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1、1,3.1几何向量及线性运算,3.1.1几何向量的概念描述速度、加速度、力等既有方向又有大小的量,称为向量或矢量.向量有两个特征-大小和方向,几何中的有向线段恰好具有这个特征.抛去一般向量的具体意义,我们用几何空间中有向线段表示向量,并称这样的向量为几何向量(有时简称向量).有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.以A为起点,B为终点的有向线段表示的向量记为AB 如下图所示(图3.1),2,有时也用一个黑体字母表示向量,如a,b,n等.向量的大小叫向量的长度(也叫向量的模).向量AB,a的长度依次记为|AB|和|a|.长度为1的向量称为单位向量.起点和终点重合的向量称为

2、零向量,记作0.零向量的长度等于0,零向量的方向可以看作是任意的.,3,在实际问题中,有些向量与其起点有关,有些向量与其起点无关.本书只研究与起点无关的向量,并称这种向量为自由向量.这样的向量可以平行移动,所以如果两个向量a和b的长度相等,又互相平行(即在同一条直线上,或在平行直线上),且指向相同,则说a与b相等,记为a=b,也就是说,平行移动后能完全重合的向量是相等的.因为本书讨论的是自由向量,故可以说任两向量共面.,4,3.1.2几何向量的线性运算向量的线性运算是指向量的加法和数与向量相乘.设a=OA,b=OB,规定a与b的和a+b是一个向量,它是以OA,OB为邻边作平行四边形OACB后

3、,再由点O与其相对的顶点C连成的向量,即a+b=OC(图3.2).这种方法叫平形四边形法.如果两向量a=OA与b=OB在同一直线上,那么规定它们的和是这样一个向量:当OA与OB的指向相同时,和向量的方向与原来两向量的方向相同,其长度等于两向量长度的和;当OA与OB的指向相反时,和向量的方向与较长的向量的方向相同,而长度等于两向量长度的差.,5,如图3.2,ACOBb,所以,让a的的终点与b的起点重合,则由a 的起点到O到b的终点C的向量OC为a,b的和向量即OC=a+b,这种方法叫方法叫求向量a与b和的三角形法.按定义,容易证明向量加法满足:(1)a+b=b+a(交换律)(2)(a+b)+c=

4、a+(b+a)(结合律)(3)a+0=a(4)a+(-a)=0,6,由于向量加法满足结合律,多个向量相加,不必加括弧指明相加的次序.求多个向量a1,a2,.an之和时,只要让前一向量的终点作为次一向量的起点,则a1的起点与an的终点相连并指向后者的向量等于a1+a2+.+an n=3的例子如图3.3所示.与向量b的长度相等而方向与b的方向相反的向量称为b的负向量,记为-b.向量a与-b的和向量记为a-b=a+(-b),称为a与b的差.(见图3.4),7,为了表示几何向量的“伸缩”,我们定义实数与向量的乘法(简称数乘运算).实数k与非零向量a的乘积是一个,记为ka.它的长度|ka|=|k|a|.

5、它的方向:当k0时,与a同向;当k0时,与a反向如图3.5,当k=0时,方向不定(此时ka是零向量).若a=0,对任意实数k,规定ka=0.实数与向量的数乘满足:(1)1a=a,(-1)a=-a;(2)k(la)=(kl)a;(3)k(a+b)=ka+kb;(4)(k+l)a=ka+la;显然,只要a不是零向量,a/|a|就是与a同方向的单位向量记作a,于是a=|a|a.,a,8,例1 在平行四边形ABCD,设AB=a,ADb.试用a和b表示MA,MB,MC和MD,这里M是平行四边形对角线的交点(图3.6)解:由a+b=2AM MA=-(a+b)MC=-MA=(a+b)由-a+b=2MD,得

6、MD=(b-a),MB=-MD=(a-b),图3.6,D,C,B,A,M,b,a,9,3.2几何向量的数量积向量积和混合积,3.2.1向量在轴上的投影设有两个非零向量a,b任取空间一点O,作OA=a,OB=b,称不超过的AOB(设)为向量a与b的夹角(图3.7),记作,零向量与另一向量的夹角可以在0到间任意取值.可以类似地定义向量与一轴的夹角及两轴的夹角.设有空间一点A及一轴u,通过点A作轴u的垂直平面,那么称平面与轴u的交点A为点A在轴u上的投影(图3.8),10,11,定义3.1 设向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为A和B(书P62 图3.9),那么轴u上的向线段A B的值A

7、B其绝对值等于|A B|,其符号由A B的方向决定,当A B与u轴同向时取正号;反过来与u轴反向时取负号)叫做向量AB在轴u上的投影,记作Prju AB,轴u叫投影轴.定理3.1 向量AB在轴u上的投影等于向量的长度乘以轴与向量的夹角的余弦:PrjuAB=|AB|cos.如图3.10(书P62 图3.10),通过向量AB的起点A引轴u,使u与轴u平行且具有相同的正方向,于是轴u与AB的夹角等于轴u与AB的夹角,而且有Prju AB=PrjuAB.,12,但 PrjuAB=AB=|AB|cos,所以 Prju AB=|AB|cos.由些可知:相等向量在同一轴上的投影相等.当一非零向量与其投影轴成

8、锐角时,其投影为正;成钝角时,其投影为负;成直角时投影为零.定理3.2 两个向量的和在某轴上的投影等于这两向量在该轴上的投影的和,即Prju(a1+a2)=Prju a1+Prju a2.证设u为投影轴,作折线ABC,使AB=a1,BC=a2,由向量加法有三角形法则可知,向量AC就是它们的和(书P62,图3.11),13,即 AC=AB+BC=a1+a2.设A,B,C在轴u上的投影分别为A,B,C,那么 Prju AB=AB,Prju BC=BC,Prju AC=AC.由于不论A,B,C在轴上的位置如何,总有 AB+BC=AC,所以Prju AB+Prju BC=Prju AC.即Prjua

9、1+Prjua2=Prju(a1+a2),14,3.2.2几何向量的数量积先看一个例子.设常力F作用在质点m上,使点m产生位移S,那么力F使质点m产生位移S所做的功为W=|F|S|cos.其中为F与S的夹角.还有许多问题,都要对两个向量a,b类似的运算.定义3.2 设a,b是两个几何向量,称|a|b|cos(=)为a与b的数量积或内积,记作ab=(a,b),即ab=(a,b)=|a|b|cos.,15,根据数量积的定义,两个几何向量的数量积等于零的充要条件是a=0,或b=0或=/2.我们规定零向量垂直于任何向量.这样,两个几何向量互相垂直的充要条件是它们的数量积等于零.由于|b|cos是向量

10、b在向量a方向上的投影,所以当a0时,ab就是a的长度|a|与b在a的方向上的投影Prjab之积 ab=|a|Prjab,ab=|b|Prjba同样向量的数量积具有下列性质:(1)ab=ba(交换律);(2)(ka)b=k(ab);(3)(a+b)c=ac+bc(分配律);(4)aa0.此外,aa=0的充要条件是a=0.,16,把(3)推广,可得(a1+a2+am)(b1+b2+bn)=ambn由数量积的定义,可得几何向量长度|a|和夹角的公式注意:向量的数量积不满足消去律,即在一般情况,ab=ac,a0不能推出b=c.事实上,ab=ac是说a(b-c)=0,即a与b-c垂直.同样ab=cb

11、,b0不能推出a=c.,m,n,i=1,j=1,17,3.2.3几何向量的向量积定义3.2 设a,b是两个向量,若向量c满足:(1).|c|=|a|b|sin,=.(2).ca,cb(3).向量a,b,c组成右手系,则称向量c为向量a,b的向量积,记为ab.若a,b中有一个是零向量,规定ab=0.由向量积定义可知:ab=0可以互相推出a与b平行.,18,几何向量的向量具有下列性质:(1).ab=-ba;(2).(ka)b=k(ab)=a(kb);(3).(a+b)c=(ac)+(bc);a(b+c)=(ab)+(ac);注意:向量的向量积不满足交换律.向量的向量积不满足消去律,即在一般情况下

12、 ab=ac,a0不可推出b=c.同样在一般情况下 ab=cb,b0不可推出a=c.,19,3.2.4几何向量的混合积定义3.4 已知三个向量a,b和c.先作a和b的向量积ab,把所得的向量与c再作数量积(ab)c这样得到的数量叫做三向量a,b,c的混合积,记作abc.向量的混合积有如下几何意义:abc=(ab)c的绝对值表示以向量a,b,c为棱的平行六面体.如果向量a,b,c组成右手系,那么混合积的符号是正的;如果a,b,c组成左手系,那么混合积的符号是负的.向量的混合积满足:(ab)c=(bc)a=(ca)b=-(ba)c=-(cb)a=-(ac)b,即abc=bca=cab=-bac=

13、-cba=-acb.,20,3.2.5几何向量的坐标为了将几何向量的加法、数乘、数量积、向量积及混合积的计算转化为数的代数运算,我们先引入空间直角坐标系的概念,并给出几何向量的坐标表示式(代数表示式).过空间一个定点o,作三角相互垂直的数轴,它们都以o为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z(竖轴);统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线;它们的正方向通常构成”右手规则”.这样的三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系,记作Oxyz.点O叫做坐标原点(或原点).,21,三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面.这样定出的三个平面统称为坐标面

14、.x轴及y轴所确定的坐标面叫xOy面.同样,另两个的坐标面分别叫做yOz面及zOx面.三个坐标面把空间分成八个部份,每一部分叫做一个卦限.含有x轴、y轴及z轴的正半轴的那个卦限叫做第一卦限,其它为第二、第三、第四卦限,在xOy轴的上方,按逆时针方向确定.第五卦限在第一卦限的下方,其它第六、七、八卦限在xOy面的下方,按逆时针方向确定.(书P65 图3.17),22,设M是空间中任一点,P,Q,R分别是点M在x,y,z轴上的投影.记P,Q,R在x,y,z轴上的坐标依次为x,y,z,则点M唯一地确定了一个三元有序实数组(x,y,z).反之,任给一三元有序数组(x,y,z),按同样的含义,也唯一地确

15、定了Oxyz坐标系中一个点.称这组数x,y,z为点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).在空间直角坐标系Oxyz的三条轴Ox,Oy,Oz的正方向依次取三个单位向量i,j,k,称其为基本单位向量.由基本单位向量的定义可知:ii=jj=kk=1,ij=ik=jk=0,ij=k,jk=I,ki=j,ji=-k,kj=-I,ik=-j,ii=jj=kk=0。,23,下面指出,空间中任一向量a都可以唯一地表示成axi+ayj+azk的形式,其中ax,ay,azR.定义3.5 设a是一个几何向量,若a=axi+ayj+azk.则称(ax

16、,ay,az)为向量a关于基本单位向量 i,j,k的坐标,简称坐标(为了区分点的坐标与向量的坐标,有时将向量坐标记为ax,ay,az).由向量坐标的定义可知,ax=Prjxa,ay=Prjya,az=Prjya.,24,3.3空间中的平面与直线,取定三维几何空间中的一个坐标系(一般取直角坐标系),任给一个平面(直线L)的方程,就是平面(直线L)上任意点M(x,y,z)的坐标(x,y,z)所满足的一个方程F(x,y,z)=0,并且满足这个方程F(x,y,z)=0的点M(x,y,z)一定在平面(直线L)上.本节在空间直角坐标系中建立平面与直线的方程,讨论空间中点、直线、平面之间的一些关系.,25,

17、3.3.1空间中平面的方程设平面通过点M0(x0,y0,z0)并且垂直于非零向量n=(A,B,C),如图(书P69 图3.20).下面建立平面的方程.称垂直于平面的非零向量n=(A,B,C)为平面的法向量.设M(x,y,z)是平面上的任意一点,则M0M与n垂直,从而nM0M=0,由M0MOMOM0=(x-x0,y-y0,z-z0),n=(A,B,C)知A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0(1)即平面上任一点M(x,y,z)的坐标满足式(1).反之,若点(x,y,z)的坐标满足式(1),则M0M与n垂直,故点M必在平面上.从而式(1)就是平面的方程,称其为平面的点法式方程.,26

18、,将式(1)整理得 Ax+By+Cz+D=0.(2)其中D=-(Ax0+By0+Cz0+D),称方程(2)为平面的一般方程.由于任一平面都可用它上面的一点及它的法向量来确定,所以由上面的讨论可知,任一平面的方程都可以写形如式(2)的三元一次方程的形式.反过来,当A,B,C中至少有一个不为零时,形如式(2)的每一个三元一次方程都确定一个法向量为n=(A,B,C)的平面.事实上,任取满足式(2)的一组数x0,y0,z0,刚 Ax0+By0+Cz0+D=0.(3)由式(2)及式(3)得A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.(4)这是通过点M0(x0,y0,z0),垂直于n=(A,B,

19、C)的平面方程.又式(2)与式(4)同解,故当A,B,C不全为零时,任意一个形如式(2)的三员一次方程都是平面方程.,27,(6)称这样的方程为平面的截距式方程,x-x0 y-y0 z-z0 x2-x1 y2-y1 z2-z1=0(5)称这样的方程为平面的三点式方程x3-x2 y3-y2 z3-z2,28,3.3.2空间中直线方程如果非零向量s平行于一条已知直线L,则称s直线L的方向向量.我们来建立过已知点M0(x0,y0,z0),并且平行于已知非零向量S=(m,n,p)的直线L的方程.设点M(x,y,z)是直线上的任意一点.那么,向量M0M=(x0-x0,y0-y0,z0-z0)与向量S平

20、行(书P72 图3.22).于是存在数t使M0M=ts于是,x=x0+mty=y0+nt(t为参数方程)(7)z=z0+pt,29,消去t得(8)易证,点M(x,y,z)在直线L上的充要条件是其坐标x,y,z满足方程(8),故方程(8)是直线L的方程.称方程(8)为直线L的标准方程,称方程(7)为直线L的参数方程.当方程(8)中m,n,p中有一个为零,例如m=0而n,p0时方程应理解为=当m,n,p有两个为零时,m=n=0,而p0方程(8)理解为,x-x0=0y-y0=0,x-x0=0,y-y0 z-z0 n p,30,设平面为1,2为1:A1x+B1y+C1z+D1=01:A2x+B2y+C

21、2z+D2=0相交于一条直线L(书P72 图3.23),则直线方程为:A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0(9)事实上,L上任一点M(x,y,z)既在1上又在2上,故M(x,y,z)的坐标满足方程(9).反之,若M(x,y,z)的坐标满足方程(9),是M(x,y,z)既在1上又在2上,从而必须在直线L上.称方程(9)为直线L的一般方程.,31,给定一条直线L,通过直线L的平面有无限多个,在这无限多个平面中任选两个(不重合)平面,把它们的方程联立起来,所得的方程就是L的一般方程.(10)称方程(10)为直线L的二点式方程.,32,3.3.3距离先来考查点到平面的距

22、离.设M0(x0,y0,z0)是平面:Ax+By+Cz+D=0外一点.在平面上任取一点M0(x1,y1,z1),作平面的法向量n=(A,B,C),则点M0到平面的距离d(书P73 图3.24)为 d=|Prjn M1M0|.设n是与n方向一致的单位向量,则 Prjn M1M0=n M1M0,33,但M1M0=(x0-x1,y0-y1,z0-z1)于是由M1(x1,y1,z1)在平面上,Ax1+By1+Cz1+D=0得 d=|PrjnM1M0|=|nM1M0|,34,再来看点到直线的距离.设直线L的标准方程为即L过点M(x0,y0,z0),并且方向向量为S=(m,n,p),再设M1(x1,y1,

24、面与平面间的位置关系.设有两个平面 1:A1x+B1y+C1z+D1=0,2:A2x+B2y+C2z+D2=0,称1,2的法向量的夹角为这两个平面的夹角,通常规定0,平面1与2的夹角可由公式来确定(书P76 图3.27).,37,1与2垂直的充要条件是其法向量n1,n2互相垂直,即A1A2+B1B2+C1C2=0.1与2平行的充要条件是其法向量n1,n2互相平行,即1与2重合的充要条件是,38,下面讨论两条直线间的位置关系设有两条直线称L1,L2的方向向量S1=(m1,n1,p1),S2=(m2,n2,p2)的夹角为两直线L1与L2的夹角,通常规定:0L1L2的夹角公式,39,最后讨论直线和

25、平面间的位置关系.设有一条直线及一个平面:Ax+By+Cz+D=0直线L与其在平面上的投影直线L1的夹角称为直线L平面的夹角(书P77 图3.28),通常规定:0 所以可由公式,40,3.3.5平面束称通过给定直线L的所有平面的全体为平面束.设L的一般方程为:A1x+B1y+C1z+D1=0(15)A2x+B2y+C2z+D2=0(16)其中系数A1,B1,C1,与A2,B2,C2,不成比例.对两个不同时为0的参数1,2因A1,B1,C1,与A2,B2,C2,不成比例,所以三元一次方程 1(A1x+B1y+C1z+D1)+2(A2x+B2y+C2z+D2)=0(17)的系数1A1+2A2,1B1+2B2,1C1+2C2不全为零,从而(17)是平面方程.,41,对直线L上任一点M(x,y,z),由于x,y,z满足式(15)和式(16),故也满足式(17),从而点M(x,y,z)在式(17)所确定的平面上.因此,式(17)表示的平面通过直线L.反之,通过直线L的任何一个平面都可以写成式(17)的形式.称方程(17)为通过直线L的平面束方程.除平面束(17)中平面 A2x+B2y+C2z+D2=0外,平面束(17)中任一平面的方程都可以写成 A1x+B1y+C1z+D1+2(A2x+B2y+C2z+D2)=0(18)的形式,应用中常常将通过给定直线L的平面束方程写成(18)的形式.,

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