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1、 专升本高数复习资料 第一章 函数、极限和连续1.1 函数一、 主要 y=f(x), xD定义域: D(f), 值域: Z(f).y=f(x)xD12.分段函数: g(x)xD23.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) x=(y)=f-1(y)y=f-1 (x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),xD,x1、x2D当x1x2时,若f(x1)f(x2),则称f(x)在D
2、)；若f(x1)f(x2),则称f(x)在D)；若f(x1)f(x2),则称f(x)在D)；若f(x1)f(x2),则称f(x)在D)。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x(-，+)周期：T最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c为常数)2.幂函数： y=xn , (n为实数)3.指数函数： y=ax , (a0、a1)4.对数函数： y=loga x ,(a0、a1)5.三角函数： y=sin x , y=
3、con x y=tan x , y=cot x1 y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon xy=arctan x, y=arccot x 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX 2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数。二、 例题分析例1. 求下列函数的定义域： f(x)=11-x2-x+21解:对于1-x2有: 1-x20 解得: x1对于x+2有: x+20 x2 f(x)的定义域: x-2,-1)U(-1,1)U(1,+
4、)f(x)=1 ln2-x1解: 由ln2-x得：ln(2-x)0 ，解得: x1由ln(2-x) 得：(2-x) 0 ， x2 f(x)的定义域: x(-,1)U(1,2) 例2.设f(x)的定义域为（-1，1）则f(x+1) 的定义域为A.(-2,0), B.(-1,1), C.(0,2), D.0,2 解：-1x+11 -2x0即f(x+1) 的定义域为: x(-2,0)2 应选A. 例3.下列f(x)与g(x)是相同函数的为2A. f(x)=x, g(x)=x) B. f(x)=x2， g(x)=xC. f(x)=lnx2，g(x)=2lnx D. f(x)=lnx， g(x)=2ln
5、x 解：A. D(f)=(-,+)，D(g)=0,+)B. D(f)=(-,+)，D(g)=(-,+)f(x)=x2=-xx0xx0g(x)=x=-xx0xx0 应选BC. D(f)=(-,0)U(0,+)，D(g)=(0,+)D. D(f)=(0,+)，D(g)=(-,0)U(0,+)3 例4.求y=2+loga(x+3)，(a,a1)的反函数及其定义域。解：y=2+loga(x+3)，(a,a1)x(-3,+)，y(-,+)在(-3,+) 取 x=-y24 -1即：y=f(x)=-x2x0,1,y-1,0 （应填-x2） 例6.设函数f1(x)和f2(x)是定义在同一区间D(f)上的两个偶
6、函数，则f1(x)-f2(x)为 函数。解：设 F(x)=f1(x)-f2(x)F(-x)=f1(-x)-f2(-x)=f1(x)-f2(x)=F(x)f1(x)-f2(x)是偶函数 （应填“偶”） 例7. 判断f(x)=ln(x+x2)的奇偶性。 解: f(-x)=ln-x+(-x)2=ln(-x+x2)5 22=ln(-x+x)(x+x)x+x2=ln-x2+1+x2=ln1x+x2x+x22)-1=ln(x+xx+x2=-ln()=-f(x)f(x)为奇函数 例8.设f(x)=coswx ，则f(x)的周期为 。解法一: 设f(x)的周期为T,f(x+T)=cosw(x+T)=cos(w
7、x+wT) = f(x)=coswx cos(wx+wT)=coswx而 co(su+2p)=cous6 2pT= wT=2p， w 解法二：f(x)=coswx=cos(wx+2p)=cosw(x+2pw)=f(x+2pw) T=2p2p w (应填w) 例9. 指出函数f(x)=lnsin(x+1)那是由些简单函数复合而成的？解：令 u=lnsin(x+1)， 则 f(u)=uv=sin(x+1)， 则 u=lnvw=x+1， 则 v=sinwf(x)是由：f(u)=u，u=lnv，v=sinw，w=x+1复合而成的。 3例10. 已知f(x)=x,g(x)=ex,则fg(x)等于7 A.
8、 e3x, B. ex3, C. ex3, D. xe3 解: f(x)=x,g(x)=ex3x fg(x)=f(e)=(e)=ex33x(x)=g(x)3=(ex)3或 fg=e3x例11. 已知f(x)=ln(x+1),fj(x)=x求j(x)的表达式。解:fj(x)=ln1+j(x)=x1+j(x)=ex解得ex j(x)=-1 1.2 极 限一、 主要（应选 2.函数的极限：当x时，f(x)的极限：limf(x)=Ax-limf(x)= xlim+f(x)=AxA 当xx0时，f(x)的极限：xlimxf(x)=A0左极限：xlimx(x)=A0-f右极限：xlimxx)=A0+f(函
9、数极限存的充要条件：limf(x)=A定理：xx0xlimx0-f(x)=xlimx0+f(x)=A无穷大量和无穷小量1 无穷大量：limf(x)=+ 称在该变化过程中f(x)为无穷大量。X再某个变化过程是指：x,xx-,xx+x-,x+,00,2 无穷小量：limf(x)=0 xx09 称在该变化过程中f(x)为无穷小量。3 无穷大量与无穷小量的关系：limf(x)=0lim1f(x)=+,(f(x)0)定理：4 无穷小量的比较：lima=0,limb=0若limba=0,则称是比较高阶的无穷小量；b若lima=c （c为常数），则称与同阶的无穷小量；若limba=1，则称与是等价的无穷小量
10、，记作：；若limba=,则称是比较低阶的无穷小量。 定理：若：a1b1，a2b2；则：lima2=limb2 两面夹定理1 数列极限存在的判定准则：设：ynxnzn （n=1、2、3）10 且： limnyn=limnzn=a则： limnxn=a2 函数极限存在的判定准则：设：对于点x0的某个邻域 (limv(x)0)推论：limu1(x)u2(x)Lun(x)=limu1(x)limu2(x)Llimun(x)limcu(x)=climu(x)11 nlimu(x)n=limu(x) 两个重要极限sinxsinj(x)1limx0x=1 或 jlim(x)0j(x)=11lim(1+1)
11、x=elim(1+xx2xx x0)=e二、 例题分析2345例1 求数列1,2,3,4LL的极限。yn=解：n=1+nnlimyn=nlim(1+n)=11+2+3+L例2计算 lim+nnn2+3n解：1+2+3+L+n=(1+n)n2 1+2+3+L+n2(1+nlimnn2+3n=lim)nnn2+3n=1lim1+n(1+nn3+n=12lim)n2n(3+n)n12 =1n+112limnn+1=2 1+2+3+L+n误解：limnn2+3n =limnn2+3n+n2+3n+n2+3n+L+n2+3n) =nlimn2+3n+limnn2+3n+limnn2+3n+L+limnn
12、+3=0例3下列极限存在的是(x+1) A.xlim2+x, B. limxxx2,xC.xlim+2x-1, D. limxe, 2解：A.xlim+x=xlim+x+x=+1)-x(x-1)B.xlimx(x-x2=xlim-x2=xlim-(1-x)=-1x(x-1)x(x-1)xlim+x2=xlim+x2=xlim+(1-x)=113 x(x+1)limxx2 不存在 limC. x+2x-1=0 应选CxD. xlim+e=+imexxl-=xli-me-x=0xlimxe 不存在 1例4.当x时，f(x)与x是等价无穷小量，limx2xf(x)= 则。 f(x)1解：x(x) l
13、im2xf(x)=lim2x1=lim2=xxxx2nlim2例5.计算 nn! (n=1,2,3,)2n解: n!=212223LL22n-1n (应填2)14 00 (n=2,3,) 2222240123LLn-1nnlimn0=0 又:lim4nn=0 由两面夹定理可得:nlim2nn!=lim2n12223LL2n=0nlim2 nn!=0 例6.计算下列极限3limx-3x+2 xx4-x2 +333limx-3x+2(x-3x+2)4解: xx4-x2+3=limxx4-x2+31x415=limx-x3+x4x1-=0x2+x4 2limx+x-2 x1x-12limx+x-2解
14、: x1x-1=lim(x-1)(x+2)-1=limx1(x+2)=3 x1x 2limxx02 1-+x解法一: 共轭法 x2limx21+x2x02=0limx01-+x01-+x21+x222=limx1+xx01-1+x2=limx21+x2x0-x2 16=lim-1+x=-2x0 解法二： 变量替换法2 设：t=1-+x当2x=t-2t222x0时，t0t-2tlim=lim2x0t0t 1-+xx2()=limt-2=-2t02x+limxx+1-x) 解法一：共轭法x+limxx+1-x2)(-)x+=limxx2+1-x2 x2+1+x =lim xx+1-x2(22x+x
15、+1+xxx2)=limxx+1+xxx+1+x1+x2x+2()x+=lim(x+1+x)=limx+1=+12 解法二：变量替换法17 1x=+设：t 当x+时，t0 xlim+xx2+1-x)=1tlim0+t2t+1-1t2=lim1+t-11+t22t0+t2(=lim0)t0+2-11+t+1t1+t2+1=lim+t2-1t0+t211+t2+1=lim1t0+1+t2+1=12 limsin(3x+x2)x0x limsin(3x+x2)sin(3x+x2)3x2解法一：x0x(=+x)limx03x+x2x=limsin(3x+x2)lim(3+x) x03x+x2x0=13
16、=3 解法二：sin(3x+x2)3x+x2(x0) limsin(3x+x2)2=lim3x+xx0xx0x 18 =lim3+x=3x0 limarcsin2x x0x解：设：t=arcsin2xx=2sint当x0时，t0larcs2inxxi0x(=lit)t02sint=2结论：arcsinxx(x0) lim1-cosx x0x22222解法一：cos2x=cosx-sin=2cosx-1=1-2sinx=2sin21-cos2xx 21-cosx=2sin2sixx(x0)又 2219 x2lim1-cosx2sin2= x0x()limx0x2 =lim2()222=lim11
17、x0xx02=2 2x=sin2解法二：1-cosxlim1-cosx(1-cosx)(1+cos)x0x21+cosx(=lim20)x0x1+cosxsinx2=lim1211x0xlimx01+cosx=12=2解法三：应用罗必塔法则 lim1-cosx2=sinx1 x0x()limx02x=2 x+axlimxa0 x-ax+axx-a+a+axlimxx-a(1=lim解法一：)xx-a20 2a2a=lim1+=lim1+xxx-ax-a xx-a2a+a2a 解法二：x-a=lim2a22aaax1+x-a 1+2ax-a x-a2a=2a2alim x1+x-alim2aax
18、1+x-a =e2a1a=e2a 设t=x-ax=t+a当x时，tlimx+axt+a+at+axx-a(1=)limttta=limt1+2at1+2att2aa=lim2a2at1+lim2a2at1+=ett 21 xxlimxx+a(x+a)x解法三：x-a=limxx-ax=lim(1+x)x1+xaa x1-x=lim(xlim(1-a=e-a=e2aexx) 2例7.当x0时，若ax与tan24为等价无穷小量，则必有a= 22解：axtan4(x0) tan2limx0ax2=1 2limtan4sin2x0ax2=lim4x0ax12cos22=lim4x0axlim112x0
19、cos2=144a 1a=4（应填4）结论：tanxx(x0)arctanxx(x0)22 x例8.若limx(1+x)=e2，则k= k解：limx(1+)xx=limx(1+x=ek=e k=2 （应填2） x2-2x+例9.已知limkx3x-3=4，求k的值。 解：limx3(x-3)=0x2lim-2x+kx3x-3=4limx3(x2-2x+k)=023-23+k=0k=-3 x2-2x+kx2=lim-2x-3由limx3x-3k=-3x3x-3 =lim(x-3)(x+1)x3x-3=limx3(x+1)=4 当k=-3时，原式成立。 x例10.证明：当x0时，(e-1)与x是
20、等价23 无穷小量。证：只要证明 limxx0ex-1=1 成立，即可。x设：t=e-1x=ln(1+t) 当x0时，t0limxln(1+t)x0ex-1(=lim)t0tlimln(1+tx0=lne=1(ex-1)x(x0)结论：(ex-1)x(x0)ln(1+x)x(x0) 1.3 连续一、 主要 1oDlimx0Dy=Dlimx0f(x0+Dx)-f(x0)=0 2oxlimxf(x)=f(x0) 左连续：xlimx0-f(x)=f(x0)24)x(f 右连续：xlimx=f(x0)0+f(x) 2. 函数在x0处连续的必要条件：定理：f(x)在x0处连续f(x)在x0处极限存在3.
21、 函数在x0处连续的充要条件：定理：xlimxf(x)=f(x0)xlim0x0-f(x)=xlimx0+f(x)=f(x0)4. 函数在a,b上连续：f(x)在a,b上每一点都连续。 在端点a和b连续是指：xliam+f(x)=f(a) 左端点右连续； xlibm-f(x)=f(b) 右端点左连续。a0 b x5. 函数的间断点：若f(x)在x0处不连续，则x0为f(x)的间断点。间断点有三种情况：1o在x0处无定义；2oxlimxf(x)0不存在； 25)x(f)x(f 3o在x0处有定义，且xlimxf(x)0存在， 但xlimxf(x)f(x0)0。 两类间断点的判断：1o第一类间断点
22、：(x)特点：xlimx0-fxlimx+f(x)和0都存在。 可去间断点：xlimxf(x)0存在，但xlimxf(x)f(x0)0，或在x0处无定义。 2o第二类间断点：limf(x)lim(x)特点：xx0-和xx0+f至少有一个为， 或xlimxf(x)0振荡不存在。limx)lim无穷间断点：xx0-f(x+f(x)和x0至少有一个为函数在x0处连续的性质1. 连续函数的四则运算： 设xlimxf(x)=f(x0)0，xlimxg(x)=g(x0) 26 1o xlimxf(x)g(x)=f(x0)g(x0) 2oxlimxf(x)g(x)=f(x0)g(x0) f(x)f(x 3o
23、 xlimxg(x)=0)0g(x0)xlimxg(x)00 2.复合函数的连续性： y=f(u),u=j(x),y=fj(x) xlimxj(x)=j(x0), ulimj(xf(u)=fj(x0)0) 则：xlimxfj(x)=f0xlimxj(x)=fj(x0) 3.反函数的连续性：-1 y=f(x),x=f(x),y0=f(x0)xx(x-1-1 limf(x)=f0)limf(y)=f(y0) yy0 函数在a,b上连续的性质1.最大值与最小值定理：f(x)在a,b上连续f(x)在a,b上一定存在最大值与最小值。 27 0 a b x -M0 a b x2. 有界定理：f(x)在a,
24、b上连续f(x)在a,b上一定有界。 3.介值定理：f(x)在a,b上连续在(a,b)内至少存在一点x，使得：f(x)=c，其中：mcM x 推论：f(x)在a,b上连续，且f(a)与f(b)异号28 在(a,b) 0m-(1-2x)=1 limf(x)=2xx0+xlim0+(e)=1 (x)=xlim0+f(x)=f(0)xlim0-f 由函数连续的充要条件定理可知:f(x) 在x=0 处连续。 29 例2设函数sinxx0f(x)x，试确定常数k的值，使在定义域内x连续。解：f(x)的定义域为：x(-,+)当x0时，f(x)=xsi1x+1是初等函数，在(0,+)有定义不论k为何值，f(
25、x) 在(0,+)内都是连续的。当x=0时，f(0)=ksinxxlim0-f(x)=xlim0-x=1 xlim10+f(x)=xlim0+(xsinx+1)=130 （无穷小量乘以有界函数还等于无穷小量）只有当k=1时，f(x)在x=0处连续，只有当k=1时，f(x)在定义域内连续。 3例3证明方程x-3x-1=0至少有一个根在1与2之间。 证：设f(x)=x3-3x-1，x1,2f(x)在 1,2上连续f(1)=(x3-3x-1)x=1=-3f(2)=(x3-3x-1)x=2=1f(x)满足介值定理推论的条件。由定理可得：在(1,2)内至少存在一点，使得f(x)=0；即：在1与2之间至少
26、有一个根x=x。 例4f(x)=ln(1+x) 讨论函数x的间断点。 解：f(x)的定义域为：x(-1,0)U(0,+)f(x) 在x=0处无定义；x=0是函数的间断点。311limln(1+x)xx0x=limx0ln(1+x)=lne=1若补充定义：f(0)=1，则函数在x=0连续；x=0函数的可去间断点。 f(x)=x2-1例5.讨论函数x2-x-2的间断点。 f(x)=x2-1(x-1)(x+1)解：x2-x-2=(x-2)(x+1)f(x)的定义域为：x(-,-1)U(-1,2)U(2,+) 当x1=-1,x2=2时，函数无定义，x1=-1,x2=2是函数的间断点；(x-1)(x+1
27、)x-12xlim-1(x-2)(x+1)=xlim-1x-2=3若补充定义：f(-1)=23，则函数在x=-1处连续；32 x=-1是可去间断点。xlim(x-1)(x+1) 2(x-2)(x+1)xlimx-1-=2-x-2=- x=2是无穷间断点。 第二章 一元函数微分学2.1 导数与微分一、主要内容导数的概念1导数：y=f(x)在x0的某个邻域内有定义，f(x0+Dx)-DlxiDy0Dx=Dlxif(x0)0Dxf(x)-f(x0)=xlimx0x-x0ydyx=x0=f(x0)=dxx=x0f(xf(x)-f(x0)2左导数：-0)=xlimx0-x-x0 f(x=f(x)-f(x
28、0)右导数：+0)xlimx0+x-x0 33 定理：f(x)在x0的左（或右）邻域上连续在其 则：f-(x0)=xlimx-f(x)0（或：f+(x0)=lim+fxx(x)0）3.函数可导的必要条件：定理：f(x)在x0处可导f(x)在x0处连续4. 函数可导的充要条件：定理：yx=x0=f(x0)存在f-(x0)=f+(x0)， 且存在。5.导函数： y=f(x), x(a,b)f(x)在(a,b)f(x0)6.导数的几何性质： Dyf(x0) 是曲线y=f(x)上点 DxM(x0,y0)处切线的斜率。 o x0 求导法则1.基本求导公式：2.导数的四则运算：1（o uv)=uv2o（
29、uv)=uv+uv34 uv-uv3o uv=v2 (v0)3.复合函数的导数：y=f(u),u=j(x),y=fj(x)dydydudx=dudx，或 fj(x)=fj(x)j(x) 注意fj(x)与fj(x)的区别：fj(x)表示复合函数对自变量x求导；fj(x)表示复合函数对中间变量j(x)求导。4.高阶导数：f(x),f(x),或f(3)(x)(n)f(x)=f(n-1(x),(n=2,3,4L)函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。微分的概念1.微分：f(x)在x的某个邻域内有定义，Dy=A(x)Dx+o(Dx)其中：A(x)与Dx无关，o(Dx)是比Dx较高阶的无穷小量，即：Dli
30、mo(Dx)x0Dx=0则称y=f(x)在x处可微，记作：35 dy=A(x)Dxdy=A(x)dx (Dx0)2.导数与微分的等价关系：定理：f(x) 在x处可微f(x)在x处可导，且：f(x)=A(x)3.微分形式不变性：dy=f(u)du不论u是自变量，还是中间变量，函数的微分dy都具有相同的形式。二、 例题分析f(x)f(x0+2Dx)例1.设存在，且Dlim-f(x0)x0Dx=1， 则f(x0)等于A.1, B.0, C.2, D. 2. f(x0+2Dx)-f(x0)解：Dlimx0Dxf(x0+2Dx)-f(x0)=22lDxi02Dx=2f(x0)=1 f(x10)=2 （应
31、选D）36 2例2设f(x)=(x-a2)j(x),其中j(x)在x=a处连续；求f(a)。f(a)=limf(x)-f(a)解：xax-a(x2-a2)j(x)-(a2-a2)j(a=lim)xax-a(x-a)(x+a)j=lim(x)xax-a=limxa(x+a)j(x)=2aj(a)误解：f(x)=2xj(x)+(x2-a2)j(x)f(a)=2aj(a)+(a2-a2)j(a)=2aj(a)结果虽然相同，但步骤是错的。因为已知条件并没说j(x)可导，所以j(x)不一定存在。例3设f(x)在x=1处可导，且f(1)=2，求：limf(4-3x)-f(1)x1x-1解：设t=4-3x,
32、x=3(4-t)当x1时，t1limf(4-3x)-f(1)=limf(t)-f(1)x1x-1t13(4-t)-137 f(t)-f(1)=-3limt1t-1=-3f(1)=-32=-6 例4设f(x)是可导的奇函数，且f(-x0)=k0，则f(x0)等于：-11A. k, B. -k, C. k, D. k. 解：f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)f(-x)(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)f(x0)=f(-x0)=k (应选A)（结论：可导奇函数的导数是偶函数；可导偶函数的导数是奇函数。） x2f(x)=+1x1例5设2xx1在x=1处是否可导？ 解法一：f(1)=2x
33、x=1=2lim2x1-f(x)=xlim1-(x+1)=2xlim1+f(x)=xlim1+(2x)=238 f(x)在x=1处连续f1)=f(x)-f(1)x2+1-2-(xlim1-x-1=xlim1-x-1 =xlimx2-11-x-1=xlim1-(x+1)=2ff(x)-f(1)2x-2+(1)=xlim1+x-1=xlim1+x-1=xlim1+2=2 f(1)=f-(1)=f+(1)=2f(x)在x=1处可导。 f(1)=2x解法二：x=1=2xlim1-f(x)=lim2x1-(x+1)=2 xlim1+f(x)=limx1+(2x)=2 f(x)在x=1处连续f(x)=2x
34、x1f-(1)=lim-f(x)=lim-2x=2x1x1f+(1)=lim1+f(x)=limx1+2=2x39 f(1)=f-(1)=f+(1)=2f(x)在x=1处可导。 f(x)=1+bxx0例6设ae2xx0求a,b的值，使f(x)处处可导。解：f(x)的定义域：x(-,+)当x0时，f(x)=1+bx 是初等函数，在(-,0)不论a和b为何值，f(x)在(-,0)不论a和b为何值，f(x)在(0,+)内连续；f(0)=(1+bx)x=0=1xlim0-f(x)=xlim0-(1+bx)=12xxlim0+f(x)=xlim0+ae=a只有当a=1时，f(x)在x=0处连续；当a=1
35、时，f(x)处处连续；40 当a0时，f(x)=bx0bx0=a=12e2xx0可导f-(0)=xli0m-f(x)=xli0m-b=b2xf+(0)=xlim0+f(x)=xlim0+2e=2 只有当b=2时，f(x)在x=0处可导； 当a=1,b=2，f(x)处处可导。例7求下列函数的导数y=cosln(1+2x)解：y=cosuu=lnvv=1+2xdydydx=dududvdvdx=-sinu1v2=-21+2xsinln(1+2x)y=arctan(tan2x)解：y=arctan(tan2x)41=11+(tan2x)2(tan2x)=2tanx1+(tan2x)2(tanx) 2
36、=2tanxsecxsin2x1+(tan2x)2=sin4x+cos4x y=xtan2x10解：y=(10xtan2x)=ln1010xtan2x(xtan2x)=ln1010xtan2x(tan2x+2xsec22x) x2+y22=r （ r为常数） y=r22解法一：-x22y=(r2-x2)=(r-x)2r2-x2=mxr2-x2(x2+y22解法二: )=(r)2x+2yy=042 y=-xxy=mr2-x2 y=cos(xy)解法一：y=cos(xy)=-sin(xy)(xy)=-sin(xy)(y+xy) y=-ysin(xy)1+xsin(xy) 解法二:设F(x,y)=y-cos(xy)Fx=ysin(xy),Fy=1+xsin(xy)dyFxysin(dx=-F=-xy)y1+xsin(xy) ylnx=xlny解法一：(yln
