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1、一、问题的提出,引言:我们知道，求非均匀平面薄片的质量、重心等问题是二维空间的问题，要用二元函数的积分（二重积分）去解决；类似的，求非均匀空间物体的质量、重心等问题是三维空间的问题，要用三元函数的积分（三重积分）去解决,【实例】,【解决方法】,（1）分割,近似视为均匀,（2）取近似,类似二重积分解决问题的思想,采用,“分割,取近似,求和,取极限”,（3）求和,（4）取极限,m精确值,二、三重积分的概念,【说明】,(1),（2）存在条件（充分性）,（3）三重积分有与二重积分相类似的性质（7条）,（4）三重积分的物理意义,（5）,三、三重积分的计算,1.利用直角坐标计算三重积分 将三重积分化为三次
2、积分,以下只限于叙述计算方法,1.直角坐标下2.柱面坐标下3.球面坐标下,方法1.投影法(“先一后二”),方法2.截面法(切片法)(“先二后一”),先假设连续函数,最后,推广到一般可积函数的积分计算.,方法1：投影法【“先一后二”】,如图,z轴,得,X型域,【注意】,此式称为先对z、次对y、最后对x的三次积分,得计算公式,（1）,（2）若交点多于两个，也可像处理二重积分那 样，将分割，化为部分区域上的三重积分 之 和.,（3）也可把投影到yoz面或zox面上，便可 把三重积分化为其它顺序的三次积分.,（要求平行于 x 轴或 y 轴且穿过闭区域内部的直线与的边界曲面S相交不多于两点）.,【例1】
3、,【解】,如图,X型域,作直线穿越内部,故,则,【方法】,截面法(切片法)【“先二后一”】,(?),Dz之面积,【解】,原式,(?),Dz之面积,2、利用柱面坐标计算三重积分,设空间一点M(x,y,z),点M在xoy面上的投影P 的极坐标为,则 称为点M 的柱面坐标.,变化范围,与直角坐标的关系,M(,z),z,P,x,y,z,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三组坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平 面,柱面坐标系中的体积元素为,此即柱面坐标系下的三重积分表达式,如图,六面体近似看作长方体,柱面坐标下的三重积分的计算,仍然化为三次积分来进行，积分限是根据,在积分域中的变化范围来确定的，,以下
4、举例说明,单积分,二重积分（极坐标系下计算）,【方法】,【适用范围】,1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;,2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.,1,Dxy,.,Dxy:,z=1,锥面化为:,=z,1,.,用柱面坐标,【例4】,.,.,【解】,4,Dxy,2,【例5】,利用柱面坐标计算三重积分,【解】,即,则,故,【思考】,本题是否可考虑用截面法来求解？,3、利用球面坐标计算三重积分,M(r,),r,P,y,x,z,球面坐标,球面坐标系中的体积元素为,如图，,此即球面坐标下三重积分表达式,六面体近似看作长方体,用三组坐标面将积分区域 分成许多小闭区域,【注】,(1),则,球面坐标下的三重积分的计算,【规定】,(3),(2),其中,【例6】,【解】,如图建立坐标系,则立体体积为,【补充：利用对称性化简三重积分计算】,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标面的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的,奇偶性,对称性简化运算,六、小结,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁,或,变量可分离.,围成;,【思考题】,三重积分的定义和计算,在直角坐标系下的体积元素,（计算时将三重积分化为三次积分）,四、小结,【思考题】,选择题:,
