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1、第1课时7.2离散型随机变量及其分布列（-）教学内容随机变量的概念、离散型随机变量的分布列、两点分布（二）教学目标1 .通过实例能理解随机变量和离散型随机变量的概念，能够运用随机变量表示随机事件，发展数学抽象素养.2 .通过实例能学会恰当的定义随机变量理解离散型随变量分布列的概念，会求离散型随变量分布列，发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力.（三）教学重点和难点重点：会求离散型随变量分布列、运用分布列的性质解决问题.难点：对随机变量和离散型随机变量分布列含义的理解（四）教学过程设计一、情景引入引言：求随机事件的概率时,我们往往需要为随机试验建立样本空间，并会涉及样本点和样本空间
2、的表示问题，下面我们看一组随机试验，并为其建立样本空间.探究：请为以下随机试验建立样本空间：（1）掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数.样本空间可以由1,2,3,6表示.（2）某人射击一次,观察命中的环数.样本空间可以由1,2,3,10表示.（3）掷一枚质地均匀的硬币，观察出现正、反面的情况.X=O,表示正面向上；X=I,表示反面向上.（4）一批产品共20件，其中18件正品，2件次品，随机抽取一件观察是正品或次品.X=O,表示抽到正品；X=I,表示抽到次品.师生活动：让学生独立完成以上随机试验的样本空间的建立，学生建立的样本空间会有多种表现形式.教设计图：引例（1）（2）学生一般会根据生活经验
3、建立数集表示的样本空间，而（3）（4）学生一般会根据具体问题用文字符号表示样本空间.提出问题：案例（3）（4）中随机试验的样本点与数值没有关系，我们如何将这个试验的样本空点与实数建立联系？教设计图：根据研究需要，给每一个随机试验的结果指定一个数值.引入课题.引导语：从四个案例中可以知道，在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应，不仅可以为一些随机事件的表示带来方便，还可以更好地利用数学工具研究随机试验.思考：1、对于上述试验，可以定义不同的随机变量来表示这个试验结果吗？2、任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？师生总结：在上面例子中，随机试验有下列特点：试验的所有可能结果可以用一个数来
4、表示；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.设计意图：通过循序渐进式提问，引发学生思考积极参与互动，帮助学生建立了一个从试验结果到实数的对应关系说出自己见解.从而建立离散型随机变量的概念，发展学生逻辑推理和数学抽象的核心素养.引导语：通过具体实例，我们知道一个随机现象可以通过一个变量来刻画，随机试验结果不论是否与数量直接有关，都可以数量化.二、概念生成问题1:下列随机试验的样本空间是什么？样本点与变量的值是如何对应的？试验1：从IOO个电子元件（至少含3个以上次品）中随机抽取三个进行试验,变量X表示三个元件中次品数解析：用0表示“元件为合格品
5、”1表示“元件为次品”用0和1构成的字符串表示样本点，则：样本空间出OOO001010100Oll101110Ill变量X01112223试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量丫表示需要的抛掷次数.解析：用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则：样本空间。2=h,th,tth,ttth,.）f外包含无穷多个样本点.各样本点与变量Y的值的对应关系如下表所示：样本空间。2hthtthttth变量丫1234追问1：观察两个随机试验，请你归纳试验1和试验2的样本空间中样本点与对应变量有什么共同点？解析：在上述两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应.变量X、Y有如下共同点：（1）取
6、值依赖于样本点；（2）所有可能取值是明确的.追问2:你能类比函数的对应关系,将样本空间中的样本点与实数的对应关系用一般化的数学语言表达吗？师生活动：类比函数的定义，由学生归纳、抽象、表达.然后教师给出随机变量的概念：随机试验样本空间中的每个样本点都有唯一的实数X（时与之对应，称X为随机变量.教师总结：给出随机变量的概念后，教师给出概念的一般化解释，帮助学生理解，并引导学生总结出随机变量的三个特点：可以用数字表示；试验之前可以判断其可能出现的所有值；在试验之前不能确定取何值.引导语：随机变量的定义与函数的定义类似，下面思考：追问3：随机变量与函数有什么异同点？（1）相同点：样本点G相当于函数定义
7、中的自变量,而样本空间相当于函数的定义域.（2）不同点：样本空间。不一定是数集.教师总结：所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的.这与函数概念的本质是一样的，只是在函数概念中，函数f()的自变量X是实数，而在随机变量的概念中，随机变量X的自变量是试验结果，不一定是实数.随机变量的取值x(o)随着试验结果外的变化而变化，使我们可以利用数学工具研究随机事件.设计意图：通过从特殊到一般地归纳形成随机变量和离散型随机变量的概念,用类比函数定义的方法给出随机变量的定义，指出二者的不同，便于学生辨析.例1判断下列各个量，哪些是随机变量，
8、哪些不是随机变量.(1)从学校回家要经过3个红绿灯口，可能遇到的红灯次数X；(2)抛掷一枚骰子观察其朝上的点数，直到朝上点数为偶数停止试验，记录试验的次数匕(3)标准大气压下，水沸腾的温度；(4)电灯泡的使用寿命X；(5)某林场树木高度最高达30根，那么这个林场树木高度丫有哪些；教师总结：在师生互动交流，给出例题的解释后，教师进一步指出：像(1)(2)中的这样，可能取值为有限个或可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.通常用通常用大写英文字母表示随机变量，如：X,Y,Z等；用小写英文字母表示随机变量的取值，如：y,z等.如：某射击运动员射击一次可能命中的环数X;某网页在24人内被浏览的次数
9、Y.像(4)(5)中的这样，可能取值充满某个区间、不能一一列举的随机变量，称为连续型随机变量.如：种子含水量的测量误差X；某品牌电视机的使用寿命Y.例2写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个球,其中所含白球的个数X.(2)袋中装有5个同样大小的球,编号1,2,3,4,5.现从中随机取出3个球，被取出的球的最大号码数K师生活动：先由学生发言，教师进行补充点评.如果学生因为学习经验不足，无法举出具体例子，教师可以直接举例.最后给出离散型和连续型随机变量的概念.设计意图：通过举例和例题练习的方式，加深学生对随机变量概念的
10、内涵和外延的认识，这是数学概念学习的重要方法，通过上述过程中提升学生的数学抽象素养.三、概念深化问题2：抛掷一枚骰子,所得的点数X有哪些值？解析：X可能的取值有1,2,3,4,5,6.追问1：如何表示掷出的点数不大于2?掷出偶数点呢？解析：X2XN二X=2UX=4UX=6教师总结：引入合适的随机变量,有利于我们简洁地表示所关心的随机事件,并利用数学工具研究随机试验中的概率问题.追问2：抛掷一枚质地均匀的骰子，所得的点数X取每个值的概率是多少？解析：每个取值的概率：P(X=w)=-,rn=it2,3,4,5,6.6追问3：如何用表格形式表示？X123456111111P.666666师生活动：以
11、问题举例，师生共同列出随机变量X的每一个取值及其概率，并用表格的形式列举出来.引导语：我们发现，用表格的形式不仅可以列出随机变量X的所有取值，还列出了X的每一个取值的概率.类似这样的表格形式表示随机变量的概率分布,我们称之为概率的分布列，下面给出具体定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为与，Xn，我们称X取每一个值项的概率.P(X=再)=p,i=l,2,3,为X的概率分布列，简称分布列.离散型随机变量的分布列可以用表格表示：X*X2XkPPlPiPkPK追问4：你能根据概率的性质，研究离散型随机变量分布列的性质吗？解析：(1) p,0,/=1,2,3,，n.(2) pl+p2+pn=1.
12、追问5：你能根据所学知识，总结出概率分布列的几种表示方法吗？解析：解析式法:HX=)=Lm=l,2,3,4,5,6.表格法:图形法：IllO1 2345 6 x师生活动：通过概率的学习，学生已具有探究离散型随机变量分布列的性质和能力.在学生充分交流过后，教师带领学生总结出离散型随机变量分布列的性质和分布列的三种表示方法.设计意图：以问题的形式，通过特殊到一般地概括出离散型随机变量分布列的概念，强化对概率分布列的理解，体会这样表示的意义所在.四、例题精讲例3(1)下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是(D)(2)设离散型随机变量E的概率分布列为则下列各式中成立的是(B)O) = 0.7A,P(
13、X-1)B.P(XC.P(X 3)1,抽到次品,0,抽到正品,D.P(XO)=O（3）一批产品中次品率为5队随机抽取1件，定义定义X=,求X的分布列.师生活动：先由学生自主完成本例题的解答，随后教师板书解答过程：根据X的定义，X=1=抽到次品，X=O=抽到正品”，X的分布列为X01P0.950.05追问：本题中离散型随机变量的分布列有什么特殊性?师生活动：学生归纳其分布列的特征，教师总结.教师总结：对于只有两个可能结果的随机试验,用4表示“成功”，表示“失败，定义X=聚如果P（A）=,则3）=1-八那么X的分布列如下表所示:X01PI-PP对于只有两个可能结果的随机试验，用表示A“成功”，,表
14、示“失败，定义X=我们称X服从两点分布或01分布.引导语：实际上，X为一次试验中成功（事件A）发生次数（0或1）.像购买的彩券是否中奖，新生儿的性别，投篮是否命中等，都可以用两点分布来描述.设计意图：通过具体实例，学习两点分布.两点分布的概念由教师在例题评讲时直接引入，便于学生理解.例4一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，8品牌7台.如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中4品牌台数的分布列.师生活动：由于有解决例1、例2的经验，学生具备了自主解决本例题的能力，可能存在的问题是概率的计算.本例题宜采用学生自主完成，学生互评、教师点评的方式完成.师生共同给出具有一般性的解题步骤：(1)确定离散
15、型随机变量的取值集合：设挑选的2台电脑中4品牌的台数为X,则X的可能取值为0,1,2.P(X=O)=(2)根据古典概型的知识，求随机变量取每个值时的概率，即X的分布列，P(X=I)=等=卷Mx=2)=誉Wc0cIO用表格的形式表示X的分布列，如表所示X012P715715115设计意图：通过具体实例，归纳出求离散型随机变量分布列的一般步骤.师生活动：学生自主完成，教师点评，并给出一般性的解题步骤.教师点评：求离散型随机变量分布列时应注意的问题：(1)确定离散型随机变量X的分布列的关键是要清楚X取每一个值对应的随机事件,进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率.(2)在求离散型随机变量X的
16、分布列时,要充分利用分布列的性质,这样不但可以减少运算量,还可以验证分布列是否正确.师生总结：求随机变量X的分布列的步骤如下：(1)根据问题设立一个随机变量X,并写出随机变量X的所有可能取值；(2)利用古典概型，求随机变量X的每一个可能取值所对应的概率；(3)用解析式或表格表示X的分布列；设计意图：通过具体实例，归纳出离散型随机变量分布列的一般步骤.五、总结提升1 .随机变量的概念：随机试验样本空间。中的每个样本点3,都有唯一的实数X(3)与之对应.2 .离散型随机变量的分布列的性质：P(X=X)=p”Z=I,2,3,np1+ p2+ - - + /? =1.(1)p,0,/=I,2,3,，n
17、；3 .两点分布：只有两个可能结果的随机试验4 .求解离散型随机变量分布列的一般步骤六、布置作业1 .课本第60页练习第2,3,4题；2 .课本第90页习题第1,2,3,4,5,6题.(五)目标检测设计某种资格证考试,每位考生一年内最多有3次考试机会,一旦某次考试通过,便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,且每次考试是否通过相互独立，试求：3 1)李明在一年内参加考试次数X的分布列；4 2)李明在一年内领到资格证书的概率.设计意图：考查学生对随机变量分布列的理解，求随机变量分布列基本步骤的掌握，以及利用分布列求随机事件概率基本方法的掌握.
