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1、波函数与薛定谔方程,问题:,(1)如何描述微观粒子的状态？,(2)微观粒子的状态变化时应 遵循什么样的运动规律？,量子力学与经典力学,2 薛定谔方程,经典力学中，体系运动状态随时间的变化遵循牛顿力学。和经典力学类似，我们也应建立一个决定 随 变化规律的方程式。从物理上，这个方程式必须满足下述条件：,由于波函数满足态叠加原理，而态叠加原理对任何时间都成立，因此描述波函数随时间变化的方程应该是线性方程。,方程的系数仅含有质量、电荷等内禀量，不应含有和个别粒子运动状态特定性质有关的量，如动量。,2 薛定谔方程,、因为波函数 的自变量是，因此它必然是关于 和 的偏微分方程。、由于经典力学是量子力学的极
2、限情况，因此这个方程必须满足对应原理，当 时，它能过渡到牛顿方程。、对于自由粒子，这个方程的解应该是平面波。,2.薛定谔方程,方程的寻找 对平面波式 分别对 和 求微商后得：由上两式可以看出能量与动量作用在波函数上的结果与算符 及 作用在波函数上的结果相同，即存在对应关系：,物理启发,2.3薛定谔方程,1926年，薛定谔推广上述规则到一般情况，找到了描述波函数演化规律的薛定谔方程，设单个粒子体系的哈密顿量为：得到薛定谔方程：,2.3 薛定谔方程,薛定谔方程式量子力学的基本假设之一，但必须指出，我们并未建立薛定谔方程，因为只知道微分方程的解是不足以建立微分方程的。,以上对应关系式（2.3）式，只
3、是在直角坐标系中的对应关系，在其他坐标系中不一定成立。,2.3 薛定谔方程,下面我们讨论一下定态情况：,若 不显含时间，则薛定谔方程可用分离变量法求解，此时可令：,将上式代入薛定谔方程并用 遍除等式两边，可得：,2.3 薛定谔方程,显然上式左边只和 有关，右边只和 有关，故两边都只能等于一个常数，用 表示这个常数，有,和,上式可改写为：,此即定态薛定谔方程。,2.3 薛定谔方程,方程（2.5）的解可直接给出为,代入（2.4）并将 吸收入 中去，并有归一化条件来确定，有,又具有这种形式的波函数描述的状态称为。,定态,而满足(2.8)式的波函数 和，,称为定态波函数。,2.薛定谔方程,以 表示体系
4、的能量算符的第 个本征值，是与 相应的波函数，则体系的第 个定态波函数是,含时的薛定谔方程的一般解，可以写成这些定态波函数的线性叠加：,3.1 一维势阱问题,粒子势能 满足边界条件,(1)是固体物理金属中自由电子的简化模型；(2)数学运算简单，量子力学的基本概念、原理在其中以简洁的形式表示出来.,3.一维定态问题讨论,波函数的标准条件：单值、有限和连续.,量子数,归一化条件,得,波动方程,概率密度,能量,波函数,a 粒子能量量子化,讨论：,基 态 能 量,能 量,激发态能量,一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的.,b 粒子在势阱中各处出现的概率密度不同,概率密度,波 函 数,例如，当 n=1
5、时，粒子在 x=a/2处出现的几率最大,c 波函数为驻波形式，阱壁处为波节，波腹的个数与量子数 n 相等,本节我们将进一步讨论粒子在一定区域内出现的几率将怎样随时间变化。设描述粒子状态的波函数是，在 时刻 在 点周围单位体积内粒子出现的几率是：几率密度随时间的变化率为：,4.概率流密度与概率流守恒定律,由薛定谔方程及其共轭：,可得：,4。概率流密度与概率流守恒定律,4.概率流密度与概率流守恒定律,令：,称为概率流密度，由（2.4.1）式得：,（2.4.2）式就是概率流守恒定律。,4.概率流密度与概率流守恒定律,对上式两边同时对任意空间体积 积分,这是概率流守恒定律的积分表示,此式表明，在空间某体积 内发现粒子的概率在单位时间内的增量，必定等于在同一时间内通过 的边界 流入体积 的概率。,4.概率流密度与概率流守恒定律,若以粒子的质量 乘 和，则有：,是在 时刻在点 的质量密度。,是质量流密度，满足：,即量子力学中的质量守恒定律,4.概率流密度与概率流守恒定律,方程 是量子力学中的电荷守恒定律。,
