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1、第六章 中心力场,内容提要1、中心力场的一般性质 角动量守恒与径向方程 径向波函数的渐近行为 两体问题向单体的转化2、球方势阱 无限深球方势阱 有限深球方势阱3、氢原子能量本征方程、本征值和本征波函数,能级简并度径向位置几率分布几率分布与角度的关系电流分布与磁矩4、类氢原子5、三维各向同性谐振子球坐标下的本征方程及解和性质直角坐标系下本征方程及解,自然界中中心力场是个广泛的问题；中心力场中运动的粒子保持角动量守恒，无论是经典力学还是量子力学都是如此。现看经典力学情形:,6.1 中心力场的一般性质,1、角动量守恒与径向方程,离心“势能”,体系波函数：代入体系本征方程，分离变量后得径向波函数R(r
2、)方程：或,令 Rl(r)=(r)/r，代入径向波函数方程，化简后得讨论：所有中心力场中粒子的定态波函数仅差别在于径向波函数 Rl(r)或(r)，二者由 V(r)的性质决定，与角度有关波函数就是球谐函数 Ylm；径向方程中不出现磁量子数 m，能量本征值 E与m无关，有简并。m 的取值有 2l+1个，所以中心力场中粒子的能级简并度一般为 2l+1 个；l=0 时，离心势能消失，上式与一维粒子的能量本征方程在形式上相似，但 V(r)中的 r 0.,给定边界条件就可求解径向方程，得出能量本征值。非束缚态，E 连续变化；束缚定态，E 取分立的能量本征值。由于束缚态边界条件，将出现新的径向量子数 nr，
3、nr=0，1，2，代表径向波函数的节点数（节点不包括0和+）。由于哈密顿量中有径向动能项和离心势能项，可见，E 既依赖与 nr 又依赖与 l，记为 按照光谱学的习惯，将l=0，1，2，3，4，5，6，分别标记为 s，p，d，f，g，h，i，,2、径向波函数的渐近行为,因此，在求解径向方程时，,3、两体问题向单体的转化实际的中心力场问题常常是两体问题。(1)基本考虑I、一个具有折合(约化)质量的粒子在场中的运动;II、二粒子作为一个整体的质心运动。(2)数学处理 质心坐标 相对坐标,分量表达式：令 R(X,Y,Z),r=(x,y,z)又因为转到质心和相对坐标系中,其中=m1m2/(m1+m2)，
4、约化质量；Mm1+m2，二体的总质量。,最终相对坐标和质心坐标下的薛定谔方程为：由于没有交叉项，波函数可采用分离变量表示为：将该式带入上式，两边同时除以(r)(R)，即可得到关于质心运动波函数和相对运动波函数所满足的定态薛定谔方程。,其中，EETEC，EC 表示质心运动能量。,只与 R 有关,只与 r 有关,相对运动能量,讨论：对氢原子，感兴趣的是描述其内部状态的第一个方程，它描述一个约化质量为 的粒子在势能为 V(r)的力场中的运动。这是一个电子相对于核运动的波函数(r)所满足的方程，相对运动能量 E 就是电子的能级。第二式是质心运动方程，描述能量为 EC(ET-E)的自由粒子的定态薛定谔方
5、程，说明质心以能量(ET-E)作自由运动。,1、无限深球方势阱只有束缚态(1)s 态(l=0)径向方程,6.2 球方势阱,边界条件：0(0)=0，0(a)=0势阱内方程满足边界条件的解为,(2)非 s 态(l 0)径向方程边界条件：Rl(a)=0。作无量纲变换，令=kr，其中(E 0)。上式变为球贝塞尔(Bessel)方程,通解有两个：但根据边界条件 r 0,0，Rl()0。所以，在球方势阱中的解只能为球贝塞尔函数再由边界条件 Rl(a)=0 来确定能量本征值，即,由于 a 取有限值，k 只能一系列的取分立值。记 jl(x)=0 的根为则,本征函数及其正交归一性,2、有限深球方势阱既有束缚态(E 0)。径向方程现只考虑束缚态，即 E 0 的情形。,令,则势阱内外径向方程可改写为 球内区域(r a)解:其中，hl(x)为虚宗量汉克(Hankel)函数,再根据波函数及其一阶导数在 r=a 处连续的条件，可定出能量本征值 E。以 l=0 为例，由此可定出能量本征值的方程为超越函数，图解法可解出分立的能量本征值。与半壁无限高势垒相似。还可以证明至少有一条束缚能级的条件是,
