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1、2023/4/3,集美大学理学院,1,一、二阶行列式,为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到：,称为方程组的系数矩阵,2023/4/3,集美大学理学院,2,上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得.为便于记忆，引进如下记号：,称其为系数矩阵A的行列式(determinant)，记为detA或|A|,2023/4/3,集美大学理学院,3,据此，解中的分子可分别记为：,2023/4/3,集美大学理学院,4,方程组未知量的系数所构成的二阶行列式,例1 解二元线性方程组,解,方程组有唯一解.又,于是方程组的解为,2023/4/3,集美大学理学院,5,二、n阶行列式的定义,采用递推法给出n阶行
2、列式的定义1、对于1阶方阵A=(a11)=a11，定义detA=a11；2、假设n-1阶方阵的行列式已定义（称为n-1阶行列式），下面递推地给出n阶方阵的行列式定义（称为n阶行列式）.,称为一阶行列式,2023/4/3,集美大学理学院,6,1、余子式与代数余子式,在n阶行列式,中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式,记作Mij；,而Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式.,2023/4/3,集美大学理学院,7,例1,求出行列式,解,2023/4/3,集美大学理学院,8,例2 求二阶行列式第一行和第二列各元素的代
3、数余子式.,解,设,的代数余子式是,的代数余子式是,的代数余子式是,计算,2023/4/3,集美大学理学院,9,定义1.8 n阶矩阵A的行列式 detA（即n阶行列式）定义为它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即,2、n阶行列式的定义,注：1 上式也称为行列式按某一行（列）展开；2 n阶行列式是一个数值。,2023/4/3,集美大学理学院,10,例3 三阶行列式按第一行和第三列展开.,设,2023/4/3,集美大学理学院,11,对角线法则,2023/4/3,集美大学理学院,12,例4,计算行列式（按第一行和第三列展开）,解:(i),因为,所以,(ii),因为,所以,202
4、3/4/3,集美大学理学院,13,例5 计算上三角形矩阵,的行列式|A|=detA（称为上三角形行列式）,解：,注：1 上三角形行列式的值等于主对角线上元的乘积 2 同理可得下三角形行列式的值也等于主对角线 上元的乘积,2023/4/3,集美大学理学院,14,三、行列式的性质,性质1,行列式与它的转置行列式相等.(|A|=|AT|),说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,2023/4/3,集美大学理学院,15,性质2,互换行列式的两行(列),行列式的值变号.,推论,若n阶矩阵A的两行（列）完全相同，则detA=0.,性质3,行列式某一行（列）的所有
5、元素都乘以数 k，等于数k乘以此行列式，即,2023/4/3,集美大学理学院,16,推论 1 如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式的外面.,推论 3 如果行列式某行（列）元素全为零,则此行列式等于零.,推论 2 如果行列式有两行（列）对应元素成比例，则此行列式等于零.,2023/4/3,集美大学理学院,17,性质4,若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同.即,2023/4/3,集美大学理学院,18,性质5,行列式的某一行（列）的所有元素都乘
6、以数 k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变.,2023/4/3,集美大学理学院,19,表示行列式 第 列.,表示行列式 第 行.,表示交换行列式 第 行和第 行对应元素.,表示交换行列式 第 列和第 列对应元素.,表示行列式 中第 行所有元素同乘以数后加到第 行的对应元素上.,表示行列式 中第 列所有元素同乘以数后加到第 列的对应元素上.,2023/4/3,集美大学理学院,20,例6 计算行列式,解,2023/4/3,集美大学理学院,21,2023/4/3,集美大学理学院,22,计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角行列式来计算,化三角行列式的步骤：,i.如果行列式第一列第一
7、个元素为，先将第一行与其他行交换，使第一列第一个元素不为,ii.把第一行分别乘以适当的系数加到其它行，使第一列除第一个元素外其余元素全为,iii.再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,iv.如此下去，可化为上三角行列式,2023/4/3,集美大学理学院,23,解,2023/4/3,集美大学理学院,24,解,2023/4/3,集美大学理学院,25,例8,证明奇数阶反对称行列式的值为零.,即,证,2023/4/3,集美大学理学院,26,故,当n为奇数时，detA=detA，推得detA=0,例9 计算n阶行列式,2023/4/3,集美大学理学院,27,解(1),2023/4/3
8、,集美大学理学院,28,解,(2)注意到行列式各列元素之和等于x+(n-1)a,有,2023/4/3,集美大学理学院,29,解,例10 计算n阶行列式,2023/4/3,集美大学理学院,30,例11 计算n阶行列式,解,解,2023/4/3,集美大学理学院,31,例12 计算,阶行列式,。,解,2023/4/3,集美大学理学院,32,2023/4/3,集美大学理学院,33,定理1.1,n阶行列式,的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零，即,其他性质,定理1.3 设A、B均为n阶方阵，则有detAB=detA detB.,推广 设A1,A2,Ak均为n阶方阵，则有 det A1A2Ak=detA1 detA2 detAk.,2023/4/3,集美大学理学院,34,例13 已知4阶行列式,解,(方法1),(方法2),利用行列式的按列展开定理，简化计算.,它是D中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有,2023/4/3,集美大学理学院,35,练习 求证:,2023/4/3,集美大学理学院,36,
