在直角坐标变换下化为，进而得到的标准方程.曲面为单叶双曲面2.1.2无心二次曲面方程的化简设是无心二次曲面在直角坐标系下的方程，则无解，存在正交线性替换 把二次型化为标
14、准形由无解，可得,又有，可得.中至少有一个不为0，不妨设（1） 若，可配方得到其中.当时，可化为令则方程经可化为当时，可在直角坐标变换的逆变换下化为（2）若,可配方得到，其中.当不全为0时，方程可在直角坐标变换的逆变换下化为当全为0时，方程可在直角坐标变换的逆变换下化为例4.用直角坐标变换化二次曲面为标准方程，写出坐标变换公式，并说明是什么曲面。解 设 ， ，则原方程可记为由无解，可知方程表示无心二次曲面A的特征多项式为A的特征值为，可求出对应的单位特征向量.原方程在正交线性替换下化为可经配方化为设可化为标准方程，表示双曲抛物面.所做的直角坐标变换 =+2.2应用不变量化简二次曲面的方程2.2
15、.1不变量与半不变量二次曲面（1） =0在空间直角坐标变换下，有四个不变量与两个半不变量，即2.2.2二次曲面五种类型的判别二次曲面（1）通过坐标变换总可以化成下面的五个简化方程中的一个：（I），（II），（III），（IV），（V），也就是说任何一个二次曲面，它一定属于这五类曲面中的一类，现在我们介绍如何应用二次曲面的不变量来判别二次曲面的类型.1. 当二次曲面（1）是第I类曲面时，那么有 2. 当二次曲面（1）是第II类曲面时，那么有 而 3. 当二次曲面（1）是第III类曲面时，那么有 而 4. 当二次曲面（1）是第IV类曲面时，那么有 而 5. 当二次曲面（1）是第V类曲面时，那么有
16、以上这些区别五类二次曲面的必要条件，包括了所有可能而且互相排斥的各种情况，所以它们不仅是必要的而且也是充分的，因此我们得出以下结论；如果给出了二次曲 =0那么用不变量来判别二次曲面为何类型的充要条件是：第I类曲面：；第II类曲面：，第III类曲面：，第IV类曲面：，第V类曲面:，结束语以上我们足以看出行列式和矩阵在解析几何中的应用是非常广泛的，其实这些只是行列式和矩阵的知识在解析几何中的一部分应用而已，在很多领域解析几何都需要用到行列式和矩阵的知识，所以行列式与矩阵的知识对于我们学习研究解析几何有着很多的帮助。参考文献1吕林根，许子道.解析几何M.北京：高等教育出版社，2007.2牛兴文.高等
17、代数与解析几何M.北京：化学工业出版社，2005.3胡国权.几何与代数引导M.北京：科学出版社，2006.4王心介.高等代数与解析几何M.北京：科学出版社，2002.5刘仲奎.高等代数M.北京：高等教育出版社，2003.6孟道骥.高等代数与解析几何M北京：科学出版社，1998.7田勇.线性代数教材辅导M.北京：科学技术文献出版社，2005. 8杨武茂,李全英.空间解析几何M.武汉:武汉大学出版社, 2004.9李汉龙，王金宝，朱宝彦.化简二次曲面的一种新方法J.沈阳：建筑大学学报，2007.10陈志杰.等代数与解析几何M.北京：高等教育出版社，2000.11王元.华罗庚M.北京：开明出版社,1994.
