线性代数习题集.doc

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1、第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512( ).(A) 0 (B) (C) (D) 23. ( ).(A) 0 (B) (C) (D) 24在函数中项的系数是( ). (A) 0 (B) (C) (D) 25若，则 ( ). (A) (B) (C) (D)6 已知4阶行列式中第1行元依次是, 第3行元的余子式依次为, 则( ).(A) 0 (B) (C) (D) 27. 若，则中第四行元的余子式的和为( ).(A) (B) (C) (D)8. 等于下列选项中哪个值时，齐次

2、线性方程组有非零解. ( ) (A) (B) (C) (D)二、填空题1在六阶行列式中项所带的符号是.2四阶行列式中包含且带正号的项是.3若一个阶行列式中至少有个元素等于, 则这个行列式的值等于.4. 行列式.5行列式.6已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.7设行列式，为D中第四行元的代数余子式，则.8齐次线性方程组仅有零解的充要条件是.9若齐次线性方程组有非零解，则=.三、计算题1；2解方程； 第二章 矩阵一、单项选择题1. A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是( a )。(a) (b) (c) (d) 2.设方阵A、B、C满足A

3、B=AC,当A满足( b )时，B=C。(a) AB =BA (b) (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B、C可逆 3.若为n阶方阵，为非零常数，则( c )。(a) (b) (c) (d) 4.设，为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( b )。(a) (b) (c) (d) 5.设为n阶方阵,为的伴随矩阵,则( d )。(a) (b) (c) (d) 6. 设为3阶方阵,行列式,为的伴随矩阵,则行列式( a )。(a) (b) (c) (d) 7. 设，为n阶方矩阵,则下列各式成立的是( d )。(a) (b) (c) (d) 8. 设，均为n阶方矩阵,则必有( c )。(a) (b)

4、 (c) (d) 9.如果，则（ b）。 （a） (b) (c) (d) 10.已知，则（ ）。 (a) (b) （c） （d） 11.设为同阶方阵，为单位矩阵，若，则（ b ）。（a） （b） （c） （d） 12.，为n阶非零矩阵，且，则秩()和秩()( c )。(a)有一个等于零 (b)都为n (c)都小于n (d)一个小于n，一个等于n 13.n阶方阵可逆的充分必要条件是( b )。(a) (b) 的列秩为n(c) 的每一个行向量都是非零向量 (d)伴随矩阵存在 14.n阶矩阵可逆的充要条件是( d )。(a) 的每个行向量都是非零向量(b) 中任意两个行向量都不成比例(c) 的行向量

5、中有一个向量可由其它向量线性表示(d)对任何n维非零向量，均有 二、填空题1.设为n阶方阵,为n阶单位阵,且,则行列式 2.行列式_ 3.设为5阶方阵，是其伴随矩阵，且，则81 4.设4阶方阵的秩为2，则其伴随矩阵的秩为0 5.设为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量，均有，则的秩为_ 三、计算题1.解下列矩阵方程(X为未知矩阵).,其中；2.已知,求. 3.求非奇异矩阵,使为对角阵. 1) 2) 四、证明题1. 设、均为阶非奇异阵,求证可逆.2. 设(为整数), 求证可逆.3.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。4.设为n阶方阵，为n阶单位矩阵，且。试证：可逆，并求

6、。第三章 一、单项选择题1. ， 都是四维列向量，且四阶行列式,则行列式 2. 设为阶方阵，且,则（ ）。3. 设为阶方阵，则在的个行向量中（ ）。4. 阶方阵可逆的充分必要条件是（ ）5. 维向量组线性无关的充分条件是( )都不是零向量中任一向量均不能由其它向量线性表示中任意两个向量都不成比例中有一个部分组线性无关6. 维向量组线性相关的充要条件是( ) 中至少有一个零向量中至少有两个向量成比例中任意两个向量不成比例中至少有一向量可由其它向量线性表示7. 设均为维向量,那么下列结论正确的是( )若,则线性相关若对于任意一组不全为零的数,都有,则线性无关若线性相关,则对任意不全为零的数,都有若

7、,则线性无关8. 若向量可被向量组线性表示，则（ ）存在一组不全为零的数使得存在一组全为零的数使得存在一组数使得对的表达式唯一9. 下列说法正确的是（ ）若有不全为零的数，使得，则线性无关若有不全为零的数，使得，则线性无关若线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示任何个维向量必线性相关10. 设是向量组，的线性组合，则=（ ） 二、填空题1. 若，线性相关，则t=。2. n维零向量一定线性关。3. 向量线性无关的充要条件是。4. 若线性相关，则线性关。5. n维单位向量组一定线性。6. 设向量组的秩为r,则 中任意r个的向量都是它的极大线性无关组。7. 设向量与正交，则。8. 正交向量组

8、一定线性。9. 若向量组与等价，则的秩与的秩。10. 若向量组可由向量组线性表示，则。11. 向量组，的线性关系是。12. 设，若是标准正交向量，则x和y的值.三、计算题1. 设，问（1）为何值时，能由唯一地线性表示？（2）为何值时，能由线性表示，但表达式不唯一？（3）为何值时，不能由线性表示？解：设 则对应方程组为 其系数行列式（1）当时，方程组有唯一解，所以可由唯一地线性表示;（2）当时，方程组的增广阵 ， ，方程组有无穷多解，所以可由线性表示，但表示式不唯一;（3）当时，方程组的增广阵，方程组无解，所以不能由线性表示。2. 设，问： （1）为何值时，不能表示为的线性组合？（2）为何值时，

9、能唯一地表示为的线性组合？解:以为列构造矩阵（1）不能表示为的线性组合；（2）能唯一地表示为的线性组合。3. 求向量组，的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。解：为一个极大无关组，且, 4. 设，t为何值时线性相关，t为何值时线性无关？解：，当时线性相关，当时线性无关。四、证明题1. 设，试证线性相关。.证：线性相关2. 设线性相关，而线性无关，证明能由线性表示且表示式唯一。证：线性相关 存在不全为零的数使得若，则，（）与线性无关矛盾所以 于是 能由线性表示。设 则-得线性无关 即表示法唯一3. 设线性相关，线性无关，求证不能由线性表示。证：假设能由线性表示线性无关，线性无

10、关线性相关，线性表示， 能由线性表示，从而线性相关，矛盾不能由线性表示。4. 证明：向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合。证：必要性 设向量组线性相关 则存在不全为零的数使得不妨设，则， 即至少有一个向量是其余向量的线性组合。充分性设向量组中至少有一个向量是其余向量的线性组合不妨设则，所以线性相关。第四章 线性方程组一、单项选择题1设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则有非零解的充分必要条件是（ ）(A) (B) (C) (D) 2设是矩阵，则线性方程组有无穷解的充要条件是（ ） (A) (B) (C) (D) 3设是矩阵，非齐次线性方程组的导出组为，若，则（ ）

11、(A) 必有无穷多解 (B) 必有唯一解 (C) 必有非零解 (D) 必有唯一解4 已知是非齐次线性方程组的两个不同的解，是导出组的基本解系，为任意常数，则的通解是（ ）(A) (B) (C) (D) 5设为矩阵，则下列结论正确的是（ ）(A) 若仅有零解 ，则有唯一解 (B) 若有非零解 ，则有无穷多解 (C) 若有无穷多解 ，则仅有零解 (D) 若有无穷多解 ，则有非零解6设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充要条件为（ ）(A) 的列向量线性无关 (B) 的列向量线性相关 (C) 的行向量线性无关 (D) 的行向量线性相关二、填空题1. 设为100阶矩阵，且对任意100维的非零列向量，均有

12、，则的秩为 .2. 线性方程组仅有零解的充分必要条件是 .3. 设和均为非齐次线性方程组的解（为常数），则 .4. 若线性方程组的系数矩阵的秩为，则其增广矩阵的秩为 .5. 设矩阵的秩为，则的解向量组的秩为 .6. 设，若齐次线性方程组只有零解，则 .7. 设，若线性方程组无解，则 .8. 设矩阵的秩为，是非齐次线性方程组的三个不同的解向量，若，则的通解为 .9. 设为矩阵，则有 个解，有 个线性无关的解.三、计算题1. 设四元齐次线性方程组为 （）：求（）的一个基础解系2. 问为何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷解？在有解时求出全部解（用基础解系表示全部解）。1） 2）3. 求一个非齐

13、次线性方程组，使它的全部解为 第四章 一、单项选择题1. 设,则的特征值是( )。(a) -1,1,1 (b) 0,1,1 (c) -1,1,2 (d) 1,1,22. 设,则的特征值是( )。(a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1,13. 若阶方阵的特征值相同,则( )。(a) (b) (c) 与相似 (d) 与合同4. 设为阶可逆矩阵, 是的特征值,则的特征根之一是( )。(a) (b) (c) (d) 5. 设2是非奇异阵的一个特征值,则至少有一个特征值等于( )。(a) 4/3 (b) 3/4 (c) 1/2 (d) 1/46. 矩阵A的属于不同

14、特征值的特征向量（ ）。(a)线性相关 (b)线性无关 (c)两两相交 (d)其和仍是特征向量7. 是阶矩阵与相似的( C )。(a)充要条件 (b)充分而非必要条件(c)必要而非充分条件 (d)既不充分也不必要条件8. 阶方阵有个不同的特征根是与对角阵相似的( b )。(a)充要条件 (b)充分而非必要条件(c)必要而非充分条件 (d)既不充分也不必要条件9. 设矩阵与相似,则的值分别为( )。(a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,110. 设为相似的阶方阵,则( a )。(a)存在非奇异阵,使 (b)存在对角阵,使与都相似于(c)存在非奇异阵,使 (d)与有相同的特征

15、向量11. 若阶方阵与某对角阵相似,则( a )。(a) (b) 有个不同的特征值(c) 有个线性无关的特征向量 (d) 必为对称阵12. 若相似于,则( b )。(a) (b) (c) 及与同一对角阵相似 (d) 和有相同的伴随矩阵二、填空题1. n阶零矩阵的全部特征值为_。2. 设为n阶方阵，且，则的全部特征值为_。3. 设为n阶方阵，且(m是自然数)，则的特征值为_。4. 若，则的全部特征值为_。5. 若方阵与相似，则_。6. 若n阶矩阵有n个相应于特征值的线性无关的特征向量，则_。7. 设三阶矩阵的特征值分别为-1,0,2,则行列式 。8. 设二阶矩阵满足，则的特征值为 。9. 特征值

16、全为1的正交阵必是 阵。10. 若四阶矩阵相似，的特征值为，则= 。三、计算题1. 求非奇异矩阵,使为对角阵. 1) 2) 2. 已知三阶方阵的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为,求矩阵.3. 设，有一个特征向量，求的值，并求出对应于的特征值。4. 设，有一个特征向量，求的值。5. 设三阶矩阵的特征值为-1,2,5，矩阵，求（1）的特征值；（2）可否对角化，若可对角化求出与相似的对角阵；（3）求.四、证明题1. 设是非奇异阵, 是的任一特征根,求证是的一个特征根,并且关于的特征向量也是关于的特征向量.2. 设,求证的特征根只能是.3. 证明:相似矩阵具有相同的特征值.第五章 二次型

17、一、单项选择题1阶对称矩阵正定的充分必要条件是（ ）。 存在阶阵C，使负惯性指数为零 各阶顺序主子式为正 2方阵A正定的充要条件是（ ）。A 的各阶顺序主子式为正； 是正定阵；A的所有特征值均大于零； 是正定阵。3下列为二次型的是（ ）。 4下列矩阵中，不是二次型矩阵的为（ ）. 5下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） 二、填空题1. 二次型的秩为 。 2二次型的矩阵为 。3 设，则二次型的矩阵为 。4若正定，则t的取值范围是 。5设是正定矩阵，则满足条件 。 6二次型的矩阵为 。第二部分 历年期末试题本题得分 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）1、 设n阶方阵等价，则必有 （ ） (

18、A) 当 (B) 当 (C) 当 (D) 当2、设为同阶可逆矩阵，则 （ ） (A) 矩阵与等价 (B) 矩阵与相似(C) 矩阵与合同 (D) 矩阵与可交换3、向量组：；可由向量组：线性表示，则（ ） (A) 当时，向量组必线性相关 (B) 当时，向量组必线性相关 (C) 当时，向量组必线性相关 (D) 当时，向量组必线性相关4、已知和是非奇次线性方程组的两个不同的解，是对应导出组的基础解系，为任意常数，则方程组的通解（一般解）为（ ） (A) (B) (C) (D) 5、若方阵，则的特征值为 （ ）(A) 1，0，1 (B) 1，1，2 (C) -1，1，2 （D）-1，1，1本题得分二、填

19、空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分）1、已知为2维列向量，矩阵，若行列式 。2、设3阶方阵则的逆矩阵= 。3、设，矩阵满足，其中为的伴随矩阵，为三阶单位矩阵，则的行列式= 。4、设是35阶矩阵，的秩，而，则 。5、已知四阶行列式中第二列元素依次为1，2，3，4，其对应的余子式依次为4，3，2，1，则该行列式的值为 。6、设三阶矩阵，三维列向量，已知线性相关，则= 。7、设四阶矩阵相似于，的特征值为2，3，4，5，为四阶单位矩阵，则行列式 。8、如果10阶方阵的各行元素之和均为0，且，则线性方程组的通解为 。9、若方阵与对角阵相似，且，（m为自然数），则 。10、若二次型正定，则的所属

20、区间为 。本题得分三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）1、解方程2、 求向量组的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余的向量。其中，。3、设，求的秩。 4、求矩阵，使。其中，。本题得分四、计算题（二）（共3小题，每题10 分，共30分）答题要求：（请将答案写在指定位置上，解题时应写出文字说明或计算步骤）1、已知向量，判断向量能否由向量组线性表示，若能，写出它的一般表示方式；若不能，请说明理由。2、设，（1）计算二次型，写出该二次型所对应的矩阵； （2）将二次型化为标准形，写出所用的可逆线性变换及变换矩阵。3、设，如果相似，求（1）的值（2）相应的正交矩阵。本题得分五、证明题（共

21、2小题，每题4分，共计8分）答题要求：（请将答案写在指定位置上，并写清证明过程）1、设为n阶方阵，为n阶单位矩阵，且。试证：可逆，并求2、若向量组线性无关，向量组是否线性相关？说明其理由。本题得分 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）答题要求：（每题只有一个是符合题目要求的，请将所选项填在题后的括号内，错选、多选或未选均无分）1. 行列式 的展开式中，的系数为 （ ） (A) -1 (B) 2 (C) 3 (D) 42设为n阶非零矩阵，且，则 （ ） (A) (B) (C) (D) 3向量组线性无关的充要条件是 （ ） (A) 向量组不含零向量 (B) 向量组中任意两个线性无关 (

22、C) 向量不能由向量组 线性表出 (D)任一组不全为零的数，都使4已知四阶方阵有特征值0，1，2，3，则方程组的基础解系所含解向量个数为 （ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 45n阶对称阵为正定矩阵的充分必要条件是 （ ）(A) (B) 等价于单位矩阵 (C) 的特征值都大于0 （D） 存在n阶矩阵，使本题得分 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分）1三阶行列式的展开式中，前面的符号应是 。2设为中元的代数余子式，则 。3设n阶矩阵的秩，则的伴随矩阵的元素之和 。4三阶初等矩阵的伴随矩阵为 。5若非齐次线性方程组有唯一解，则其导出组解的情况是 。6若向量组线性相关

23、，则向量组 的线性关系是 。7设矩阵的特征多项式为，则行列式 。8如果n阶方阵的各行元素之和均为2，则矩阵必有特征值 。9设为正交矩阵，则其逆矩阵 。10二次型的正惯性指数为 。本题得分三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）1计算n阶行列式：2.设, (1)用初等变换法求；（2）将表示为初等矩阵之积。3设，且满足，求。 4化二次型为标准形，并写出可逆的线性变换。本题得分四、计算题（二）（共3小题，每题10 分，共30分）1当为何值时，方程组有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示全部解。2. 判别向量组能否由向量组， 线性表出，并求向量组的一个极大无关组。 3设 求正

24、交矩阵，使为对角矩阵，并写出相应的对角阵。本题得分五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）1设n阶方阵有不同的特征值，相应的特征向量分别是，证明：当全不为零时，线性组合不是的特征向量。2. 设n维列向量组线性相关，为n阶方阵，证明：向量组线性相关。 附：线性代数（A卷）答案要点及评分标准一选择题（共5小题，每题2分，共计10分）1B； 2A； 3D； 4A； 5C.二填空题（共10小题，每题2分，共计20分）1负号； 21； 30； 4或； 5唯一解（或只有零解）； 6线性相关； 7-27； 82； 9； 103.三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）1、解：按照第一行展开得到

25、8分2、解：（1） 2分 所以 5分（2） 8分3、解：方法一：由, 得到， 2分 5分所以，可逆，=. 8分方法二：由, 得到， 2分用初等行变换求 6分所以，可逆， =. 8分4、 = 6分令 即可逆线性变换为. 8分四、计算题（二）（共3小题，每题10分，共计30分）1、解：由方程组有无穷多组解，所以，故 4分 原方程组等价于方程组取，得到特解 7分令，分别代入等价方程组的齐次线性方程组中求得基础解系为，方程组的全部解为 其中为任意常数 10分2、解：初等行变换矩阵到行最简梯矩阵为 6分可得到能由线性表示，且向量组的一个极大无关组为 10分3、解： 4分得到矩阵的全部特征值为当时，由得一

26、个基础解系正交化,单位化， 7分当时，由的一个基础解 将其单位化得 9分则正交阵，相应的对角阵为 10分五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）1、证明： 因为 而所以 不是的特征向量. 4分2、证明：由线性相关，根据定义，存在不全为0的，使得，用矩阵左乘等号两边得到 不全为0，根据线性相关的定义得到向量组线性相关. 4分本题得分 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）1.在展开式中，的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.是mn矩阵，是m阶可逆矩阵，是m阶不可逆矩阵，且，则 （ ） (A) 的基础解系由n-m个向量组成 (B) 的基础解系由n-r个

27、向量组成 (C) 的基础解系由n-m个向量组成 (D) 的基础解系由n-r个向量组成 3.设n阶矩阵有共同的特征值，且各自有n个线性无关的特征向量，则（ ） (A) (B) (C) (D) 不一定相似，但 4.设均为n阶矩阵，且，其中为n阶单位阵，则 （ ） (A) (B) (C) (D) 5设，则 （ ）(A)合同，且相似 (B)不合同，但相似(C)合同，但不相似 （D）既不合同，又不相似 本题得分二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分）1已知，则 。2设，若三阶矩阵满足则的第一行的行向量是 。3已知为n维单位列向量，为的转置，若 ，则 。4设分别是属于实对称矩阵

28、的两个互异特征值的特征向量，则 。5设是四阶矩阵，为其伴随矩阵，是齐次方程组的两个线性无关解，则 。6向量组的线性关系是 。7已知三阶非零矩阵的每一列都是方程组的解，则 。8已知三维向量空间的基底为，则向量在此基底下的坐标是 。9设 。10二次型的秩为 。本题得分三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）1试求行列式的第四行元素的代数余子式之和.2.设, 求.3设n阶方阵满足，已知，求矩阵. 4设二次型中，二次型的矩阵的特征值之和为1，特征值之积为-12 .（1）求的值；（2）用配方法化该二次型为标准形.本题得分四、计算题（二）（共3小题，每题10 分，共30分）1当为何值时，方程组无

29、解、有唯一解或有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示全部解.2已知向量组， ，（1）求向量组的秩；（2）求该向量组的一个极大无关组，并把其余向量分别用该极大无关组线性表示.3已知矩阵；判断能否对角化，若可对角化，求正交矩阵，使为对角矩阵，并写出相应的对角矩阵。本题得分五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）1设是n阶矩阵的属于特征值的特征向量.证明：也是的特征向量. 其中为n阶单位矩阵.2. 设n维向量组线性无关，向量组 线性相关，证明：必可由线性表示.线性代数（A卷）答案要点及评分标准一选择题（共5小题，每题2分，共计10分）1A； 2B； 3C； 4D； 5C.二填空题（

30、共10小题，每题2分，共计20分）16m； 2(2,0,1)； 3； 40； 50； 6线性无关； 7 1； 8 1,1,-1； 9 1； 10 2.三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）1、解： 4分 8分2、解：方法一：2分 所以 8分（2）方法二： 8分3、解：方法一：由, 得到，2分 5分所以，可逆，=. 8分方法二：由, 得到， 2分用初等列变换求 6分所以， . 8分4、 解：二次型的矩阵 根据题意得到 4分=令 ，标准形为. 8分四、计算题（二）（共3小题，每题10分，共计30分）1、解： 由克莱姆法则当时，方程组有唯一解； 2分当时有，所以方程组无解； 4分当时有，

31、方程组有无穷多组解，原方程组等价于方程组为 取，得到特解 令，代入等价方程组的齐次线性方程组中求得基础解系为 方程组的全部解为 其中为任意常数 10分2、解：初等行变换矩阵到行最简梯矩阵为 6分可得向量组的秩为3，向量组的一个极大无关组为，且 10分3、解：的特征多项式为 3分得到矩阵的全部特征值为当时，由得一个基础解系正交化,单位化， 当时，由的一个基础解 将其单位化得 8分因此能对角化且正交阵，相应的对角阵为 10分五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）1、证明： 因为 有 根据特征值和特征向量的定义得也是的特征向量. 4分2、证明：由线性无关，得到线性无关，又 线性相关，则可以由线性表示，所以必可由线性表示. 4分一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分）1. 若行列式，则等于 ( )(A) (B) (C) (D) 2. 设，是中元素的余子式，则=（ ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 33. 设为阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（ ）(A) (B) (C) (D) 4. 初等矩阵满足（ ）(A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵(C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为15. 下列不是阶矩阵可逆的充要条件为