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1、热力学第一定律2.1 改变内能的两种方式热力学第一定律211、作功和传热作功可以改变物体的内能。如果外界对系统作功W。作功前后系统的内能分别为、，则有没有作功而使系统内能改变的过程称为热传递或称传热。它是物体之间存在温度差而发生的转移内能的过程。在热传递中被转移的内能数量称为热量，用Q表示。传递的热量与内能变化的关系是做功和传热都能改变系统的内能，但两者存在实质的差别。作功总是和一定宏观位移或定向运动相联系。是分子有规则运动能量向分子无规则运动能量的转化和传递；传热则是基于温度差而引起的分子无规则运动能量从高温物体向低温物体的传递过程。212、气体体积功的计算1、准静态过程ABhh图2-1-1
2、一个热力学系统的状态发生变化时，要经历一个过程，当系统由某一平衡态开始变化，状态的变化必然要破坏平衡，在过程进行中的任一间状态，系统一定不处于平衡态。如当推动活塞压缩气缸中的气体时，气体的体积、温度、压强均要发生变化。在压缩气体过程中的任一时刻，气缸中的气体各部分的压强和温度并不相同，在靠近活塞的气体压强要大一些，温度要高一些。在热力学中，为了能利用系统处于平衡态的性质来研究过程的规律，我们引进准静态过程的概念。如果在过程进行中的任一时刻系统的状态发生的实际过程非常缓慢地进行时，各时刻的状态也就非常接近平衡态，过程就成了准静态过程。因此，准静态过程就是实际过程非常缓慢进行时的极限情况高中物理竞
3、赛热学教程 第二讲 热力学第一定律对于一定质量的气体，其准静态过程可用图、图、图上的一条曲线来表示。注意，只有准静态过程才能这样表示。2、功在热力学中，一般不考虑整体的机械运动。热力学系统状态的变化，总是通过做功或热传递或两者兼施并用而完成的。在力学中，功定义为力与位移这两个矢量的标积。在热力学中，功的概念要广泛得多，除机械功外，主要的有：流体体积变化所作的功；表面张力的功；电流的功。图2-1-2(1)机械功有些热力学问题中，应考虑流体的重力做功。如图2-1-1所示，一直立的高2h的封闭圆筒，被一水平隔板C分成体积皆为V的两部分。其中都充有气体，A的密度较小，B的密度较大。现将隔板抽走，使A、
4、B气体均匀混合后，重力对气体做的总功为 AB图2-1-3(2)流体体积变化所做的功我们以气体膨胀为例。设有一气缸，其中气体的压强为P，活塞的面积S(图2-1-2)。当活塞缓慢移动一微小距离时，在这一微小的变化过程中，认为压强P处处均匀而且不变，因此是个准静态过程。气体对外界所作的元功，外界(活塞)对气体做功，当气体膨胀时0，外界对气体做功W0；气体压缩时0，外界对气体做功W0。如图2-1-3所示的A、B是两个管状容器，除了管较粗的部分高低不同之外，其他一切全同。将两容器抽成真空，再同时分别插入两个 O 图2-1-4VBPADC水银池中，水银沿管上升。大气压强皆为P，进入管中水银体积皆为V，所以
5、大气对两池中水银所做功相等，但由于克服重力做功A小于B，所以A管中水银内能增加较多，其温度应略高。准静态过程可用p-V图上一条曲线来表示，功值W为p-V图中过程曲线下的面积，当气体被压缩时W0。反之W0。如图2-1-4所示的由A态到B态的三种过程，气体都对外做功，由过程曲线下的面积大小可知：ACB过程对外ABCDF图2-1-5功最大，AB次之，ADB的功最小。由此可知，在给定系统的初态和终态，并不能确定功的数值。功是一个过程量，只有当系统的状态发生变化经历一个过程，才可能有功；经历不同的过程，功的数值一般而言是不同的。(3)表面张力的功液面因存在表面张力而有收缩趋势，要加大液面就得作功。设想一
6、沾有液膜的铁丝框ABCD(图2-1-5)。长为2l的力作用在BC边上。要使BC移动距离x，则外力F作的功为W=Fx=2lx=S。式中为表面张力系数，指表面上单位长度直线两侧液面的相互拉力，S指BC移动中液膜两个表面面积的总变化。外力克服表面张力的功转变为液膜的表面能。由此可见，作功是系统与外界相互作用的一种方式，也是两者的能量相互交换的一种方式。这种能量交换的方式是通过宏观的有规则运动来完成的。我们把机械功、电磁功等统称为宏观功。213、热力学第一定律当系统与外界间的相互作用既有做功又有热传递两种方式时，设系统在初态的内能，经历一过程变为末态的内能，令。在这一过程中系统从外界吸收的热量为Q，外
7、界对系统做功为W，则E=W+Q。式中各量是代数量，有正负之分。系统吸热Q0，系统放热Q0；外界做功W0，系统做功W0；内能增加E0，内能减少E0。热力学第一定律是普遍的能量转化和守恒定律在热现象中的具体表现。214、 热量当一个热力学系统与温度较高的外界热接触时，热力学系统的温度会升高，其内能增加，状态发生了变化。在这个状态变化的过程中，是外界把一部分内能传递给了该系统，我们就说系统从外界吸收了热量。如果系统与外界没有通过功来交换能量，系统从外界吸收了多少热量，它的内能就增加多少。热量是过程量。做功和传递热量都可以使系统的内能发生变化，但它们本质上是有区别的，做功是通过物体的宏观位移来完成的，
8、是通过有规则的运动与系统内分子无规则运动之间的转换，从而使系统的内能有所改变；传递热量是通过分子之间的相互作用来完成的，是系统外物体分子无规则运动与系统内分子无规则运动之间的传递，从而使系统的内能有所改变。为了区别起见，我们把热量传递叫做微观功。215、气体的自由膨胀气体向真空的膨胀过程称为气体的自由膨胀。气体自由膨胀时，没有外界阻力，所以外界不对气体做功W=0；由于过程进行很快，气体来不及与外界交换热量，可看成是绝热过程Q=0；根据热力学第一定律可知，气体绝热自由膨胀后其内能不变，即E=0。如果是理想气体自由膨胀，其内能不变，气体温度也不会变化，即T=0；如果是离子气体自由膨胀，虽内能不变，
9、但分子的平均斥力势能会随着体积的增大而减小，分子的平均平动动能会增加，从而气体温度会升高，即T0；如果是存在分子引力的气体自由膨胀后，其内能不变，但平均分子引力势能会增大，分子平均平动动能会减小，气体温度会降低，即T0。例1、绝热容器A经一阀门与另一容积比A的容积大得多的绝热容器B相连。开始时阀门关闭，两容器中盛有同种理想气体，温度均为30，B中气体的压强是A中的两倍。现将阀门缓慢打开，直至压强相等时关闭。问此时容器A中气体的温度为多少？假设在打开到关闭阀门的过程中处在A中的气体与处在B中的气体之间无热交换。已知每摩尔该气体的内能为E=2.5RT。分析：因为B容器的容积远大于A的容积，所以在题
10、述的过程中，B中气体的压强和温度均视为不变。B容器内部分气体进入A容器，根据题设，A容器内气体是个绝热过程。外界(B容器的剩余气体)对A气体做功等于其内能的增量，从而求出A气体的最终温度。解：设气体的摩尔质量为M，A容器的体积V，打开阀门前，气体质量为m，压强为p，温度为T。打开阀门又关闭后，A中气体压强为2p，温度为，质量为，则有， 进入A气体质量，设这些气体处在B容器中时所占体积为。为把这些气体压入A容器，B容器中其他气体对这些气体做的功为。A中气体内能的变化。根据热力学第一定律有例2、一根长为76cm的玻璃管，上端封闭，插入水银中。水银充满管子的一部分。 76cm图2-1-6封闭体积内有
11、空气，如图2-1-6所示，大气压为76cmHg。空气的摩尔定容热容量，当玻璃管温度降低10时，求封闭管内空气损失的热量。分析：取封闭在管内的空气为研究对象，为求出空气在降温过程中的放热，关键是确定空气在降温过程中遵循的过程方程。由于管内空气压强p等于大气压强与管内水银柱压强之差，因管长刚好76cm，故P与空气柱高度成正比，即封闭气体的压强与其体积成正比。随着温度降低，管内水银柱上升，空气的压强与体积均减小，但仍保持正比关系。解：设在降温过程中管内封闭空气柱的高度为h，水银柱高度为，则。管内封闭空气的压强为式中为水银密度，上式表明，在降温过程中，空气的压强p与空气柱高度h成正比，因管粗细均匀，故
12、p与空气体积V成正比，即V这就是管内封闭空气在降温过程中所遵循的过程方程。空气在此过程中的摩尔热容量 。本题也可直接由热力学第一定律求解，关键要求得空气膨胀做功。由题给数据，可分析得空气对水银柱做功是线性力做功的情形。2.2 热力学第一定律对理想气体的应用221、等容过程气体等容变化时，有恒量，而且外界对气体做功。根据热力学第一定律有E=Q。在等容过程中，气体吸收的热量全部用于增加内能，温度升高；反之，气体放出的热量是以减小内能为代价的，温度降低。 式中 。221、等压过程气体在等压过程中，有恒量，如容器中的活塞在大气环境中无摩擦地自由移动。根据热力学第一定律可知：气体等压膨胀时，从外界吸收的
13、热量Q，一部分用来增加内能，温度升高，另一部分用于对外作功；气体等压压缩时，外界对气体做的功和气体温度降低所减少的内能，都转化为向外放出的热量。且有 定压摩尔热容量与定容摩尔热容量的关系有。该式表明：1mol理想气体等压升高1K比等容升高1k要多吸热8.31J，这是因为1mol理想气体等压膨胀温度升高1K时要对外做功8.31J的缘故。223、等温过程气体在等温过程中，有pV=恒量。例如，气体在恒温装置内或者与大热源想接触时所发生的变化。理想气体的内能只与温度有关，所以理想气体在等温过程中内能不变，即E=0，因此有Q=-W。即气体作等温膨胀，压强减小，吸收的热量完全用来对外界做功；气体作等温压缩
14、，压强增大，外界的对气体所做的功全部转化为对外放出的热量。224、绝热过程气体始终不与外界交换热量的过程称之为绝热过程，即Q=0。例如用隔热良好的材料把容器包起来，或者由于过程进行得很快来不及和外界发生热交换，这些都可视作绝热过程。理想气体发生绝热变化时，p、V、T三量会同时发生变化，仍遵循恒量。根据热力学第一定律，因Q=0，有 这表明气体被绝热压缩时，外界所作的功全部用来增加气体内能，体积变小、温度升高、压强增大；气体绝热膨胀时，气体对外做功是以减小内能为代价的，此时体积变大、温度降低、压强减小。气体绝热膨胀降温是液化气体获得低温的重要方法。例：0.020kg的氦气温度由17升高到27。若在
15、升温过程中，体积保持不变，压强保持不变；不与外界交换热量。试分别求出气体内能的增量，吸收的热量，外界对气体做的功。气体的内能是个状态量，且仅是温度的函数。在上述三个过程中气体内能的增量是相同的且均为： 等容过程中 ， 在等压过程中 在绝热过程中 ，1mol温度为27的氦气，以的定向速度注入体积为15L的真空容器中，容器四周绝热。求平衡后的气体压强。平衡后的气体压强包括两部分：其一是温度27，体积15L的2mol氦气的压强；其二是定向运动转向为热运动使气体温度升高T所导致的附加压强p。即有氦气定向运动的动能完全转化为气体内能的增量：225、其他过程理想气体的其他过程，可以灵活地运用下列关系处理问
16、题。气态方程： 热力学第一定律： 功：W=(-V图中过程曲线下面积)过程方程：由过程曲线的几何关系找出过程的PV关系式。若某理想气体经历V-T图中的双曲线过程，其过程方程为：VT=C 或者 226、绝热过程的方程绝热过程的状态方程是 其中 227、循环过程系统由某一状态出发，经历一系列过程又回到原来状态的过程，称为循环过程。热 ABCDPVOMN图2-2-1机循环过程在P-V图上是一根顺时针绕向的闭合曲线(如图2-2-1)。系统经过循环过程回到原来状态，因此E=0。由图可见，在ABC过程中，系统对外界作正功，在CDA过程中，外界对系统作正功。在热机循环中，系统对外界所作的总功：(P-V图中循环
17、曲线所包围的面积)而且由热力学第一定律可知：在整个循环中系统绕从外界吸收的热量总和，必然大于放出的热量总和，而且热机效率表示吸收来的热量有多少转化为有用的功，是热机性能的重要标志之一，效率的定义为5003241V00图2-2-21例1一台四冲程内燃机的压缩比r=9.5，热机抽出的空气和气体燃料的温度为27，在larm=压强下的体积为，如图2-2-2所示，从12是绝热压缩过程；23混合气体燃爆，压强加倍；从34活塞外推，气体绝热膨胀至体积；这是排气阀门打开，压强回到初始值larm(压缩比是气缸最大与最小体积比，是比热容比)。(1)确定状态1、2、3、4的压强和温度；(2)求此循环的热效率。分析：
18、本题为实际热机的等容加热循环奥托循环。其热效率取决于压缩比。 V解：对于绝热过程，有恒量，结合状态方程，有恒量。(1)状态1，得 ，在状态3，用绝热过程计算状态4，由 得 ,。(2)热效率公式中商的分母是23过程中的吸热，这热量是在这一过程中燃烧燃料所获得的。因为在这一过程中体积不变，不做功，所以吸收的热量等于气体内能的增加，即，转化为功的有用能量是23过程吸热与41过程放热之差： 热效率为：绝热过程有： ,因为 ,故 , 而 因此 。热效率只依赖于压缩比，=59.34%，实际效率只是上述结果的一半稍大些，因为大量的热量耗散了，没有参与循环。2-3 热力学第二定律231、卡诺循环物质系统经历一
19、系列的变化过程又回到初始状态，这样的周而复始的变化过程为循环过程，简称循环。在P-V图上，物质系统的循环过程用一个闭合的曲线表示。经历一个循环，回到初始状态时，内能不变。利用物质系统(称为工作物)持续不断地把热转换为功的装置叫做热机。在循环过程中，使工作物从膨胀作功以后的状态，再回到初始状态，周而复始进行下去，并且必而使工作物在返回初始状态的过程中，外界压缩工作物所作的功少于工作物在膨胀时对外所做的功，这样才能使工作物对外做功。获得低温装置的致冷机也是利用工作物的循环过程来工作的，不过它的运行方向与热机中工作物的循环过程相反。0V1V4V2V3VT1T2图2-3-1卡诺循环是在两个温度恒定的热
20、源之间工作的循环过程。我们来讨论由平衡过程组成的卡诺循环，工作物与温度为的高温热源接触是等温膨胀过程。同样，与温度为的低温热源接触而放热是等温压缩过程。因为工作物只与两个热源交换能量，所以当工作物脱离两热源时所进行的过程，必然是绝热的平衡过程。如图2-3-1所示，在理想气体卡诺循环的P-V图上，曲线ab和cd表示温度为和的两条等温线，曲线bc和da是两条绝热线。我们先讨论以状态a为始点，沿闭合曲线abcda所作的循环过程。在abc的膨胀过程中，气体对外做功是曲线abc下面的面积，在cda的压缩过程中，外界对气体做功是曲线cda下面的面积。气体对外所做的净功就是闭合曲线abcda所围面积，气体在
21、等温膨胀过程ab中，从高温热源吸热，气体在等温压缩过程cd中，向低温热源放热。应用绝热方程 和 得 所以 卡诺热机的效率我们再讨论理想气体以状态a为始点，沿闭合曲线adcba所分的循环过程。显然，气体将从低温热源吸取热量，又接受外界对气体所作的功W，向高温热源传热。由于循环从低温热源吸热，可导致低热源的温度降得更快，这就是致冷机可以致冷的原理。致冷机的功效常用从低温热源中吸热和所消耗的外功W的比值来量度，称为致冷系数，即，对卡诺致冷机而言，。有一卡诺致冷机，从温度为-10的冷藏室吸取热量，而向温度为20的物体放出热量。设该致冷机所耗功率为15kW，问每分钟从冷藏室吸取的热量是多少？令，则。每分
22、钟作功，所以每分钟从冷藏室中吸热。232、热力学第二定律表述1：不可能制成一种循环动作的热机，只从一个热源吸取热量，使之全部变为有用的功，而其他物体不发生任何变化。表述2：热量不可能自动地从低温物体转向高温物体。在表述1中，我们要特别注意“循环动作”几个字，如果工作物进行的不是循环过程，如气体作等温膨胀，那么气体只使一个热源冷却作功而不放出热量便是可能的。该叙述反映了热功转换的一种特殊规律，并且表述1与表述2具有等价性。我们用反证法来证明两者的等价性。pV图2-3-2假设表述1不成立，亦即允许有一循环E可以从高温热源取得热量，并全部转化为功W。这样我们再利用一个逆卡诺循环口接受E所作功W(=)
23、，使它从低温热源取得热量，输出热量给高温热源。现在把这两个循环总的看成一部复合致冷机，其总的结果是，外界没有对他做功而它却把热量从低温热源传给了高温热源。这就说明，如果表述1不成立，则表述2也不成立。反之，也可以证明如果表述2不成立，则表述1也必然不成立。试证明在P-V图上两条绝热线不能相交。假定两条绝热线与在P-V图上相交于一点A，如图2-3-2所示。现在，在图上再画一等温线，使它与两条绝热线组成一个循环。这个循环只有一个单热源，它把吸收的热量全部转变为功，即=1，并使周围没有变化。显然，这是违反热力学第二定律的，因此两条绝热线不能相交。233、卡诺定理设有一过程，使物体从状态A变到状态B。
24、对它来说，如果存在另一过程，它不仅使物体进行反向变化，从状态B回复到状态A，而且当物体回复到状态A时，周围一切也都各自回复到原状，则从状态A进行到状态B的过程是个可逆过程。反之，如对于某一过程，不论经过怎样复杂曲折的方法都不能使物体和外界恢复到原来状态而不引起其他变化，则此过程就是不可逆过程。气体迅速膨胀是不可逆过程。气缸中气体迅速膨胀时，活塞附近气体的压强小于气体内部的压强。设气体内部的压强为P，气体迅速膨胀微小体积V，则气体所作的功W，小于pV。然后，将气体压回原来体积，活塞附近气体的压强不能小于气体内部的压强，外界所作的功不能小于pV。因此，迅速膨胀后，我们虽然可以将气体压缩，使它回到原
25、来状态，但外界多作功；功将增加气体的内能，而后以热量形式释放。根据热力学第二定律，我们不能通过循环过程再将这部分热量全部变为功；所以气体迅速膨胀的过程是不可逆过程。只有当气体膨胀非常缓慢，活塞附近的压强非常接近于气体内部的压强p时，气体膨胀微小体积V所作的功恰好等于pV，那么我们才能非常缓慢地对气体作功pV，将气体压回原来体积。所以，只有非常缓慢的亦即平衡的膨胀过程，才是可逆的膨胀过程。同理，只有非常缓慢的亦即平衡的压缩过程，才是可逆的压缩过程。在热力学中，过程的可逆与否和系统所经历的中间状态是否平衡密切相关。实际的一切过程都是不可逆过程。卡诺循环中每个过程都是平衡过程，所以卡诺循环是理想的可
26、逆循环卡诺定理指出：(1)在同样高温(温度为)和低温(温度为)之间工作的一切可逆机，不论用什么工作物，效率都等于。(2)在同样高低温度热源之间工作的一切不可逆机的效率，不可能高于可逆机，即。下面我们给予证明。设高温热源，低温热源，一卡诺理想可逆机E与另一可逆机，在此两热源之间工作，设法调节使两热机可作相等的功W。现使两机结合，由可逆机从高温热源吸热向低温热源放热，其效率。可逆机所作功W恰好提供给卡诺机E，而使E逆向进行，从低温热源吸热，向高温热源放热，其效率为。我们用反证法，先设。由此得，即。当两机一起运行时，视他们为一部复合机，结果成为外界没有对这复合机作功，而复合机却能将热量从低温热源送至
27、高温热源，违反了热力学第二定律。所以不可能。反之，使卡诺机E正向运行，而使可逆机逆行运行，则又可证明为不可能，即只有=才成立，也就是说在相同的和两温度的高低温热源间工作的一切可逆机，其效率均为。如果用一台不可逆机来代替上面所说的。按同样方法可以证明为不可能，即只有。由于是不可逆机，因此无法证明。所以结论是，即在相同和的两温度的高低温热源间工作的不可逆机，它的效率不可能大于可逆机的效率。234、热力学第二定律的统计意义对于热量传递，我们知道，高温物体分子的平均动能比低温物体分子的平均动能要大，两物体相接触时，能量从高温物体传到低温物体的概率显然比反向传递的概率大得多。对于热功转换，功转化为热是在
28、外力作用下宏观物体的有规则定向运动转变为分子无规则运动的过程，这种转换的概率大，反之，热转化为功则是分子的无规则运动转变为宏观物体的有规则运动的过程，这种转化的概率小。所以，热力学第二定律在本质上是一条统计性的规律。一般说来，一个不受外界影响的封闭系统，其内部发生的过程，总是由概率小的状态向概率大的状态进行，由包含微观状态数目少的宏观状态向包含微观状态数目多的宏观状态进行，这是热力学第二定律统计意义之所在。例1、某空调器按可逆卡诺循环运转，其中的作功装置连续工作时所提供的功率。(1)夏天室外温度恒为，启动空调器连续工作，最后可将室温降至恒定的。室外通过热传导在单位时间内向室内传输的热量正比于(
29、)(牛顿冷切定律)，比例系数A。试用，和A来表示(2)当室外温度为30时，若这台空调只有30%的时间处于工作状态，室温可维持在20。试问室外温度最高为多少时，用此空调器仍可使室温维持在20。(3)冬天，可将空调器吸热、放热反向。试问室外温度最低为多少时，用此空调器可使室温维持在20。分析：夏天，空调机为制冷机，作逆向卡诺循环，从室内吸热，向室外放热，对工作物质作功。为保持室温恒定，空调器从室内吸热等于室外向室内通过热传导传输的热量。冬天刚好相反，空调器为热机，作顺向卡诺循环，从室外吸热，向室内放热。为保持室温恒定，空调器向室内的放热应等于室内向室外通过热传导传输的热量。解：(1)夏天，空调器为
30、制冷机，单位时间从室内吸热，向室外放热，空调器的平均功率为P，则。对可逆卡诺循环，则有，。通过热传导传热，由得因空调器连续工作，式中 ， (2)，而所求的是时对应的值，记为，则解得。(3)冬天，空调器为热机，单位时间从室外吸热，向室内放热，空调器连续工作，功率为，有，由热平衡方程得：=若空调器连续工作，则当冬天室外温度最低为1.74，仍可使室内维持在20。实验理论物理学是一门实验科学，几乎所有的物理定律都来自于物理实验并不断地受到新的物理实验的检验，因此研究物理实验是每个对物理感兴趣的同学必须做的工作，正因为如此，物理实验在物理竞赛中也占有重要的地位，不论是全国物理竞赛，还是国际奥林匹克物理竞
31、赛，实验内容都要占30%50%的比例。一、 有关实验的基础知识（一）实验误差的概念1、为什么要讨论测量误差 任何物质都有自身的各种各样的特性，反映这些特征的量所具有的客观真实数值，称为真值。测量的目的就是力图得到真值，但是由于测量的方法、仪器、环境和测量者本身都必然存在着某些不理想情况，所以测量不能无限精确，在绝大多数情况下，测量结果与客观存在的真值之间总有一定的差异，这就是测量误差，测量误差的大小反映我们的测量偏离客观真实数值的大小，反映测量结果的可信程度。从某种意义上说，不给出测量误差的测量结果是没有意义的，是无法使用的，例如我们测量出某种合金的密度是（3.2，即说明这种合金的密度不会小于
32、，不会大于。如果用这种合金制造飞机，就可以估计出飞机的最大和最小质量。相反，如果测出的密度没有误差范围，是没有实际使用意义的。测量误差是反映测量结果好坏的物理量，它与实验的各个方面都有密切的关系，例如，我们要根据测量误差的限度制定实验方案，即确定实验原理和步骤，并选用器材，在实验操作过程中，要千方百计减小误差，最后，通过对实验数据的处理，确定实验结果的误差，由此可见，考虑实验误差是贯穿于实验全过程的事。2、实验误差的分类（1）绝对误差和相对误差 误差按其表达形式可分为绝对误差和相对误差。1）绝对误差：测量值与真值之差的绝对值叫绝对误差，定义为：绝对误差（）=绝对误差反映了测量值偏离真值的大小。
33、2）相对误差：绝对误差无法表示测量质量的高低，例如在测量上海到北京的距离时，如果绝对误差是1米，测量质量已很高；但是如果测量百米跑道时产生1米的误差，则测量质高中物理竞赛实验理论量就不好了，为了说明测量质量的高低，我们还要引入相对误差的概念，其定义为：相对误差（E）= 绝对误差（）真值（A）相对误差常用百分数的形式来表示：（2）系统误差和偶然误差 误差按其性质及其产生的原因，又可以分为系统误差和偶然误差两种。1）系统误差：系统误差的特征是带有确定的方向性，在相同的条件下，对同一量进行多次测量，误差的正负保持不变，如果测量值偏大，则总是偏大；如果测量值偏小，则总是偏小，系统误差的来源主要有以下几
34、个方面：原理误差：由于测量所依据的理论公式的近似性（不完善性）而造成的误差，例如，单摆的周期公式，它成立的条件是摆角趋近于零，否则就是一个近似公式；又如用伏安法测电阻时，因忽略了电流表的分压作用或电压表的分流作用，测得的结果只能是近似值。仪器误差：由于测量仪器本身的缺陷而造成的误差，例如尺子过长或过短、秒表零点不准、天平不等臂、砝码不够标准等等。环境误差：由于测量时周围的环境（温度、压力、湿度等）不理想而造成的误差。例如在20时定标的标准电阻在30的环境中使用等。很明显，由于系统误差有固定的偏向性，所以用多次测量求平均值不能减小系统误差，但如果我们找到了某个系统误差产生的原因，就可以采取一定的
35、方法去减小它的影响，或者对测量结果进行修正。2）偶然误差：偶然误差的特征是带有随机性（因此偶然误差也叫随机误差）。在测量中，如果已经基本消除了引起系统误差的一切因素，而测量结果仍然无规则地弥散在一定的范围内，这种误差叫偶然误差。偶然误差的可能来源是：测量者自身感官（如听觉、视觉、触觉）的分辨能力不尽相同，外界环境的干扰等等。偶然误差是无法控制的，但它的出现却服从一定的统计规律。常见的一种规律是：大于真值和小于真值的测量值了现的机会相等；而且误差较小的测量值比误差较大的测量值出现的机会多；偏离真值很大的测量值出现的机会趋于零。因此，用增加测量次数求平均值的方法，可以减小偶然误差。关于因仪器损坏，
36、设计错误，操作不当而造成的测量错误，则不是测量误差。（二）偶然误差1、直接测量中偶然误差的估算 所谓直接测量，就是直接用测量仪器进行测量得到结果。（1）单次测量的误差估算 在物理实验中，有时由于对测量的精度要求不高，或由于测量对象的不可重复性，对一个物理量的直接测量只进行一次，这种测量方法叫做单次测量。单次测量结果的误差因测量工具的不同常有以下几种确定方法：1）取测量仪器最小刻度的1/5或1/2作为测量误差，例如毫米刻度尺取0.2mm或0.5mm作为测量误差,一般温度计取0.2或0.5作为测量误差等等.2)天平取其感量作为测量误差,例如物理天平可取0.02g,托盘天平可取0.1g作为测量误差.
37、3)机械秒表的最小分度一般是0.1s,但由于操纵表的人难免按之过早或过迟,因此可取0.1s或0.2s作为测量误差.手动的电子秒表尽管可以显示0.01s,但由于同样的原因也只能取0.1s或0.2s作为测量误差,0.01s位上的数字是没有实际意义的.4)电表(电压表、电流表)的测量误差有特定的确定方法：每个电表都有一个准确度级别（0.2级、0.5级、1级、2.5级、4级），电表的测量误差不会大于其量程和它的级别的百分阶段之一的乘积. 例如有一个0.5级的电流表,量程为3A,那么其测量误差5)电阻箱同样也用级别表示误差的大小，但电阻箱级别和电表的级别略有不同。n级电阻箱的测量误差为其当时阻值与n%的
38、乘积。（2）多次测量结果和误差估算 测量某一个物理量时，为了减小偶然误差，在可能的情况下，应多次重复测量。如果在相同的条件下对某一物理量进行了n次测量，各次测量分别为，那么其平均值）根据误差统计误差，可证明在一组测量n次的数据中，其算术平均值最接近于真值，此算术平均值称为测量的最佳值。当测量次数n无限增加时，最佳值将无限接近于真值。一般就将最佳值为多次测量的结果。严格地说，误差是测量值和真值的差，但由于真值不可能得到，而且当测量次数多时，最佳值很接近于真值，因此可以用最佳值代替真值来估算误差。仍以上例来说明误差的估算方法。 （3）测量结果的表示 测量结果应该包括数值、误差和单位三个部分。通常将
39、测量的结果写成单位。其中是测量值，可以是一次测量值，也可以是多次测量的最佳值，是绝对误差。为了更清楚地表示测量质量的好坏，还应同时写出其相对误差.这里要说明两点：在误差运算的过程中，一般只取一到二位有效数字，最后表示绝对误差的值一般只取一位而且应该和测量最佳值的最末一位对齐，为了确保误差范围的有效性，一般是只入不舍。测量结果为并不表示x为两个值，而是表示x一般在这个范围之内。2、间接测量中偶然误差的估算 所谓间接测量，就是应用直接测量得到的值，经过计算得到自己所需要的结果。例如测一块圆柱体金属的密度，可以先通过直接测量得到它的直径D、高h和质量m，然后用公式计算出密度。因为计算中所用的直接测量
40、值都是有误差的，所以算出来的间接测量值当然也是有误差的。下面就讨论在不同类型的计算中，怎样由直接测量的误差得到间接测量的误差。设x为间接测量的量，而A、B、C为直接测量的量，它们之间满足一定的关系，即x=f(A,B,C).如果各直接测得量表示为将这些量代入f(A,B,C)中，便可以求得 其中为间接测得量的最佳值，是间接测得量的绝对误差。 （1）加法运算中的误差 若x=A+B+C+ 则 其中最佳值绝对误差由于A、B、C都是互相独立的，它们的绝对误差可能为正，也可能为负。在最不利的情况下，可能出现的最大误差是。我们规定此可能的最大误差为x的误差。（2）减法运算中的误差若x=A-B-C-则 其中最佳
41、值 绝对误差按前面所讲，在最不利情况下，取 由此可见，加减运算结果的绝对误差等于各直接测得量的绝对误差之和。 （3）乘法运算中的误差若则 其中最佳值绝对误差由于(即比或更小的小量),可以忽略不计,所以,.在最不利的情况下,取,于是相对误差为(4) 除法运算中的误差若 则)其中最佳值 绝对误差,在最不利的情况下,取.相对误差为 =由此可见,乘除运算结果的相对误差等于各直接测得量的相对误差之和.这个讨论虽然是从两个因子乘除的运算中推导出来的,但可以推广到任意多个因子乘除的运算中去,如果加、减、乘、除运算中有的因子是公认的理论值或测量值，那么可以不考虑它的误差。（5）乘方和开方运算中的误差若。如果n
42、是整数就是乘方运算，如果n是分数就是开方运算。（6）三角函数运算的误差若 若 若 若 若 若 上列式中分别表示x和A的绝对误差。限于数学工具，以上公式我们不作推导。掌握了间接测量的误差传递公式，不但可以在实验结束后估算出实验结果可能的误差，还可以在实验前帮助我们确定实验方案和改进实验操作。请看下面一例：试用单摆测量某地的重力加速度，可提供的工具除了单摆之外还有米尺、秒表等，要求测得的g的相对误差小于1%。根据单摆的周期公式根据误差传递公式可知 因为要求，进行适当的分配，可确定操作目标为：，摆长是用米尺测量的，一般取，因考虑到摆线可能有一定的伸缩性，取较妥（已留有相当的余地）。因此摆长 周期是用
43、秒表测量的，以开、停表都有0.2秒的误差计,因此总计时图5-1这样我们在实验中用摆长为1m左右的单摆,用秒表测出它摆动100次左右的时间,即可达到题设的要求.如图11-1所示的比重瓶是一种有准确的固定体积的容器(瓶中装满液体,然后将塞子盖上,多余的液体会从塞子中央的细管中溢出,这样便保持了瓶中液体一定的体积),要求用此瓶测定一种小金属粒的密度,可提供的仪器还有天平、砝码和蒸馏水。 这个实验的原理不复杂，先测了金属粒的质量，再测出装满水的比重瓶的质量最后将金属粒放进装满水的比重瓶中，测出带金属粒和水的比重瓶的质量。这样，被金属粒排出的水的质量便是，这部分水的体积是，这也就是金属粒的体积，于是金属
44、粒的密度便是实验操作中一个有待决定的问题是：金属粒是多放一些好还是少放一些好？因为的相对误差其中有公认值，故可以忽略。对同一架天平来说,是确定的,不难看出,当金属粒放得比较多时,上面两式的分母都比较大,相对误差就比较小.因此尽量多放些金属粒,能减小实验结果的误差.(三)有效数字及其运算 1、有效数字 如上所述，用实验仪器直接测量的数值都含有一定的误差，因此测得的数据都只能是近似数，由这些近似数通过计算而求得的间接测量值也是近似数。为了使间接测量结果合理些，对近似数的表示和计算都有一些规则，以便确切地表示测量和运算结果的近似性。从仪器上读出来的数值，经常有一位数是估计出来的，或多或少存在着误差。
45、例如米尺的最小刻度是mm(0.001m)，那么用米尺测量长度可读到十分之一毫米(0.0001m).0.001m这一位可以从米尺上读出来，是可靠的，0.001m位前面的数都是可靠数，0.0001m这一位是测量者估读出来的，估读的数字因人而异，因此是有疑问的，称为存疑数。由于0.0001m位已存疑，在它以后各位数的估读已无必要。我们把可靠数加上最后一位存疑数，一起记录下来，统称为有效数字。在应用有效数字进行数据处理时应注意以下几点：（1）自然数1，2，3，4，5，6，7，8，9如出现在测量中，均为有效数字。“0”出现在其它数字之后或之间为有效数字，如出现在其它数字之前就不是有效数字了，它们只起定位作用。例如0.08020，前面两个零不是有效数字，后面四个数都是有效数字，因此它有四位有效数字
