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2、用单项式,乘,多项式的,每一项,；,2.,把所得的,积相加,。,二、单项式乘多项式,单项式与多项式相乘,（乘法分配律）,a,(,b,+,c,+,d,)=,ab,+,ac,+,ad,计算：,a,2,(,1,-,3,a,),解,:,原式,=,a,2,?,1,-,a,2,?,3,a,=,a,2,-,3,a,3,知识回顾（整式乘法）,同底数幂的乘法,转化,单乘多,转化,单乘单,三、多项式乘多项式,.,用一个多项式的,每一项乘,另一个多项式,的,每一项,；,.,把所得的,积相加,；,计算：,(,x+,2)(2,x,-3),解,:,原式,=,x,(2,x,-3)+2(2,x,-3),=,x,?,2,x,+
3、,x,?,(,-,3),+,2,2,x,+,2,(,-,3),=,2,x,2,-,3,x+,4,x,-6,=,2,x,2,+x,-6,知识回顾（整式乘法）,同底数幂的乘法,转化,单乘单,转化,单乘多,多乘多,转化,合并同类项,多项式与多项式相乘,转,化,四、乘法公式,（,1,）平方差公式：,两个数的,和与,这两个数的,差的积等于,这,两个数的,平方差,.,知识回顾（整式乘法）,(,a,b,),(,a,b,),=,a,2,b,2,计算：,(2,x+,3)(2,x,-3),解,:,原式,=,(2,x,),2,-3,2,=,4,x,2,-9,第一个数为相同数，,第二个数为相反数,相同数的平方,相反数
4、的平方,结果为两项,四、乘法公式,(,a,b,),2,=,a,2,2,ab,+,b,2,(,a,b,),2,=,a,2,2,ab,+,b,2,知识回顾（整式乘法）,（,2,）完全平方公式：,两个数的,和,（或差）,的平方,等于这两个数,平方和,加上,（或减去）这两个数,积的两倍,.,计算,:(1)(2,x+,3y),2,解,:,原式,=,(2,x,),2,+,2,2,x,3y+(3y),2,结果为三项,=,4,x,2,+,12,xy+,9y,2,(2)(2,x-,3y),2,解,:,原式,=,(2,x,),2,-,2,2,x,3y+(3y),2,=,4,x,2,-,12,xy+,9y,2,注意
5、符号要对应,(1),(-,b+,2,a,),2,(),(2),(,b,+2,a,)(,b,-2,a,),(),(3),(2,a+b,)(,b+,2,a,),()(4),(2,a+b,)(2,b+a,),(),(5),(-2,a+b,)(2,a-b,),()(6),(-2,a+b,)(,-b,-2,a,),(),(7),(-2,a+b,)(,a+,2,b,),(),填一填：在下列多项式乘法中，能用,完全平方公式,计算的请填,A,能用,平方差公式,计算的请填,B,不能用乘法公式计算的请填,C,.,A,B,A,C,知识回顾（整式乘法）,(,a,b,),(,a,b,),=,a,2,b,2,(,a,b,
6、),2,=,a,2,2,ab,+,b,2,(,a,b,),2,=,a,2,2,ab,+,b,2,A,B,C,(2,a+b,),2,-(2,a-b,)(2,a-b,)=,-,(2,a-b,),2,(-2,a+b,)(-2,a-b,),单项式乘单项式,因式分解,乘法公式,整式乘法,单项式乘多项式,多项式乘多项式,平方差公式,完全平方公式,概念,常用方法,步骤,提公因式法,运用公式法,完全平方公式,平方差公式,知识框架,转,化,转,化,逆,向,变,形,互,逆,变,形,面积计算,从,形,到,数,特殊,一般,逆,向,变,形,选择题：,下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（,）,A.(,a+,3)(,a
7、-,3)=,a,2,-9 B.,a,2,-,b,2,=(,a+b,)(,a-b,),C.,a,2,-4,a-,5=,a,(,a-,4)-5 D.,a,2,-4,a-,5=(,a-,2),2,-9,知识回顾（因式分解）,1,、因式分解概念,把一个,多项式,写成几个整式的,积,的形式，叫做多项,式的,因式分解,.,B,知识回顾（因式分解）,2,、因式分解的方法,（,1,）提公因式法：,（逆用乘法分配律）,ab,+,ac,+,ad,=,a,(,b,+,c,+,d,),1.,系数,取各项系数,最大公约数；,2.,字母,取各项,相同的字母；,3.,指数,取各项,最低的,.,分解因式：,12,x,2,yz
8、-,9,x,3,y,解,:,原式,=,3,x,2,y,(4,z,-3,x,),公因式,括号内项数不变,知识回顾（因式分解）,2,、因式分解的方法,（,2,）运用公式法：,把下列各式分解因式：,（,1,）,m,2,-,9,n,2,解,:,原式,=,m,2,-,(,3,n,),2,a,2,b,2,=(,a,b,),(,a,b,),a,2,2,ab,+,b,2,=(,a,b,),2,a,2,2,ab,+,b,2,=(,a,b,),2,平方差公式：,完全平方公式：,逆用整式乘法公式,(,a,b,),(,a,b,),=,a,2,b,2,(,a,b,),2,=,a,2,2,ab,+,b,2,(,a,b,)
9、,2,=,a,2,2,ab,+,b,2,=,(,m+,3,n,),(,m-,3,n,),（,2,）,a,2,b,2,-,2,ab+,1,解,:,原式,=,(,ab,),2,-,2,ab+,1,2,=,(,ab,-,1),2,第一个数为相同数，,第二个数为相反数,两项,三项,注意符号对应,知识回顾（因式分解）,2,、因式分解的方法,分解因式：,x,2,+,6,x+,5,解,:,原式,=,(,x+,1)(,x+,5),x,2,+(,p+q,),x+,pq,=(,x,+,p,),(,x,+,q,),*,（,3,）十字相乘法,1,5,1+5,1.,二次项系数是,1,；,3.,一次项系数是常数项,分解,
10、得到的两个因数之,和,.,2.,常数项是,两个数之积,；,二次三项式,知识回顾（因式分解）,2,、因式分解的方法,*,（,4,）分组分解法：,分解因式：,x,2,-y,2,+ax+ay,解,:,原式,=,(,x+y,)(,x-y,),+a,(,x+y,),分组后可以直接提公因式或运用公式进行,因式分解,（,三项以上,）,整体,=,(,x+y,)(,x-y+a,),1,、,提,取公因式,（三步：,系数、字母、指数,.,）,2,、,用,公式,（两项用,平方差公式,；三项用,完全平方公式,.,）,3,、,查,（检查每个因式,是否还能继续,分解,）,知识回顾（因式分解）,3,、因式分解的步骤,一,提,
11、二,用,三,查,注意：,分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止,分解因式：,3,ax,4,-,3,ay,4,解,:,原式,=,3,a,(,x,4,-y,4,),一提,=,3,a,(,x,2,+y,2,),(,x+y,)(,x,-,y,),三查,二用,=,3,a,(,x,2,+y,2,)(,x,2,-,y,2,),整式乘法（计算）：,(4,ab,2,),?,(5,b,2,),20,ab,3,a,2,(,1,-,3,a,),=,a,2,-,3,a,3,(,x+,2)(2,x,-3),=,2,x,2,+x,-6,(2,x+,3)(2,x,-3),=,4,x,2,-9,(2,x+,3y),2,=
12、,4,x,2,+12,xy+,9y,2,知识回顾（整式乘法和因式分解的关系）,因式分解：,12,xyz-,9,x,2,y,=,3,xy,(4,z,-3,x,),m,2,-,9,n,2,=,(,m+,3,n,)(,m-,3,n,),a,2,b,2,-,2,ab+,1,=,(,ab-,1,),2,3,ax,4,-,3,ay,4,=,3,a,(,x,2,+y,2,),(,x+y,)(,x,-,y,),x,2,-y,2,+ax+ay,=,(,m+,3,n,),(,m-,3,n,),积,（因式）,和,（多项式）,变形,积,（因式）,和,（多项式）,除单项式乘单项,式等于单项式外,变形,例题解析,例,1,
13、：,下列计算中正确的是,（,）,A.,(-4,x,),?,(2,x,2,-3,x-,1)=-8,x,3,-12,x,2,-4,x,B.,(,x+y,)(,x,2,+y,2,)=,x,3,+y,3,C.,(-4,a-,1)(4,a-,1)=1-16,a,2,D.,(,x-,2,y,),2,=,x,2,-2,xy,+4,y,2,C,符号错误,应该为,-4,x,y,展开四项,例题解析,例,2,：,计算,（,1,）,(2,x,-,y,)(3,x,+,y,)-2,x,(3,x-,y,),（,2,）,(,a+,3)(,-,3+,a,)+,a,(4,a,),解,:,原式,=,(6,x,2,+,2,xy-,3
14、,xy-y,2,)-,(,6,x,2,-,2,xy,),=,6,x,2,+,2,xy-,3,xy-y,2,-6,x,2,+,2,xy,=,xy-y,2,解,:,原式,=,(,a,2,-,9)+4,a-a,2,=,a,2,-,9+4,a-a,2,=,4,a-,9,多乘多、单乘多,去括号,合并同类项,平方差公式、单乘多,算,理,去括号,合并同类项,算,理,例题解析,例,2,：,计算,（,3,）,(,m+2n,),2,(,m-,2,n,),2,（,4,）,(,x-y,),2,+,(,x+y,),2,(,x,2,-y,2,),(,ab,),n,=,a,n,b,n,解,:,原式,=,(,m+,2,n,)
15、(,m-,2,n,),2,逆用积的乘方公式,=,(,m,2,-,4,n,2,),2,平方差公式,=,m,4,-,8,m,2,n,2,+16,n,4,完全平方公式,解,:,原式,=,(,x,2,-,2,xy+y,2,),+,(,x,2,+,2,xy+y,2,)(,x,2,-y,2,),完全平方公式,=,(,x,2,-,2,xy+y,2,+,x,2,+,2,xy+y,2,)(,x,2,-y,2,),去括号,=,(2,x,2,+,2,y,2,)(,x,2,-y,2,),括号内合并同类项,=,2(,x,2,+y,2,)(,x,2,-y,2,),提公因式,=,2(,x,4,-y,4,),平方差公式,也可
16、直接用多项,式乘多项式运算,单乘多,=,2,x,4,-,2,y,4,结果为和的形式,(,单项式或多项式,),算,理,算,理,例,3.,把下列各式分解因式,知识应用（因式分解）,(2)(,x,-1)(,x,-3)+1,(1)4,x,(,a,-,b,)-8y(,b,-,a,),解,:,原式,=,x,2,-3,x,-,x+,3+1,多乘多,=,x,2,-4,x+,4,合并同类项,=,(,x-,2),2,完全平方公式,算,理,解,:,原式,=,4,x,(,a,-,b,),+,8y(,a,-,b,),减法法则,=,4(,a,-,b,),(,x,+2y),提公因式,提公因式,要提干净,算,理,知识应用（因
17、式分解）,例,3.,把下列各式分解因式,(3),x,4,-2,x,2,+1,解,:,原式,=,(,x,2,-1),2,完全平方公式,*(4),m,2,+7,m,-18,=,(,x,+1),(,x,-1),2,平方差公式,=,(,x,+1),2,(,x,-1),2,积的乘方,(,ab,),n,=,a,n,b,n,解,:,原式,=,(,m,-2)(,m,+9),分解因式的结果,为,积的形式,-2+9,-2,9,算,理,知识梳理,整式乘法,和,因式分解,是既有,联系,又有,区别,的两种变形：,整式乘法,ab,ac,+,ad,a,(,b,c,+,d,),整式乘法,a,2,b,2,(,a,b,),(,a
18、,b,),整式乘法,a,2,2ab+,b,2,(,a,b,),2,因式分解,因式分解,因式分解,积,和,类型一：化简求值问题,先化简，再求值：,(2,x+,3)(2,x,3),x,(5,x+,4),(,x,1),2,，,其中,x,2,+x,2020=0,.,知识应用,解,:,原式,=,(4,x,2,9),5,x,2,4,x,(,x,2,2,x+,1),=,4,x,2,9,5,x,2,4,x,x,2,+2,x,1,=,2,x,2,2,x,10,原式,=,2,x,2,2,x,10,=,2(,x,2,+,x,),10,由,x,2,+x,2020=0,得：,x,2,+x,=2020,如何与已知条件,x
19、,2,+x,2020=0,产生,联系呢？,平方差公式,单乘多,完全平方公式,=,2,2020,10,=,4050,一个长方形的面积是,60cm,2,分别以它的长和宽为边长的两个,正方形的面积和是,136cm,2,求长方形的周长,.,解：设长方形的长为,a,cm,，宽为,b,cm,则，,ab,=60,a,2,+,b,2,=136,而,(,a,+,b,),2,=,a,2,+2,ab,+,b,2,因此，,a,+,b,=16,长方形周长为,2(a+b)=32,类型二：实际应用问题,知识应用,=136+120=256,如何求,（,a,+,b,）,呢？,长宽,=60,长,2,+,宽,2,=136,结果取正
20、,2.,如果,|,x-y+,1|+(,x+y,-5),2,=0,则,x,2,-,y,2,的值是,.,1.,若,x,2,+,2,ax,+36,是完全平方式，则,a=,.,类型三：乘法公式的应用,知识应用,2,a=,12,a=,6,6,x,2,-,y,2,=(,x+y,),(,x-y,),=,-1,5,=,-5,x-y+,1=0,x+y,-5=0,由题意得,:,x-y=-,1,x+y,=5,得,-5,类型三：乘法公式的应用,知识应用,3.,已知,m,、,n,为有理数,且,m,2,+,2,m+n,2,-,6,n+,10,=,0,则,m=,n=,.,原式可化为：,m,2,+,2,m+,1,+n,2,-
21、,6,n+,9=0,-,1,3,(,m,2,+,2,m+,1),+,(,n,2,-,6,n+,9)=0,(,m+,1),2,+,(,n-,3),2,=0,得：,m=-,1,；,n=,3,分成,1,和,9,两个,完全平方数,4.,已知,a=,2019,x+,2018,，,b=,2019,x+,2019,，,c=,2019,x+,2020,，则代数,式,a,2,+,b,2,+,c,2,-,ab,-,ac,-,bc,的值为（,）,A,0,B,1,C,2,D,3,D,类型三：乘法公式的应用,知识应用,由题意得：,a,-,b,=,(,2019,x+,2018,),-(2019,x+,2019),=,-1
22、,b,-,c,=,(,2019,x+,2019,),-(2019,x+,2020),=,-1,a,-,c,=,(,2019,x+,2018,),-(2019,x+,2020),=-2,a,2,+,a,2+,b,2,+,b,2,+,c,2,+,c,2,-2,ab,-2,ac-,2,bc,2,=,(,a,2,+,b,2,-2,ab),+,(,a,2,+,c,2,-2,ac,),+,(,b,2,+c,2,-,2,bc,),2,=,(,a,-,b,),2,+(,a,-,c,),2,+(,b,-,c,),2,2,=,(,-,1),2,+(-,2),2,+(-,1),2,2,=,1,+,1,+,4,2,=
23、,=,3,2(,a,2,+,b,2,+,c,2,-,ab,-,ac,-,bc,),2,=,原式,(,a,-,b,),2,+(,a,-,c,),2,+(,b,-,c,),2,2,=,原式,类型四：整体思想,知识应用,1.,已知,a+b=,4,，,a-b=,1,则,(,a+,1),2,-(,b-,1),2,的值为,.,原式,=(,a+,1)+(,b-,1),(,a+,1)-(,b-,1),=(,a,+,b,)(,a,-,b+,2),=4,(1,+,2),=,12,12,原式,=(,a,2,+,2,a+,1)-(,b,2,-,2,b+,1),=,a,2,+,2,a+,1-,b,2,+,2,b-,1,
24、=,a,2,-,b,2,+,2,a+,2,b,=(,a,+,b,)(,a,-,b)+,2(,a,+,b,),=4,1,+,2,8,=,12,解法,(,一,),：,先分解因式,解法,(,二,),：,先用乘法公式展开,整体代入,先用,平方差公式,分解因式,先用,完全平方公,式,展开,整体代入,（,2,）另外一名同学发现第四步因式分解的结果不彻底，请你直接写出因式分解,的最后结果,；,2,、,请仔细阅读以下内容，然后回答问题：,下面是某同学对多项式,(,x,2,-,4,x+,2),(,x,2,-,4,x+,6),+4,进行因式分解的过程：,解：令,x,2,-,4,x+,2=,y,，则：,原式,y,(
25、,y+,4)+4,（第一步）,y,2,+,4,y,+4,（第二步）,(,y+,2),2,（第三步）,(,x,2,-,4,x+,4),2,（第四步）,类型四：整体思想,知识应用,C,(,x-,2),4,(,x,2,-4,x,+4),2,(,x,-2),2,2,=,(,x,-2),4,把括号中的,相同部分,(,x,2,-,4,x+,2),看做一个,整体,（,1,）该同学第二步到第三步运用了因式分解的,；,A,提取公因式,B,平差公式,C,两数和的完全平方公式,D,两数差的完全平方公式,用,x,2,-,4,x+,2,整体替换,y,转化为简单的,二次三项式,转化后,分解因式,整体代入,（,3,）请你模
26、仿以上方法尝试对多项式,(,x,2,-,2,x,),(,x,2,-,2,x+,2)+1,进行因式分解,类型四：整体思想,知识应用,(,x,2,-2,x,+1),2,原式,y,(,y,+2),+1,解,:,设,x,2,-2,x,y,把,x,2,-,2,x,看做一个,整体,(,y,+1),2,用,x,2,-,2,x,整体替换,y,，,并检查能否,继续分解,(,x,-1),2,2,(,x,-1),4,转化为简单的,二次三项式,转化后,分解因式,y,2,+2,y,+1,整体代入,类型五：数形结合,知识应用,1.,通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的,代数恒等式是,.,2,a,(,a
27、+b,)=2,a,2,+2ab,如果看成,2,个正方形和,2,个长方形的和，,则面积为,2,a,2,+,2,ab,.,如果看成一个长方形，则面积为,2,a,(,a+b,),；,类型五：数形结合,知识应用,2.,两个边长分别为,a,、,b,、,c,的直角三角形和一个两条直角边都是,c,的,直角三角形拼成如下图形，试用不同的方法计算图形的面积，你能发,现什么,?,请写下来,.,1,2,ab,2+,c,2,.,1,2,如果看成由,3,个直角三角形拼合而成，则面积为,:,1,2,(,a+b,),?(,a+b,)=,(,a+b,),2,;,1,2,解,:,如果看成一个梯形，则面积为,:,化简得,:,a,
28、2,+b,2,=,c,2,1,2,(,a+b,),2,=,ab,2+,1,2,1,2,c,2,因此有,:,a,2,+b,2,=,c,2,c,c,a,a,b,b,1,、计算下列各式，你得到什么结论？试用字母,n,(,n,为正整数,),表示数,说明结论的正确性,.,8,8-7,9;,11,11-10,12;,80,80-79,81,.,类型六：探索性问题（归纳思想）,知识应用,=64-63=1,=121-120=1,=6400-6399=1,左边,=,n,2,-,(,n-,1),(,n,+1),解：结论为,n,2,-,(,n-,1),(,n,+1)=1,右边,=,1,等式成立,左边,=,右边,前后
29、数字之间有什么,联系,？,=,n,2,-,(,n,2,-1),=,n,2,-,n,2,+1,=,1,2,、观察下列式子：,2,4+1,9;,4,6+1,25;,6,8+1,49;,探索以上式子的规律，试写出第,n,个等式，并说明第,n,个等式成立,.,类型六：探索性问题（归纳思想）,知识应用,解：两个连续偶数的积与,1,的和,等于,这两个偶数中间奇数的平方,左边：,2,n,(2,n,+2)+1=4,n,2,+4,n+,1,右边：,(2,n,+1),2,=4,n,2,+4,n+,1,左边,=,右边,等式成立,=3,2,=5,2,=7,2,即，第,n,个等式为：,2,n,(2,n,+2)+1=(2,n,+1),2,等式左右的数字有什么,联系,？,偶数,奇数的平方,偶数,+2,课堂小结,1,、学习的知识点：,灵活运用整式乘法和因式分解的知识,解决相关问题,2,、学习的数学思想：,整体思想，数形结合，归纳思想,
