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1、 2012年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试 高等数学 题号 一 二 三四 五总分分值 60 20 50 12 8 150 注意事项： 答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效. 一、选择题 （每小题2 分，共60 分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 1函数 的定义域是 （ ）A,+） B(,+) C, 0）(,+) D（, 0）(,+) 【答案】C. 【解析】 要求，即；要求.取二者之交集，
2、得 , 0）(,+) 应选C. 2下列函数为偶函数的是（ ）A B C D. 【答案】B. 【解析】 显然A，D中的函数都是非奇非偶，应被排除；至于C， 记 则 所以为奇函数，C也被排除.应选B. 3当时，下列无穷小量中与等价的是（ ） A B C D【答案】D. 【解析】因为，所以应选D.4设函数， 则是的（ ）A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D第二类间断点【答案】D 【解析】 因为在处无定义，且无左、右极限，故是的第二类间断点.选D5函数在处 A极限不存在 B间断 C连续但不可导 D连续且可导【答案】C. 【解析】因为是初等函数，且在处有定义，故在处连续；又，故在处不可导.综上，应选
3、 C. 6设函数 ，其中在处连续且的，则（ ） A不存在 B等于 C存在且等于0 D存在且等于【答案】A. 【解析】；因为，所以不存在，选A. 7若函数可导，则（ ） A B C D【答案】D B. 【解析】根据一阶微分形式的不变性知 ，故选B. 8过曲线有水平渐进线的充分条件是（ ） A BC D【答案】B. 【解析】根据水平渐进线的定义： 如果存在，则称为曲线的一条水平渐进线，易判断出应选B. 9设函数，则（ ） A B C D【答案】D. 【解析】因为，所以， ，选D. 10曲线在点处的切线斜率是（ ） A B C D【答案】B. 【解析】 因为； ，故存在.所以，曲线在点处的切线斜率是
4、，选B. 11 方程（其中为任意实数）在区间内实根最多有（ ）A个 B 个 C个 D个【答案】D 【解析】 令.则，因此曲线在内是上升的，它至多与轴有一个交点，即方程在区间内至多有一个实根.选D12若连续，则下列等式正确的是（ ）A BC D 【答案】A13如果的一个原函数为，则 在（ ）A BC D 【答案】C. 【解析】根据原函数及不定积分的定义，立知，选C. 14设，且，则（ ） A B C D 【答案】B. 【解析】因为，故 .又，故即 .所以，选B. 15 （ ）A B C D 【答案】B. 【解析】 ，选B. 16 （ ）A B C D【答案】C. 【解析】 （分部） .选 C.
5、17下列广义积分收敛的是（ ） A B. C D 【答案】D. 【解析】因为 ，所以，发散；因为 ，所以，发散；因为，所以，发散；收敛。综上分析，应选 D. 18微分方程是（ ）A 二阶非线性微分方程 B. 二阶线性微分方程 C一阶非线性微分方程 D一阶线性微分方程 【答案】A.19.微分方程的通解为（ ） A B. C D 【答案】B. 【解析】原方程可化为 两边积分得 即 化简得通解为 所以，选B. 20.在空间直角坐标系中，若向量与轴和轴正向的夹角分别为和，则与轴正向的夹角为（ ）A B. C D或【答案】D. 【解析】设与轴正向的夹角为，则由于 得 故 ，所以或，选D. 21.直线与平
6、面的位置关系是（ ）A直线在平面内 B平行C垂直 D相交但不垂直【答案】B. 【解析】直线的方向；平面的法向量.因为，所以直线与平面平行. 选B22下列方程在空间直角坐标系中表示的图形为旋转曲面的是（ ） A B C D【答案】C. 【解析】 由C：，得 ，所以选 C. 23（ ）A B. C D【答案】B. 【解析】 .选B . 24函数在点处可微是在该点处两个偏导数和存在的（ ） A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D既非充分又非必要条件【答案】A. 25已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】， 所以选C.26幂级数的和函数为（ ） A B C D【答案】B 【解
7、析】，所以选B. 27下列级数发散的是（ ）A B C D【答案】A. 【解析】因为，从而，因此发散，故选A. 28若级数在点处条件收敛，则在，中使该级数收敛的点有（ ）A个 B 个 C个 D个【答案】C 【解析】令，则原级数化为标准幂级数。因为原级数在点处条件收敛，故在处条件收敛。由Abel收敛定理，一方面，由于级数在处收敛，所以在的点处均绝对收敛，即当时，原级数绝对收敛，因此，是原级数的收敛点；另一方面，由于在处仅是条件收敛，因此，在的点处必定发散，否则在点处应该是绝对收敛的，即当或时，原级数发散，所以，是原级数的发散点.29.若是曲线上从点到点的一条连续曲线段，则曲线积分的值为（ ）A
8、B C D【答案】C 【解析】因为，所以积分与路径无关.故改沿连接两点的直线段积之.由格林公式得 （利用奇、偶性） 其中 （分部） 将代入得 .选C30.设，则交换积分次序后，可化为A B C D【答案】A 二、填空题 （每小题 2分，共 20分） 31已知 ，则_ 【答案】填.【解析】由，得 ，故. 所以.32设，则_【答案】填【解析】由，得，所以，.33如果函数在点处可导，且为的极大值，则_【答案】填【解析】这是极值的必要条件.34.曲线的拐点是_【答案】填【解析】，.令，解得因当时，而当时，故 的的拐点是35不定积分_ 【答案】填.【解析】 .36微分方程 满足的特解为_【答案】填.【解
9、析】为一阶线性非齐次微分方程，由公式其通解为 将代入式，可得 所以，特解为.37向量在上的投影为_ 【答案】填【解析】.38.设方程 所确定的隐函数是，则_ 【答案】填【解析】 当时，由式可求得 令，则.所以，39设积分区域为，则_ 【答案】填【解析】之面积= 40 若，则正项级数的敛、散性为_ 【答案】填发散.【解析】 由式得 故由比较判别法的极限形式知，与同敛、散，又已知调和级数是发散的，所以也发散.三. 计算题（每小题5分，共50分）41. 解： （等价替换） .42.已知参数方程（为参数），求.解：；，故；所以 . .43.求不定积分解：令，即，则（分部积分） .44.求解：（等价替换
10、） （洛必达法则）.45.求微分方程的通解.解：特征方程为 ，解之得特征根为 ，所以通解为 .46.求函数的极值.解：（一）解方程组 或 故函数有两个驻点：及（二），. （1）因为在点处，故为极大值.（2） 因为在点处，故为极小值.47.求过点且与直线平行的直线方程.解：直线的方向向量为，所以，所求直线的方程为 .48.求函数的全微分.解：. ； .所以 .49.计算，其中为圆环：.解：在极坐标下计算之.（分部积分）.50.求幂级数的收敛域.解：令.则原级数变为： 因为，所以，又当时，级数变为：，发散；而当时，级数变为：，收敛，因此，级数的收敛区间为即所以原级数的收敛区间为：四.应用题（每小题
11、6分，共12分）51.求函数在时的最大值，并从数列1，中选出最大的一项.解：.则.令，得唯一驻点.因为当时，从而在内单调增加；而当时，从而在内单调减少.又，所以，数列1，中最大的一项就是其第三项.52.求过点作曲线的切线，该切线与此曲线及轴围成一平面图形.试求平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.解：（一）设切点为，则切线斜率为 因此曲线在点处的切线方程为 将点的坐标代入式，得 解得 .因此切点.曲线在点处的切线方程为 化简得 （二） 绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积为.其中 ；（分部） .五、证明题（8分）53.证明不等式：，其中为正整数.证明：令，则.在上连续，在内可导.在上应用拉格朗日中
12、值定理知，存在，使得 即 因为，故 又注意到 所以 .我的大学爱情观目录：一、 大学概念二、 分析爱情健康观三、 爱情观要三思四、 大学需要对爱情要认识和理解五、 总结1、什么是大学爱情：大学是一个相对宽松，时间自由，自己支配的环境，也正因为这样，培植爱情之花最肥沃的土地。大学生恋爱一直是大学校园的热门话题，恋爱和学业也就自然成为了大学生在校期间面对的两个主要问题。恋爱关系处理得好、正确，健康，可以成为学习和事业的催化剂，使人学习努力、成绩上升；恋爱关系处理的不当，不健康，可能分散精力、浪费时间、情绪波动、成绩下降。因此，大学生的恋爱观必须树立在健康之上，并且树立正确的恋爱观是十分有必要的。因
13、此我从下面几方面谈谈自己的对大学爱情观。2、什么是健康的爱情：1) 尊重对方，不显示对爱情的占有欲，不把爱情放第一位，不痴情过分；2) 理解对方，互相关心，互相支持，互相鼓励，并以对方的幸福为自己的满足; 3) 是彼此独立的前提下结合；3、什么是不健康的爱情：1)盲目的约会，忽视了学业;2)过于痴情，一味地要求对方表露爱的情怀，这种爱情常有病态的夸张;3)缺乏体贴怜爱之心，只表现自己强烈的占有欲;4)偏重于外表的追求;4、大学生处理两人的在爱情观需要三思：1. 不影响学习：大学恋爱可以说是一种必要的经历，学习是大学的基本和主要任务，这两者之间有错综复杂的关系，有的学生因为爱情，过分的忽视了学习
14、，把感情放在第一位；学习的时候就认真的去学，不要去想爱情中的事，谈恋爱的时候用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。2. 有足够的精力：大学生活，说忙也会很忙，但说轻松也是相对会轻松的！大学生恋爱必须合理安排自身的精力，忙于学习的同时不能因为感情的事情分心，不能在学习期间，放弃学习而去谈感情，把握合理的精力，分配好学习和感情。3、 有合理的时间；大学时间可以分为学习和生活时间，合理把握好学习时间和生活时间的“度”很重要；学习的时候，不能分配学习时间去安排两人的在一起的事情，应该以学习为第一；生活时间，两人可以相互谈谈恋爱，用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。5、大学生对爱情
15、需要认识与理解，主要涉及到以下几个方面：（一） 明确学生的主要任务“放弃时间的人，时间也会放弃他。”大学时代是吸纳知识、增长才干的时期。作为当代大学生，要认识到现在的任务是学习学习做人、学习知识、学习为人民服务的本领。在校大学生要集中精力，投入到学习和社会实践中，而不是因把过多的精力、时间用于谈情说爱浪费宝贵的青春年华。因此，明确自己的目标，规划自己的学习道路，合理分配好学习和恋爱的地位。（二） 树林正确的恋爱观提倡志同道合、有默契、相互喜欢的爱情：在恋人的选择上最重要的条件应该是志同道合，思想品德、事业理想和生活情趣等大体一致。摆正爱情与学习、事业的关系：大学生应该把学习、事业放在首位，摆正
16、爱情与学习、事业的关系，不能把宝贵的大学时间，锻炼自身的时间都用于谈情说有爱而放松了学习。 相互理解、相互信任，是一份责任和奉献。爱情是奉献而不时索取，是拥有而不是占有。身边的人与事时刻为我们敲响警钟，不再让悲剧重演。生命只有一次，不会重来，大学生一定要树立正确的爱情观。（三） 发展健康的恋爱行为 在当今大学校园，情侣成双入对已司空见惯。抑制大学生恋爱是不实际的，大学生一定要发展健康的恋爱行为。与恋人多谈谈学习与工作，把恋爱行为限制在社会规范内，不致越轨，要使爱情沿着健康的道路发展。正如马克思所说：“在我看来，真正的爱情是表现在恋人对他的偶像采取含蓄、谦恭甚至羞涩的态度，而绝不是表现在随意流露
17、热情和过早的亲昵。”（四） 爱情不是一件跟风的事儿。很多大学生的爱情实际上是跟风的结果，是看到别人有了爱情，看到别人幸福的样子（注意，只是看上去很美），产生了羊群心理，也就花了大把的时间和精力去寻找爱情（五） 距离才是保持爱情之花常开不败的法宝。爱情到底需要花多少时间，这是一个很大的问题。有的大学生爱情失败，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们在一起的时间太多。相反，很多大学生恋爱成功，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们准确地把握了在一起的时间的多少程度。（六） 爱情不是自我封闭的二人世界。很多人过分的活在两人世界，对身边的同学，身边好友渐渐的失去联系，失去了对话，生活中只有彼此两人；班级活动也不参加，社外活动也不参加，每天除了对方还是对方，这样不利于大学生健康发展，不仅影响学习，影响了自身交际和合作能力。总结：男女之间面对恋爱，首先要摆正好自己的心态，树立自尊、自爱、自强、自重应有的品格，千万不要盲目地追求爱，也不宜过急追求爱，要分清自己的条件是否成熟。要树立正确的恋爱观，明确大学的目的，以学习为第一；规划好大学计划，在不影响学习的条件下，要对恋爱认真，专一，相互鼓励，相互学习，共同进步；认真对待恋爱观，做健康的恋爱；总之，我们大学生要树立正确的恋爱观念，让大学的爱情成为青春记忆里最美的风景，而不是终身的遗憾！
