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1、 44 感生电磁感应导体相对磁场静止，由于磁场的变化而引起导体内感生电动势的现象叫感生电磁感应。即：S、a均不变，但变而使得变。产生原因：分析：回路置于变化的磁场里，最简单的方法就是回路平面和磁场垂直，回路中会产生感应电动势，如果回路闭合就有感应电流，如果回路不闭合，感生电动势仍是，不产生感应电流。这是法拉等的发现。由于法拉第自身不可避免的局限，他没有再追究这一现象的深层本质。接过接力棒再创佳绩的是麦克斯韦，他指出感应电动势其实跟导体的性质和种类无关，纯粹是由变化多端的磁场引起的。放置了闭合回路，回路中就有电流，这只是表面现象，不是事情的本质。麦克斯韦相信，即使不在导体回路，变化着的磁场也能在
2、其周围空间激发一种称为涡旋电场的场，涡旋电场和静电场的共同点就是对电荷都有作用力，当然差异点也有不少。例如静电荷它可以单独存在，其电场线是闭合的无头尾无始终。如果恰好变化磁场中有闭合导体回路，变化磁场产生的涡旋电场电场线跟导体不垂直因而分解出与导体相切的分量，导体中的自由电荷受其作用力就会定向移动成为电流。这就是感应电动势的非静电力的来源。麦克斯韦最早分析了这种情况，他敏感地预见到这一现象，表明电场和磁场之间必然有某种当时尚未发现的新关系。tBttRBtt图4-4-1让我们更具体地分析：一个物理场，既呈现某种空间分布又随时间依一定规律变化。我们说这个场是空间和时间的函数。磁场和电场一样，是矢量
3、场。如果说它是匀强的，是指它非稳恒，空间分布状况不变但随时间改变其大小，场线会随时间变密或变疏。本题中变化磁场产生涡旋电场的问题，按麦克斯韦的理论，是一个十分复杂的问题。仅在非常特殊的场合，再附加上非常苛刻的条件，场的分布才是很确定的，中学阶段我们面对的模型几乎都是这样的：磁场被限制在一个圆柱状空间，有理想边界即磁场在边界上突变，在界内匀强，在圆柱外突变为零。磁感线跟圆柱轴线平行，在与磁场垂直的平面上磁场边界是有限大的圆。按麦克斯韦理论：如果磁场随时间均匀变化，那么产生的涡旋电场就不随时间变化；如果磁场随时间是振荡的，那么产生的涡旋电场就是同频率振荡的，如图4-4-1所示。涡旋电场的电场线是一
4、系列环抱磁感线的同心圆。沿这些同心圆的半径方向放置导体，导体上是不可能产生感应电动势的，在这个方向上导体内的带电粒子即受到涡旋电场力作用也不会沿导体定向移动。如果有环形导体恰好与电场线平行，导体上能产生感应电动势，那是确定无疑的。在上述这些特殊条件下，由变化磁场产生的涡旋电场，其特征是：空间各点的一定处在与磁场垂直的平面上，即没有跟B平行的分量；磁场边界内外都有。上面说过的场线是与磁场边界同心封闭圆，任何一个磁场边界同心的圆周上任意一点的沿切线方向；的指向与磁场变化的关系遵从楞次定律，即的方向就是感应电动势的方向；的大小，可以从涡旋电场力是非静电力这一点出发来推导，根据电动势定义，电动势应等于
5、单位正电荷从电源负极通过电源内部移往正极，单位正电荷在回路上绕行一周，非静电力做功，此处设该回路半径为r，又根据法拉第电磁感应定律，这两个在本质与现象的关系，其实是一回事，数值上应相等，即，所以。该结果仅适用于rR的范围(R是磁场边界半径)，其说明大小由两个因素决定：一是磁感应强度变化率；二是r，如果是恒量，那么，在rR处，磁通量中的S，只能计及有磁感线穿过的面积=。请我们关注这个物理量，这是一个非常重要的物理量，以下的每个A类例题和B类例题，我们都要跟打交道。产生感应电磁现象的原因是由于感生涡旋电场的作用，假如有一个局限在圆柱形范围内的匀强磁场B，B的方向平行于圆柱体的轴。当B的大小在增加时
6、，感生电场的方向如图图4-4-2所示。根据对称性，在回路上各点处的感生电场方向必然与回路想切，感生电场的电场线是一些同心圆。因此，感生电场的电感线是闭合线，无头无尾，像旋涡一样，所以由磁场变化而激发的电场也叫旋涡电场。而静电场的电感线却是起于正电荷而终于负电荷，是有头有尾的。这是一个很重要的区别。根据电动势和电场的关系，如果磁场区域半径为R，回路的半径为r，回路上的电场强度为E，则BEEEE图4-4-22因为 所以有441、磁场中导体的感生电动势在一个半径为R的长直螺线管中通有变化的电流，使管内圆柱形的空间产生变化的磁场，且0(图4-4-3)。如果在螺线管横截面内，放置一根长为R的导体棒ab，
7、使得，那么ab上的感生电动势是多少？如果将导体棒延伸到螺线管外，并使得呢？前面已说过：长直通电螺线管内是匀强磁场，而管外磁场为零，所以本题研究的是一个圆柱形匀强磁场。尽管根据前述E的表达式，可知ab棒所在各点的电场强度，但要根据这些场强来求出却要用到积分的知识，因此，一般中学生无法完成，我们可取个等边三角形面积oab，因为oa和ob垂直于感生电场的电力线，所以oa和ob上没有感生电动势。又根据法拉第电磁感应定律，oab回路上的感生电动势BO图4-4-3这也就是的大小。如果将ab延伸到c，则可研究，根据同样的道理可知很明显，上面这个问题可以这样解的前提是磁场局限于圆柱形内。如果一根导体棒是放在一
8、个宽广的或是其它范围不规则的磁场内，那是得不出上述结果的，假如将一个导体闭合回路放在磁场中，对磁场就没有那么严格的要求了，这类问题一般说来同学们是熟悉的，但如果是一个比较复杂的电路放在磁场中，处理时就要用一些新的方法。442、磁场中闭合电路的感生电动势解磁场中一个比较复杂的闭合电路的感生电流的问题，一般除了用到有关电磁感应的知识以外，还要用到解复杂电路的回路电压定律和节点电流定律。VV图4-4-4OPQS1IVI1I2IVS2B图4-4-5(b)(a)将一个半径a、电阻为r的圆形导线，接上一个电阻为R的电压表后按图4-4-4(a)、(b)两种方式放在磁场中，连接电压表的导线电阻可忽略，(a)、
9、(b)中的圆心角都是。均匀变化的磁场垂直于圆面，变化率。试问(a)、(b)中电压表的读数各为多少？因为电压表的读数与它两端的正负无关，所以可以任意假设磁场B的方向和变化率的正负。现在我们设B垂直于纸面向里，且0(图4-4-5)。回路的面积，回路的面积。这两个回路单独存在时的感生电流方向相同，都是逆时针的，感生电动势的大小分别为 段导线和段导线电阻分别为如图4-4-6中标出的电流，应该有对两个回路分别列出电压方程(R为伏特表的内阻)。由、可解得OVIVI1I2图4-4-6即有 因此 所以图4-4-4(a)的接法中电压表的读数为零。再看图4-4-4 (b)中的接法：电流设定如图4-4-6，小回路和
10、大回路的感生电动势大小分别为 (R为伏特表的内阻)。由上述方程可解得由些可知电压表的读数为本问题中我们用到的电流方程(如式)和回路电压方程(如、式)，实际上就是上一讲中提到过的基尔霍夫方程。在解决电磁感应的问题时，用电压回路方程十分方便，因为电磁感应的电动势是分布在整个回路上的。附：静电场与感生电场的比较就产生原因而言，静电场是静止电荷产生的，而感生电场是变化多端的磁场激发的。就性质而言，当单位正电荷绕封闭合回路一周静电场力的功为零。当感生电场驱使单位正电荷绕付线圈一周时，感生电场力的功不为零，其数值恰为副线圈内产生的感生电动势，数值上等于通过副线圈的磁通量对时间的变化率。静电场是保守场，感生
11、电场是非保守场。静电场的电力线是有头有尾的不封闭曲线，而感生电场的电力线是无头无尾的闭合曲线。静电场是有源场，而感生电场是无源场。典型例题例1、无限长螺线管的电流随时间作线性变化(常数)时，其内部的磁感应强度B也随时间作线性变化。已知的数值，求管内外的感生电场。解：如图4-4-7所示为螺线管的横截面图，C表示螺线管的边缘，其半径为R。由于对称性以及感生电场的电力线是一些封闭曲线的性质，可知管内外的感生电场电力线都是与C同心的同心圆，因此：R图4-4-7当rR时，即 当rR时 所以 的大小在管内与r成正比，在管外与r成反比。感生电场电力线的方向可由楞次定律确定，当0时，电力线方向为逆时针方向。例
12、2、在一无限长密绕螺线管中有一均匀磁场，磁感应强度随时间线性变化(即常数)，求螺线管内横截面上长为l的直线段MN上的感生电动势。(横截面圆的圆心O到MN的垂直距离为h)解:求感生电动势有两种方法。(1) 根据电动势的定义：某一线段上的感生电动势等于感生电场搬运单位正电荷沿此段运动时所做的功。在MN上任选一小段，O点到距离为r，处的如图4-4-8所示，与的夹角为，感生电场沿移动单位正电荷所做的功为ONMhr图4-4-8 ， 而 则而 故 把MN上所有的电动势相加， (2)用法拉第定律求解。连接OM，ON，则封闭回路三角形OMN的电动势等于其所包围的磁通量的变化率。OM和ON上各点的感生电场均各自
13、与OM和ON垂直，单位正电荷OM和ON上移动时，感生电场的功为零，故OM和ON上的感生电动势为零，封闭回路OMNO的电动势就是MN上的电动势。电动势的方向可由楞次定律确定。例3、两根长度相度、材料相同、电阻分别为R和2R的细导线，围成一直径为D的圆环，P、Q为其两个接点，如图4-4-9所示。在圆环所围成的区域内，存在垂直于圆指向纸面里的匀强磁场。磁场的磁感强度的大小随时间增大，变化率为恒定值b。已知圆环中的感应电动势是均匀分布的。设MN为圆环上的两点，MN间的弧长为半圆弧PMNQ的一半。试求这两点间的电压。分析：就整个圆环而言，导线的粗细不同，因而电阻的分布不同，但感应电动势的分布都是均匀的。
14、求解时要注意电动势的方向与电势的高低。解：根据电磁感应定律，整个圆环中的感应电动势的大小为此电动势均匀分布在整个环路内，方向是逆时针方向。由欧姆定律可知感应电流为PMNQR2R图4-4-9M、N两点的电压由以上各式，可得可见，M点电势比N点低5、2 交流电路521、交流电路（1）纯电阻电路 图5-2-1给电阻R加上一正弦交流电，如图5-2-1所示，其电压u为电流的瞬时值I与U、R三者关系仍遵循欧姆定律。 图5-2-2电流最大值，它们的有效值同样也满足在纯电阻电路中，u、i变化步调是一致的，即它们是同相，图5-2-2甲表示电流、电压随时间变化的步调一致特性。图乙是用旋转矢量法来表示纯电阻电路电流
15、与电压相位关系。 （2）纯电感电路图5-2-3纯电感电路如图2-1-3所示，自感线圈中产生自感电动势为，电路中电阻R可近似为零，由含源电路欧姆定律有，所以，自感电动势与外加电压是反相的。 设电路中电流，自感电动势为由于很短，依三角关系展开上式后，近似处理，则为由得由上面可见：图5-2-4a.纯电感电路中电压电流关系: ，其中称为感抗（）满足，其中，单位:欧姆。b.纯电感电路中，图5-2-4电压、电流相位关系是，电压超前电流 ，它们的图像和矢量表示如图5-2-5的甲、乙图所示。 图5-2-6图5-2-5(3)纯电容电路纯电容电路如图5-2-6所示，外加电压u，电容器反复进行充放电，设所加交变电压
16、，与前面推导方式相同， 时间很短，得到则电路中电流有效值为I 图5-2-7称为电容的容抗，单位是欧姆。在纯电容电路中电流与电压的相位关系是:电流超前电压，图5-2-6甲、乙分别反应电流、电压随时间的变化图线和它们的矢量表示图。522位移电流位移电流不是电荷定向移动的电流。它引起的变化电场，极置于一种电流。为了形象地表明我移电流，可以把它看作是由极板上电荷积累过程即形成的。交流电能通过电容器，是由于电容器在充、放电的过程中，电容器极板上的电荷发生变化，引起电场的变化而形成的。连接电容器的导线中有传导电流通过，而在电容器内存在位移电流。我移电流在产生磁场效应上和传导电流完全等效，因为二者都都会在周
17、围的空间产生磁场。我移电流通过介质时不会产生热效应。523、交流电路中的欧姆定律在交流电路中，电压、电流的峰值或有效值之间关系和直流电路中的欧姆定律相似，其等式为或，式中I、U都是交流电的有效值，Z为阻抗，该式就是交流电路中的欧姆定律。图5-2-8（2）说明由于电压和电流随元件不同而具有相位差，所以电压和电流的有效值之间一般不是简单数量的比例关系。a、在串联电路中，如图图5-2-8所示，以R、L、C为例，总电压不等于各段分电压的和，。因为电感两端电压相位超前电流相位电容两典雅电压相位落后电流相位。所以R、L、C上的总电压，决不是各个元件上的电压的代数和而是矢量和。以纯电阻而言， 以纯电感而言，
18、 以纯电容而言，图5-2-9图5-2-10 合成的总电压。则，得。而电压和电流的相位差（图5-2-9）。b、在并联电路中，如图5-2-10所示，以R、L、C为例，每个元件两端的瞬时电压都相等为U。每分路的电流和两端电压之间关系为 ， ， 。不同元件上电流的相位也各有差异。纯电感上电流相位落后于纯电阻电流相位，纯电容上电流相位超前纯电阻电流相位。所以分电流的矢量和即总电流 令 得。524、交流电功率在交流电中电流、电压队随时间而变，因此电流和电压的乘积所表示的功率也将随时间而变。跟交流电功率有关的概念有：瞬时功率、有功功率、视在功率（又叫做总功率）、无功功率、以及功率因素。a瞬时功率。由瞬时电流
19、和电压的乘积所表示的功率。，它随时间而变。在任意电路中，与u之间存在相位差。在纯电阻电路中，电流和电压之间无相位差，即，瞬时功率。b有功功率。用电设备平均每单位时间内所用的能量，或在一个周期内所用能量和时间的比。在纯电阻电路中，纯电阻电路中有功功率和直流电路中的功率计算方法表示完全一致，电压和电流都用有效值来计算。在纯电感电路中（电压超前电流），在纯电容电路中（电流超前电压）， 以上说明电感电路或电容电路中能量只能在电路中互换，即电容与电源、电感与电源之间交换能量，对外无能量交换，所以它们的有功功率为零。对于一般电路的平均功率 c视在功率（S）。在交流电路中，电流和电压有效值的乘积叫做视在功率
20、，即。它可用来表示用电器（发电机或变压器）本身所容许的最大功率（即容量）。图5-2-11d无功功率（Q）。在交流电路中，电流、电压的有效值与它们的相位差的正弦的乘积叫做无功功率，即。它和电路中实际消耗的功率无关，而只表示电容元件、电感元件和电源之间的能量交换的规模。有功功率，无功功率和视在功率之间的关系，可用如图3-1-74所示的所谓功率三角形来表示。e功率因数。发电机输送给负载的有功功率和视在功率的比， 。为了提高电能的可利用程度，必须提高功率因数，或者说减小相位差。525、涡流（1）定义或解释块状金属放在变化的磁场中，或让它在磁场中运动，金属地内有感应电场产生，从而形成闭合回路，这时在金属
21、内所产生的感生电流自成闭合回路，形成旋涡，所以叫做涡电流。“涡电流”简称涡流，又叫傅科电流。（2）说明涡流的大小和磁通量变化率成正比，磁场变化的频率越高，导体里的涡流也越大。在导体中涡流的大小和电阻有关，电阻越大涡流越小。为了减小涡流造成的热损耗，电机和变压器的铁芯常采用多层彼此绝缘的硅钢片迭加而成（材料采用硅钢以增加电阻）。涡流也有可利用的一面。高频感应炉就是利用涡流作为自身加热用，感应加热，温度控制方便，热效率高，加热速度快，在生产生已用作金属的冶炼。在生活上也已被用来加热食品。涡流在仪表上也得到运用。如电磁阻尼，在磁电式测量仪表中，常把使指针偏转的线圈绕在闭合铝框上，当测量电流流过线圈时
22、，铝框随线圈指针一起在磁场中转动，这时铝框内产生的涡流将受到磁场作用力，抑止指针的摆动，使指针较快地稳定在指示位置上。526、自感由于导体本身电流发生变化而产生电磁感应现象员做自感现象。导体回路由于自感现象产生的感生电动势叫做自感电动势，自感电动势的大小和电流的变化率成正比，。这是由于电流变化引起了回来中磁通量变化的缘故。式中比例常数L叫做自感系数。（2）单位在国际单位制中，自感系数的单位是亨利。（3）说明自感是导体本身阻碍电流变化的一制属性。对于一个线圈来说，自感系数的大小取决于线圈的匝数，直径、长度以及曲线芯材料等性质。在线圈直径远较线圈长度为小时，则（是圈线芯材料的导磁率，是线圈长度，N
23、是线圈匝数，S是线圈横截面积）。自感现象产生的原因是当线圈中电流发生变化时，该线圈中将引起磁通量变化，从而产生感生电动势。因此，自感电动势的方向也可由楞次定律确定。当电流减小时，穿过线圈的磁通量也将减小，这时自感电动势的方向应和正在减小的电流方向一致，以障碍原电流的减小。同理，当线圈中电流增大时，则穿过线圈的磁通量也随着增大，因而有时将导体的自感现象与惯性现象作类比，它们都表现为对运动状态变化的障碍，所以自感现象又叫做电磁惯性现象。自感系数又叫做电磁惯量。这也可在能量关系上作一类比，电场能的公式为，那储藏在磁场里的能量公式为，因而L与C（电容）相当，I与U（电压）相当，自感系数L又可叫做电磁容
24、量。但须注意，在线圈中被自感而产生电动势所障碍的是电流的变化，而不是阻碍电流本身。所以线圈中电流变化率越大则线圈两端阻碍电流变化的感生电动势值也越大。与电流的大小无直接关系。自感现象也可从能量守恒观点来解释。在自感电路里，接通直流电源，电流逐渐增加，在线圈内穿过的磁通量也逐渐增大，建立起磁场。在电流达到最大值前电源供给的能量将分成两部分，一部分消耗在线路的电阻上转变为热能；另一部分克服自感电动势做功，转化为磁场能。如果线路上热能损耗很小，可以忽略不计，那么在电流达到最大值前，电源供应的能量将全部转化为磁场能。当电流达到最大值时，磁场能也达到最大。当电流达到最大值稳定时，自感电动势不再存在，电源
25、不再供给电能。自感系数不仅和线圈的几何形状以及密绕程度有关，而且还和线圈中放置铁芯或磁芯的性质有关，如果空心线圈的自感系数为，放置磁芯后，线圈的自感系数将增大倍，即，式中为磁芯的有效导磁率，它和磁芯材料的的相对导磁率有内在的联系。闭合的环形磁芯和数值相等。它们还和导体中工作电流的大小有关。和也有所区别。至于的大小还与磁芯材料的粗细、长短等几何形状有关，例如，对棒形铁芯或包含有空气隙的环形磁芯来说，。用的锰锌铁氧体材料制作的天线磁棒，其常常不到10。527、互感由于电路中电流的变化，而引起邻近另一电路中产生感电动势的现象叫做互感现象。导体由于互感现象，在次级线圈中产生感生电动势。感生电动势的大小
26、和初级线圈中电流的变化率成正比，。式中的比例常数叫做互感系数。（2）单位在国际单位制中，互感系数的单位是亨利。（3）说明互感系数的大小和初、次级线圈的自感系数有关。当两个自感系数分别为L1和L2的线圈有闭合铁芯相连，而且初、次级线圈又耦合得十分紧密的情况下，即可看作是一种理想耦合。在理想耦合时互感系数。在一般情况下，两线圈之间不一定有铁芯相连，它们之间的磁耦合并不很紧密，其中某线圈中电流所激发的磁通量不全部通过另一线圈时，那么，k为耦合系数，它的物理意义是表示为磁耦紧密程度。K值和两线圈或回路的相对位置以及和周围的介质材料有关。对于k值的选取，由实际需要而定。如果要减小互感干扰，则选取较小的耦
27、合系数；如果要加强互感，则选取较大的耦合系数。528、三相交流电三相交流电发电机原理如图5-2-1所示，其中AX、BY、CZ三组完全相同的线圈，它们排列在圆周上位置彼此差120。角度，当磁铁以角速度匀速转动时，每个线圈中都会产生一个交变电动势，它们位相彼此为，因而有图5-2-8图5-2-9（1）星形（Y型）连接的三相交流电源如图5-2-8所示，三相中每个线圈的头A、B、C分别引出三条线，称为端线（火线），而每相线圈尾X、Y、Z连接在一起，引出一条线，此线称为中线。因为总共接出四根导线，所以连接后的电源称为三相四线制。三相电源中，每相线圈中电流为相电流，端线中的电流为相电流，端线中的电流为线电流，每个线圈中电压为相电压，任意两条端线的电压为线电压。则线电压与相电压关系 所以相对有效值而言，有同理有：而星形连接后，相电流与线电流大小是一样的，即：（2）三角形（形）连接的三相电源如图5-2-9所示，它构成三相三线制电路。由图可知，在此情形下线电压等于相电压，但线电流与相电流是不相等的，若连接负载在对称平衡条件下，图5-2-10所以有：（3）三相交流电负载的星形和三角形连接如图5-2-10甲、乙所示，星形连接时，有，电流关系：若三相负载平衡。即，则有：，中线可省去，改为三相三线制。三相负载的三角形连接时，而负载上电流与线电流不等，当三相平衡时，线电流是相电流的倍。
