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1、第1章 绪论第2章 几何组成分析第3章 静定结构内力第4章 影响线第5章 静定结构位移第6章 力法第7章 位移法第8章 渐进法第9章 矩阵位移法第10章 结构动力计算,第9章 渐近法,蒋玉川,四川大学建筑与环境学院 2007.11.2,渐近法是位移法演变而来的，位移法是力矩分配法、无剪力分配法等方法的基础。力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移的刚架。无剪力分配法适用于刚架中除两端无相对线位移的杆件，其余杆件都是剪力静定杆件的情况。对于一般有结点线位移的刚架，可用力矩分配法和位移法联合求解。另外，迭代法、分层法、反弯法、D值法等近似计算方法。广泛地应用于结构计算。,9-1 力矩分配法的基本概念,
2、力矩分配法的理论基础是位移法。解题方法采用渐近法，它通过引入附加刚臂，将结点锁住，然后依次放松结点，使各结点逐步达到平衡，随着计算轮次的增加，其结果逼近真实的解。该方法是遵循一定的机械步骤进行，易掌握，适合手算。,以图示等截面两跨连续梁为例说明其基本思想。,1.一锁,在结点B加附加刚臂(图.b)，故在B结点产生一不平衡力矩，注意:不平衡力矩以顺时针方向为正,其值为,2.二松,为了消除附加刚臂的影响，施加一个其值与不平衡力矩等值反向的外力矩，使基本结构与原结构具有相同的受力和变形。,3、三分配,设在结点B产生一单位转角，应在B端施加的外力矩为，,二者之比为：,故BA、BC杆在B端分配到的弯矩为：
3、,传递到另一端：,3、三分配,4、叠加,将固端弯矩、分配弯矩及传递弯矩进行叠加得最终弯矩。,综上所述：力矩分配法的基本思想按各杆端承受弯矩的能力对结点不平衡力矩进行分配。,二、力矩分配法的基本要素,转动刚度以型为例转动刚度SAB等于使A端产生单位转角时需要施加的力矩,转动刚度SAB表示杆端对转动的抵抗能力，与远端的约束条件和线刚度有关,2、分配系数,如图，设结点A作用一力矩M,各杆在A端均产生相同的转角A，则各杆端所对应的弯矩为,由结点A的平衡：,将：,代回(a)式，得：,令分配系数：,且同一结点：,3、传递系数,力偶矩M作用于A点，使各杆近端分配了弯矩，同时，也使各杆远端产生了弯矩，就好象各
4、杆近端分配了弯矩后，又向远端转递一样，可以表示成：,1.远端固定：,2.远端铰支：,3.远端定向：,由上述结果可知:,CAB：为传递系数,现在把力矩分配法的物理概念简述如下：先在刚结点B上加上阻止转动的约束，把连续梁分为单跨梁，求出杆端产生的固端弯矩，然后求出结点的不平衡力矩MB。去掉约束（相当于在结点上施加-MB)，求出各杆B端新产生的分配力矩和远端新产生的传递力矩。叠加各杆端记下的力矩就得到实际的杆端弯矩。,故用下列公式表示传递弯矩的计算：,力矩分配法的基本步骤示例例91 试用力矩分配法作连续梁弯矩图,符号规定与位移法相同杆端弯矩、刚臂约束弯矩顺向为正,MB901500MB 150 906
5、0MB为杆端弯矩的代数和,力矩分配法的基本步骤示例,(1)先在结点B加上约束，求固端弯矩和刚臂中的约束力矩,(1)先在结点B加上约束，求刚臂中的约束力矩,力矩分配法的基本步骤示例,(2)放松结点B，按分配系数和传递系数求杆端力矩,(1)先在结点B加上约束，求刚臂中的约束力矩,力矩分配法的基本步骤示例,(2)放松结点B，按分配系数和传递系数求杆端力矩,(3)叠加杆端弯矩,原结构,状态锁住,状态放松B,在B、C施加刚臂，阻止结点转动,状态放松C,在B刚臂中施加等值反向的约束力矩，放松刚臂B,在C刚臂中施加等值反向的约束力矩，放松刚臂C,多结点的力矩分配特点逐点放松，逐步逼近,原结构,状态锁住,状态
6、放松B,求固端弯矩,状态放松C,按单结点问题（分配、传递）求杆端弯矩,按单结点问题（分配、传递）求杆端弯矩,多结点的力矩分配特点每次放松一个结点，故为单结点问题,例92 试用力矩分配法作连续梁弯矩图,例92 试用力矩分配法作连续梁弯矩图,例92 试用力矩分配法作连续梁弯矩图,例92 试用力矩分配法作连续梁弯矩图,例92 试用力矩分配法作连续梁弯矩图,MB10033.4600MB 60100 33.473.4MB为杆端弯矩的代数和,例92 试用力矩分配法作连续梁弯矩图,例92 试用力矩分配法作连续梁弯矩图,例9-3 试求图9-8所示刚架的弯矩图。,解：(1)转动刚度.,设：EI0=1.,(2)分
7、配系数,结点B:,(3).固端弯矩,(4).分配、传递,从结点不平衡力矩大的结点C开始。,(5).做弯矩图，如图.b所示,与之相近的还有迭代法：它于力矩分配法的区别是：力矩分配法计算的是杆端弯矩新添的增量，而迭代法每次得到的是杆端弯矩全量的新一轮近似解。它们都是线性方程的迭代解法在结构力学中的应用。另外，力矩分配法只能计算连续梁和无侧移刚架，迭代法可用于解算无侧移和有侧移刚架。,例9-4 试用力矩分配法计算图示连续梁的弯矩图。,解:1、计算分配系数和固端弯矩,结点 B的不平衡力矩：,2、分配与传递:从结点C开始.,3、叠加得M图,小结：用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架时如何处理结点力偶的问题
8、。,1、锁住结点时，将结点力偶荷载产生的约束力矩计入该结点的总约束力矩中进行变号分配，即上题的做法。,2、锁住结点时，只将跨间荷载产生的固端弯矩计入结点的约束力矩进行变号分配，结点力偶单独在该结点进行不变号分配，再与约束力矩变号分配后所得的分配力矩叠加后同时向远端传递。,解法2、按第2种方法求解,另外，处理结点作用有集中力偶荷载时，还有两种方法：,3、在外力偶荷载的结点上虚拟一远端自由的杆(杆长随意)，将结点力偶移至自由端，参与力矩的分配过程。虚拟的杆的刚度和分配系数均为零。,4、将结点力偶荷载计入交于该结点的某一杆的杆端，即看作是此杆的跨间荷载，只不过是作用在杆端，求出相应的固端弯矩，并与其
9、它跨间荷载产生的固端弯矩叠加后进行计算。,例9-5 图9-10a所示为一带臂梁的等截面，试作M图。,解：(1).锁住结点B和C，写出固端弯矩。,(2).放松结点C：,(3).放松结点B:结点C不再锁住，保持为铰支端。,上题，也可以将伸臂CD部分切除，代之以作用于结点C的力偶M=50.0 kN.m 进行计算。,例9.7 试求图9.8所示刚架的弯矩图.,解：悬臂的CD部分为一静定部分，将CD切去，在C点作用一个集中力偶(25KN.m)和一集中力-20KN，如图8-8b所示。,节点C的约束力矩为,或者将-25kN.m理解成杆端的固端弯矩也可以。将RCP=-4.17kN.m反号后分配，计算过程如下：,
10、9-3 对称结构的计算,对称结构在对称荷载作用下，弯矩图和轴力图是对称的，而剪力图是反对称；在反对称荷载作用下，弯矩图和轴力图是反对称的，而剪力图是对称。利用这些性质，在对称结构中可只取半边结构进行计算。,例9-6 图示等截面连续梁EI=36000KN.m，在图示荷载作用下，欲通过升降支座B、C使梁跨中弯矩与支座弯矩相等，试求此两支座的竖向位移为若干?并绘M图。,解：1、取半边结构：,令：,2、固端弯矩：,由题意令：,实际中经常存在着对称结构上作用有对称或反对称的荷载，此时结构呈对称或反对称变形，我们在研究杆件发生对称或反对称变形时的转动刚度的基础上，改进力矩分配法在对称结构中的应用.,如图8
11、-7所示的杆件，在其两端施加对称的力矩，让其发生对称的变形，此时，A=-B,若令B=1，则得该杆件的转动刚度：,如图8-9所示的杆件，在其两端施加反对称的力矩，让其发生反对称的变形，此时，A=B,若令B=1，则得该杆件的转动刚度：,该结构为一对称结构，其上作用有对称荷载，可以取一半结构进行弯矩分配（实际上在原结构的左半边上进行）。,固端弯矩：,分配系数,例8-4 计算如图8-9a所示的连续梁，并绘M图。EI=常数。,注意：在此过程中远端D也同时放松了，C端分配得到的弯矩不再向远端传递。,习题1：试作图示连续梁的M图,习题2.用弯矩分配法求作M图.,习题3.用弯矩分配法求作M图,已知:各杆EI相
12、同.,9-4 无剪力分配法,力矩分配法是无侧移刚架的渐近法，不能直接用于侧移刚架。但对于某些特殊的有侧移刚架，可用与力矩分配法类似的无剪力分配法。,(1).各梁的两端结点没有垂直杆轴的相对位移。,(2).各柱的两端虽有侧移，但剪力静定。即各柱的剪力可以由平衡条件直接求出。,1.无剪力分配法的应用条件,图.9-15中的有侧移刚架，竖柱AB和CD的不是剪力静定杆件，不能直接用无剪力分配法。,2.剪力静定杆件的固端弯矩.(无剪力分配法的计算步骤）,第一步：锁住结点，求各杆的固端弯矩。如图.b所示。,第二步：放松结点(结点产生角位移，同时也产生线位移),求各杆的分配弯矩和传递弯矩。如图.c所示。,第三
13、步：将以上两步所得结果叠加，即所得刚架的杆端弯矩。,现求图.b中杆AB的固端弯矩。如图.d所示，将其视为B端固定、A端定向的单跨梁，查表7-1。,图9-17a所示为两层半边刚架处于锁住状态，求固端弯矩：杆ABC的受力用图.b表示，A点下边截面剪力为P1，B点下边截面剪力为P1+P2。AB和BC的固端弯矩可分别由c、d查表7-1得出。,求固端弯矩的步骤：现根据静力条件求出杆端剪力，然后将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动、另端固定杆件计算。,3.零剪力杆件的转动刚度和传递系数,杆AB的变形特点：结点A既有转角，同时也有侧移；受力特点：各截面剪力都为零，杆件为零剪力杆件。,放松结点A的约束，相当于在
14、结点A，反向加一个与约束力偶等值反向的力偶矩。,当A端转角A，杆端力偶为：,由此可知：零剪力杆的转动刚度.,传递系数：,在剪力为零的条件下：可以交换位置A、B两点的位置；即将B端视为定向、A端视为刚结。如图.c所示。,图9-19所示刚架在放松结点B时的情形。,1、杆BC的受力如图.c所示，即：,总之，在结点力偶作用下，刚架中的剪力静定杆件都是零剪力杆件，因此，放松结点时，这些杆件都是在零剪力条件下进行得到的分配弯矩和传递弯矩。故称为无剪力分配法。,2、杆AB的受力如图.d所示，即：,解：根据对称性，取半边结构计算,如图所示。,1、固端弯矩,2、分配系数,结点B为例:,例9.9 用无剪力分配法计
15、算图示刚架,3、力矩的分配与传递.,结点分配次序为B、A、B、A.立柱的传递系数为-1。做最后的弯矩图。,故结点B的分配系数为：,9-5 力矩分配法与位移法的联合应用,对于一般有结点线位移的刚架，上述的力矩分配法和无剪力分配法均不适用。为此，可联合应用力矩分配法与位移法求解。首先，用位移法求解，但所取基本体系只控制结点线位移，而不控制角位移，基本结构如图9-25b所示。并将其分解为图9-25c、d所示.相应的位移法方程为：,而弯矩可表示为：,其次，用力矩分配法计算基本结构，求出：,按式(a)求出结点线位移：,然后按式(b)可求得弯矩图。,例 9-9 试求图9-26所示刚架的内力。,解:(1)在
16、D处加水平连杆，求荷载作用下的MP、F1P。,此时由于没有结点线位移，可用力矩分配法计算，得出MP 图如图9-27所示。再由杆端弯矩求柱底剪力：,再由整个刚架的平衡条件：,(2)求作支座D产生单位位移时刚架的弯矩图M1.,当1=1时，可用力矩分配法计算得到弯矩图M1.,由杆端弯矩求柱底剪力为：,再由整体平衡条件求出k11:,(3).由位移法方程求得：,(4).作弯矩图,将图9-28中的M1图的标距乘以1=-1.95，再与图9-28中的MP图的标距叠加，即得最后的M图。如图9-29所示。,9-6 近 似 法,在结构设计,特别是初步设计和计算中,我们往往想以较小的工作量获得一个较为粗略的解答.为此
17、我们就要引入一些假设来简化计算.这种情况实际上在前面讲述的所谓精确方法中已经有所体现.例如:,1、在计算梁和刚架的位移时,忽略剪力和轴力产生的变形,只计弯矩引起的变形.,2、在位移法和力矩分配法中都只考虑了弯矩引起的变形,计算中忽略剪力和轴力引起的变形,实际上就是在计算简图中假设抗拉刚度和抗剪刚度为无穷大.,一、分层法,对于有结点线位移的刚架,虽然竖向荷载也要引起侧移，但侧移数值一般比较小。多层多跨刚架在竖向荷载作用下的分层计算法就是忽略侧移影响的一种近似法，它采用了如下两个假设：,第一，忽略侧移的影响，用力矩分配法计算。,第二，忽略每层梁的竖向荷载对其它各层的影响，把多层刚架分解成一层一层地
18、单独计算。,如图a所示为一四层刚架,按层分成图b所示的四个分层刚架分别计算,除底层外,每个柱同属于相邻两层刚架,因此柱的弯矩应由两部分叠加得出.,(b),现在来分析某层的竖向荷载对其它各层的影响问题.首先,荷载在本层结点产生不平衡力矩,经过分配和传递,才影响到本层的柱的远端,然后在柱的远端再经过分配,才影响到相邻的楼层.这样,就可以忽略每层梁的竖向荷载对其它各层的影响,把多层刚架分解成一层一层地单独计算。,1、在每层刚架中除底层柱底看成为固定端外,其余各柱柱端实际应看成弹性固定端.为此,将上层各柱的线刚度乘以0.9,传递系数由1/2改为1/3.,2、在分层计算的结果中,刚结点上的弯矩是不平衡的
19、,如有必要,可对结点上的不平衡弯矩,再进行一次分配,采取了上述措施的分层法又称为弯矩二次分配法.,9-5 近似法,以“1”结点为例：,9-5 近似法,2、反弯点法,刚架在竖向荷载作用下弯矩计算的近似方法。,刚架在水平荷载作用下弯矩图有以下的特点：,1）弯矩图全是直线组成；2）柱子的剪力沿杆长是常数；3）柱子的弯矩图全有反弯点；,4）结点位移主要是侧移，转 角很小。,反弯点法的基本假设是把刚架中的横梁简化为刚性梁，如图a 所示刚架的变形特点是结点有侧移而无转角，弯矩图的特点是立柱中的弯矩为零（如图b所示）。由于两柱侧移相等，因此,两柱剪力应为（如图c所示).,（a）,柱的侧移刚度系数,由平衡条件
20、,即,(b),由式(a)和式(b)可求出:,(C),式中:,称为剪力分配系数.荷载FP按剪力分配系数分配给各柱.,求出各柱的剪力后,再利用反弯点在各柱中点这一特性,可知各柱两端弯矩为M=FQ.h/2,由此可画出刚架的弯矩图.,综上所述,反弯点法的要点可归纳如下:,1、刚架在结点水平荷载,当梁柱线刚度比值较大,可采用反弯点法计算.,2、反弯点法假设横梁相对线刚度为无限大,因此刚架结点不发生转角,只有侧移.,3、各层的总剪力按各柱的侧移刚度在总侧移刚度中所占的比例分配到各柱.所以,反弯点法又可称为剪力分配法.,4、柱的弯矩是由侧移引起的,所以柱的反弯点在柱中点处.在多层刚架中，底层柱的反弯点常设在
21、柱的2/3高度处。,5、柱端弯矩根据柱的剪力和反弯点位置确定。梁端弯矩由结点不平衡条件确定，中间结点的两侧梁端弯矩，按梁的转动刚度分配不平衡力矩求得。,例8-8、利用反弯点法计算图8-26所示刚架，并画出弯矩图。圆圈内的数字为杆件线刚度的相对值。,解：设柱的反弯点在高度中点。在反弯点处将柱切开，隔离体如图8-27所示。,（1）、求各柱剪力分配系数,顶层：,底层：,（2）、计算各柱剪力,（3）、计算杆端弯矩,计算梁端弯矩时，先求出结点柱端弯矩之和为,按梁刚度分配：,图8-28是刚架弯矩图。括号内的数值是精确法计算的杆端弯矩。可见反弯点与精确法存在着相当大的误差，主要原因是反弯点法假定梁柱之间的线
22、刚度之比为无穷大，且假定反弯点高度为一定值。这样，虽然使刚架在侧移荷载作用下的内力计算得到了简化，但同时也带来了一定的误差。当梁柱线刚度较为接近时，此时，柱的抗侧移刚度不再等于，应当加以修正，即，修正后柱的抗侧移刚度为,（8-13）,式（8-13）中，是考虑柱上下端结点弹性约束的修正系数，可见，柱的侧移刚度不仅与柱的线刚度和层高有关，而且还与梁的线刚度有关。,式（8-13）中，是考虑柱上下端结点弹性约束的修正系数，可见，柱的侧移刚度不仅与柱的线刚度和层高有关，而且还与梁的线刚度有关。另外，柱的反弯点高度也与梁柱线刚度比、上下层横梁的线刚度比以及上下层层高的变化因数有关。日本的武藤清教授对反弯点
23、法中的柱的侧移刚度和反弯点高度进行了修正。由于，修正后的柱的抗侧移刚度以D表示，故此法称为“D值法”。,9-7 超静定力的影响线,超静定力的影响线有两种做法：一.是用力法、位移法等方法直接求出影响系数的方法；但是求系数和自由项时，要在基本体系上画弯矩图，因此需要多次解遍“一次超静定结构”。二.是利用超静定力影响线与挠度图间的比拟关系。它们分别对应静力法与机动法。现介绍后一种方法.,以图示一超静定梁，支座B反力Z1的影响线为例，说明影响线与挠度图之间的比拟关系。,1、力法方程：,2、应用位移互等定律：,P1如图e所示，它是由单位力Z1=1，在基本结构中引起的沿荷载 P作用点的竖向位移。,3、因此
24、，上式可以明确地写成如下形式：,(3)式表示了影响量值与挠度图之间的关系。用机动法做超静定力的影响线与做静定结构的影响线是类似的，步骤如下：,2、使体系沿Z1的正方向发生位移，作出挠度图，即为影响线的形状；,3、将P1 图除以11，便确定了影响线的数值。,4、横坐标以上图形为正号、以下图形为负号。,1、去掉所求约束力Z1相应的约束;,图示为连续梁的几个影响线的形状：,应当指出：对静定内力或反力来讲，位移图是几何可变体系的位移图，因而是折线图形。对超静定内力或反力来讲，位移图是几何不变体系的挠度图，因而是曲线图形。,9-9 连续梁的最不利荷载分布及内力包络图,连续梁是工程中常见的一种结构,通常承
25、受恒载和活载的两部分荷载的作用，恒载是布满全跨,对某一个截面来说,恒载产生的内力是不变的，而活载不同时布满各跨,其产生的内力随活荷的位置发生变化。设计时为了保证结构的安全使用，必须求作内力包络图，内力包络图是截面内力变化的极限情况，为此，首先要确定荷载的最不利位置，而要确定荷载的最不利位置要用到影响线。,例：,对支座截面的最大负弯矩的最不利荷载位置是：支座两邻跨有活载，然后，每隔一跨有活载。,对跨中截面最大正弯矩，在本跨布活载，然后每隔一跨布活载。,内力包络图是在恒载和活载作用下可能产生内力的极限范围。即，无论活载位于任何位置，所产生的内力都不会超出这一范围。特别是弯矩包络图它在钢筋混凝土梁的
26、设计中，是确定钢筋用量和布置钢筋的重要依据。,例9-11 一多层工业厂房楼盖结构的剖面图如图所示,作主梁的弯矩包络图.,8-9 小 结 以力矩分配法为代表的渐近法是从位移法演变而来的。从应用范围上看，力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移的刚架；而无剪力分配法和力矩分配法与位移法的联合应用适用于解有侧移刚架。它们的优点是：无需建立和解算联立方程，且力学概念明确，收敛速度快，直接以杆端弯矩进行运算等。即使在计算机技术飞速发展的今天，以力矩分配法为代表的渐近法，也不失为一种简单、适用的方法。,力矩分配法的计算过程可概括为四个环节：（1）、一锁：通过引入附加刚臂来限制结点角位移，并进而求出固端弯矩和结
27、点的不平衡力矩。（2）、二松：将结点的不平衡力矩（约束力矩）反号施加于结点，以消除附加刚臂的影响。（3）、三分配：根据分配系数和传递系数求分配弯矩和传递弯矩。（4）、叠加：将固端弯矩、历次分配弯矩和传递弯矩相加的杆端弯矩。以上四步中，核心是第三步。要透彻理解每一步的物理意义，才能灵活应用。例如：对于结点有集中力偶作用的情况，有多种计算方法，只要概念清楚，各种方法其实都是相同的。,与位移法在对称结构中的应用类似，改进后的力矩分配法在对称结构中的应用更容易理解，且该方法在原结构的半边上直接进行计算，不需要取1/2或1/4替代结构。对于无剪力分配法主要是要清楚它的应用条件，即，刚架中除杆端无相对线位移的杆件外，其余都是剪力静定杆件的情况。对于一般有结点线位移的刚架，联合应用力矩分配法和位移法求解，发挥两种方法的长处。多层多跨刚架在竖向荷载作用下的分层法和水平荷载作用下的反弯点法，是工程中常用的近似方法。利用超静定力的影响线与挠度图间的比拟关系，可以方便地给出影响线的形状，可用来判断活载的最不利荷载位置的分布。连续梁内力包络图，特别是弯矩包络图在钢筋混凝土连续梁的设计中起作至关重要的作用。,习题1.用弯矩分配法求作M图.,习题2.用弯矩分配法求作M图,已知:各杆EI相同.,
