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1、 初中知识点汇总 每次课前十分钟记忆、理解，上课抽查！ 第一篇 代数1、(1)有理数: 整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数如：3，0.231，0.737373，(2)无理数:无限不环循小数叫做无理数如：，sin60，0.1010010001(两个1之间依次多1个0)等(3)实数:有理数和无理数统称为实数实数与数轴上的点一一对应。2、绝对值：a0丨a丨a；a0丨a丨a如：丨丨；丨3.14丨3.143、近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有
2、效数字6，0；2.0精确到十位，2.0 精确到十分位，有效数字都有两个2,0.4、科学记数法:把一个数写成a10n的形式(其中1a10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法如：407004.07104，0.0000434.3105有效数学字往往和科学计数法结合起来考，（保留4个有效数字），（保留2个有效数字） ，（保留2个有效数字），（保留2个有效数字）5、整式的乘除法：几个单项式相乘除，系数与系数相乘除，同底数的幂结合起来相乘除单项式乘以多项式，用单项式乘以多项式的每一个项多项式乘以多项式，用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项多项式除以单项式，将多项式的每一项分别除以这个单项式（
3、单项式、多项式的次数、系数）一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。例如：的系数为，次数为5次；的系数为，次数为3次。6、 幂的运算性质：amanamnamanamn(a0)(am)namn(ab)nanbn an(a0)，a01(a0)如：a3a2a5，a6a2a4，(a3)2a6，(3a3)327a9，(3)1，52，()2()2，(3.14)1，()017、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：平方差公式 (ab)(ab)a2b2符号相同的项的平方减去只有符号不同项的平方 （a-b-c)(a+b-c)=(a-c)2-b2= 完全平方公式 (ab)2a22ab
4、b2各项平方和带上两两积2倍8、选择因式分解方法是：先看能否提公因式在没有公因式的情况下：二项式用平方差公式a2b2=(ab)(ab)，三项式用十字相乘法(特殊的用完全平方公式a22abb2=(ab)2)，三项以上用分组分解法注意：因式分解要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止因式分解一定要注意最后结果是乘积的形式9.分式:整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式注：（1）若B0，则有意义；（2）若B=0，则无意义；（2）若A=0且B0，则=0 。对于化简求值的题型，代入的值要使分母有意义。10、分式的运算：乘除法要先把分子、分母都分解因式，并颠倒除式，约分后相
5、乘；加减法应先把分母分解因式，再通分(不能去分母)注意：结果要化为最简分式11、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数a就叫做x的平方根（也叫做二次方根式）。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根12算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是013.二次根式：（1）最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或整数；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式如是最简二次根式，而则不是最简二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这
6、几个二次根式就叫做同类二次根式 如与若最简二次根式 （3）.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：该化简的没化简；不该合并的合并；化简不正确；合并出错（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式（4）二次根式化简：注意的运用 例如 （x2） 易错点：平方根与算术平方根不分，如 64的平方根为士8，易丢掉8； ， 的算术平方根是2；的平方根是2；14一元二次方程：一一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程一般形式：ax2bx+c=0(a
7、0）一元二次方程ax2bx+c=0；ax2bx+c=0是一元二次方程；方程ax2bx+c=0有两个解均说明a0。 只说方程ax2bx+c=0可能一元一次方程也可能一元二次方程二一元二次方程的解法：(1)直接开平方法(2) 配方法：步骤是化二次项系数为1，方程两边同除以二次项系数；移项，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；化原方程为(x+m）2=n的形式；如果n0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n0，则原方程无解(3) 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法一元二次方程的求根公式是 (b24ac0)(4)因式分解法：步骤是将
8、方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次因式的乘积令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解三一元二次方程的注意事项： 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a0因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程如关于x的方程（k21）x2+2kx+1=0中，当k=1时就是一元一次方程了 应用求根公式解一元二次方程时应注意：化方程为一元二次方程的一般形式；确定a、b、c的值；求出b24ac的值；若b24ac0，则代人求根公式，求出x1 ,x2若b24ac0，则方程无解 方程两边不能随便约去含有未知数的代数式如2(x4)2=3（x4）中，不能随便约去
9、（x4），得-2（x+4）=3或x+4=0 注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外），x2-8x=适合配方解，x2-7x=不适合配方解，应用题中较大数据如x2-6x-7912=0适合配方解，配方方法很重要，对二次三项式的配方可求最值。应用题中增长率a(1x)2=b直接开平方。解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法因式分解法公式法配方法 例：x22x20 因为0所以不存在 x1x2，x1x2四.根的判别式为(注意a0)五、根与系数的关系： 六、一元二次方程的应用：面积问题; 增长率a(1x)2=b; 销售问题15分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程解分式方程的步骤:去分母,
10、化为整式方程;解整式方程;验根;下结论.因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须检验分式方程无解是指去分母后整式方程无解使分式方程分母为零；分式方程有增跟是指去分母后整式方程有解使分式方程分母为零.应用题中的分式方程检验的格式：经检验，是原方程的解且符合题意。16不等式：两边都乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向（等式的性质：两边同乘以或除以一个不为零的数，等式成立）例由解：由得 x4 x4 由得 22x3x x例解不等式组 原不等式的解集为4x注：若又要求整数解，请务必注意看清要求，得整数解为3，2，1，0解应用题设、列、解、验（明验如分式方程，人数为负数；暗验是否符合题目中范围等）
11、、答。最后一定要写答（一般1分）；17平面直角坐标系：各限象内点的坐标如图所示横轴(x轴)上的点，纵坐标是0；纵轴(y轴)上的点，横坐标是0关于横轴对称的两个点，横坐标相同(纵坐标互为相反数)；关于纵轴对称的两个点，纵坐标相同(横坐标互为相反数)；关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标都互为相反数P（x，y）关于x轴对称P1（x，y）(即x不变)；到x轴的距离为P（x，y）关于y轴对称P2（x，y）(即y不变)； 到y轴的距离为P（x，y）关于原点对称P3（x，y）(即x，y都变)； 到原点的距离为与坐标有关的常用公式距离公式：交代平行四边形对角线互相平分后可用此公式确定平行四边形的的顶点。A、
12、B、C、D，有A+B=C+D或A+C=B+D或A+D=B+C(解题中交代勾股定理即可)分别横坐标纵坐标算直线l1:yk1xb1和 l2:yk2xb2 l1l2则k1 =k2且b1b2；l1l2则k1 k2= -1 直线l与x轴夹角（取锐角）则（直线过一、三象限k0, 直线过二、四象限k0）（书中没有的定理大题慎用，小题直接用，实在没辙，用！）18一次函数ykxb(k0)的图象是一条直线当k0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)特别：当b0时，ykx(k0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点19反比例函数y(k0)的图象叫做双
13、曲线是中心对称图形、轴对称图形当k0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)因此，它的增减性与一次函数相反反比例函数往往会和面积相结合，这时候要注意K所在象限及正负情况SinCostan15.三角函数：在RtABC中，C=，SinA=cosA=tanA=；sinA=cosB; 0sinA1,0cosA0.A越大,A的正弦和正切值越大,余弦值反而越小.三角函数出现通常在直角三角形中，解直角三角形或构造直角三角形特殊角的三角函数值：坡角：斜坡与水平面的夹角1 2 B CA知道正弦、余弦、正切中任意一个结合勾股定理均可知另两个，如
14、tana=2,则sinA=,cosA=20二次函数 一.定义:一般形如y=ax2+bx+c(a、b、c常数且a0)的函数称为二次函数。二. 图象函数y=ax2+bx+c (a0)的图象是抛物线；1.图象画法:(1)确定顶点,利用抛物线的对称性列表描点作图.(2)利用抛物线的顶点、与x轴、y轴交点等特殊点作图.2.图象变化:(1)平移变化：a不变一般式y=ax2+bx+c：左加右减上加下减顶点式ya(xh)2k顶点(h，k)变化(2)翻折变化: 关于x、y轴轴对称,关于谁谁不变(3)旋转变化: 关于原点都改变；关于顶点旋转180，a变-a(顶点式)3.图象性质特别：抛物线顶点式ya(xh)2k的
15、顶点坐标是(h，k)，对称轴是：直线xh抛物线交点式与x轴交点为对称轴是：直线x=三. 二次函数的图象与一元二次方程的根的关系: 四、二次函数解析式 一般式：;（2）顶点式：顶点为（h,k）可设y=a(x-h)+k;（3）交点式：与x轴交点为求解析式的设法已知三个点的坐标，则设为一般形式yax2bxc；已知顶点坐标(h，k)，则设为顶点式ya(xh)2k；已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1，0)和(x2，0)，则设为交点式ya(xx1)(xx2)，结果要化成一般式或顶点式 第二篇 空间与图形一、角（10=60/,1/=60/)角平分线的性质：角平分线平分角；角平分线上的点到角两边的距离相等。
16、角平分线的判定：定义；角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。二、相交线与平行线1.余角、补角、对顶角（相交）的性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等； 对顶角相等。 2.垂直(1)垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；（2）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，线段垂直平分线的判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上； 3.平行两条平行线间的距离处处相等两个三角形面积相等如：正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的
17、边长为4，则DEK的面积为 连结DB、GE、FK，它们是一组平行线. SDEK=SGED+ SGEK= SGEB+ SGEF=16（1）平行线的性质 ：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补（2）平行线的判定： 同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；（3）平行的性质：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。网格线中处理平行、垂直、旋转关系，注意旋转方向逆时针顺时针，旋转综合题可以考虑辅助圆，网格线中处理三角形，SSS勾股定理常用三、三角形1.三角形的有关性质：三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第
18、三边；三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于；三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半；2.全等三角形（1）定义：两个能够重合的三角形是全等三角形。（2）性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。（3）三角形全等的条件：边角边（SAS）；角边角（ASA）；角角边（AAS）；边边边（SSS）；斜边、直角边（HL）3.等腰三角形(1)等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边
19、上的高互相重合（三线合一）(2)等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；4.直角三角形（1）直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互为余角；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半；（2）直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形；如果三角形的三边长a、b 、c有下面关系，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。 三角形的周长和面积：常见辅助线：角平分线到角两边的距离、倍长中线，中位线（取一边中点）三线合一，直角三角形斜边中线（分得两个等腰三角形），构造全等，
20、做平行线等等四.多边形（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于 （n3，n是正整数）；（2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360（3）多边形的对角线：各顶点等分圆周正n 边 形 各边相等，各角相等，且每个内角度，中心角外角度（圆内接正多边形的有关公式）七、尺规作图（基本作图、利用基本图形作三角形和圆）作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角；作已知角的平分线；作线段的垂直平分线；八、(1)平行投影：太阳光线可以看成是平行光线，像这样的光线形成的投影称为平行投影(2)中心投影：光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线形成的投影称为中心投影第三篇 图形与变换一.图形的轴对称的性质
21、轴对称的基本性质：(1)成轴对称的两图形全等;(2)对称点所连的线段被对称轴垂直平分；二.图形的平移图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离。抓住一个点（顶点）或左加右减上加下减，如：y=-2x2+4x-4向左平移2个单位再向下平移1个单位y=-2（x+2）2+4（x+2）-4-1进一步化简得y=-2x2+4x-4化为顶点式y= -2（x-1）2-2得顶点（1，-2）向左平移2个单位再向下平移1个单位得（-1，-3）有y= -2（x+1）2-3三.图形的旋转1.图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心连线所成的角相等；旋转前后的两个图形全等. 图形旋
22、转可能与圆有关，等边三角形正方形常常旋转思想全等证明2.中心对称图形: 在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。线段 射线 直线 角 平行线 等腰三角形 等边三角形 平行四边形 矩形菱形 正方形 等腰梯形 圆中，轴对称图形有；中心对称图形有 (注意正n边形的对称性)五四边形1平行四边形（1）平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分（2）平行四边形的判定：两组对边分
23、别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形相对的顶点的坐标之和相等；已知三个点求第四个点，若顺序给定一解，若顺序未给定三解；已知一边（线段）求点，分两种情况讨论：边和对角线2.矩形(1)矩形的性质：（除具有平行四边形所有性质外）矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；(2)矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.3.菱形(1)菱形的性质：（除具有平行四边形所有性质外）菱形的四边相等；菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平
24、分一组对角；(2)菱形的判定：四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形4.正方形(1)正方形的性质：正方形的四边相等；正方形的四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；(2)正方形的判定：有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形。有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形5.等腰梯形(1)等腰梯形的性质:等腰梯形同一底边上的两个底角相等等腰梯形的两条对角线相等。0 E点有两个以DC为直径的圆与AB相交=0 E点一个以DC为直径的圆与AB相切0 E点没有以DC为直径的圆与AB相
25、离a(2)等腰梯形的判定：同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；两条腰相等的梯形是等腰梯形。= S正方形=a2=b是对角线长等腰直角三角形k型相似ADEBEC得y2-8y+2x=0=64-8x对角线垂直的四边形面积等于对角线乘积一半.梯形常见辅助线梯形中的面积： ,； ；六、圆1.圆有关的概念: 圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合。定义用来判断几点共圆，也可画出辅助圆解决问题。（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧等弧是完全重合的弧，包括弧
26、长和弧度（所对圆心角度数）,只能在同圆或等圆中。（4）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径2.圆的有关的性质：（1）圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等；（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数；（4）圆心角与圆周角的关系: 同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半（5）圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来，90的圆周角所对的弦是直径；（6）切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的
27、切线；圆心到直线的距离等于半径；直线与圆只有唯一的公共点。方法：(无切点)作垂直，证半径;(有切点)连半径，证垂直。（7）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；（8）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点与圆心的连线平分两切线的夹角；圆中常作的辅助线：已知切线，常过切点作半径；已知直径，常作直径所对的圆周角；求解有关弦的问题，作弦心距，借助垂径定理和勾股定理解决；弧的中点常和圆心连结。圆中常作的解题思路：利用垂径定理勾股定理、相似三角形，同弧所对的圆周角相等，以及圆周角与圆心角之间的关系若题目中只配有一幅图，有时不代表就只有一解。要注意题目中的条件：比如动点，直线等
28、等字眼。油的截面问题是有图一解，无图两解；3三角形的内心和外心(1)确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆(2) 1、 外心：三边中垂线的交点 2、 性质(1)OA=OB=OC.（2）外心不一定在三角形的内部 3、 应用 BOC=2A(3) 1、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点 2、性质（1）到三边的距离相等；（2）IA、IB、IC分别平分BAC、ABC、ACB；（3）内心在三角形内部3、应用BIC=900+A(三角形内角和角平分线得)；SABC=CABC r内切任意多边形的内切圆的半径与面积和周长公式之间的关系：S=CR(4)直角三角形中 R外接=c r内切=(a+b-c)(5
29、)等边三角形中边长为a R外接=a，r内切=a, h=a, s=4.点与圆的位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内，设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外dr点在圆上d=r点在圆内dr5直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交dr，直线与圆相切d=r，直线与圆相离dr6.圆与圆的位置关系:设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则 两圆外离dR+r； 两圆外切d=Rr； 两圆相交RrdR+r（Rr） 两圆内切d=Rr（Rr） 两圆内含dRr（Rr）（R与r大小不定加绝对值）判断两圆位置关系：圆心距、两圆半径和、两圆半径差（绝对
30、值）直线与圆是相离、相切、相交，圆与圆相离包含外离和内含，相切包括内切和外切7.圆有关的计算:(1)(2)圆锥侧面展开图（扇形）1、h2+r2=l2 2、S 侧 =Rr 3、l即为R, 圆锥母线长展开图扇形半径（大半径），r底面圆小半径看清楚求的是扇形面积和弧长，面积是360作分母，弧长是180作分母； 概率与统计一统计1.总体与样本:所要考察对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体数目叫做样本容量。如：为了了解我校九年级900名学生期中考试情况，从中抽取了100名学生的数学成绩进行统计，其中总体为我校九年级900名学生期中考试情
31、况，样本为我校九年级100名学生期中考试的数学成绩，样本容量为1002.众数与中位数众数：在一组数据中,出现次数最多的数(有时不止一个),叫做这组数据的众数.中位数：将一组数据按大小顺序排列,把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.3.平均数（易受极端数值的影响）公式 n个数、, 的平均数为：； 如果在n个数中，出现次、出现次, 出现次，并且+=n，则，这时也叫加权平均数，其中，叫做权。公司工资情况，老总关心平均数，工会主席关心众数，我关心中位数。若一组数据的平均数为，方差为，标准差为;则，的平均数为，方差为,标准差为。4.极差、方差与标准差计算公式：(1)极差：极差=最
32、大值-最小值；(2)方差：=(3)标准差：=一组数据的方差越大,这组数据的波动就越大;一组数据的方差越小,这组数据的波动就越小,也就越稳定.二、概率1事件分为确定事件与不确定事件. 确定事件包括不可能事件概率为0、必然事件概率为1;不确定事件即为随机事件A,0P(A)12.概率一般包括两种，一种是可放回的概率，另一种是不可放回的概率，3.概率P=;可以用概率估计物体的个数m=nP;常用列表、画树状图计算事件发生的概率大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值。4频数：落在各个小组内的数据的个数，频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率（所有频率的和为1）注：求方差、概率、频率不要求近似计算时，应用准确值填入。
