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1、高数章节习题练习 第一节函数极限连续1、设，求 2、设 ，求3、4、5、设和为任意函数，定义域均为，试判定下列函数的奇偶性（1） （2）6、判定函数的奇偶性7、8、9、10、 11、12、 13、 14、【例1-6】已知是多项式，且，求【例1-7】当时，比较下列无穷小的阶1比 2、比3、 比4比【例1-8】讨论下列分段函数在指定点处的连续性1 在处的连续性2 在处的连续性【例1-9】当常数为何值时，函数 在处连续？【例1-10】求下列函数的间断点并判断其类型1 2 3 4 【例1-11】证明方程在区间内至少有一个根【例1-12】证明方程至少有一个小于的正根一、选择题1（2010年，1分）函数的
2、定义域是（ ）（A） （B） （C） （D）2（2010年，1分）极限等于（ ）（A） （B） （C） （D）3（2009年，1分）极限（ ）（A） （B） （C） （D）不存在4（2009年，1分）若 ，则（ ）（A） （B） （C） （D）不存在5（2009年，1分）是函数的（ ）（A）连续点 （B）可去间断点 （C）跳跃间断点 （D）第二类间断点6（2008年，3分）设 ，则等于（ ）（A） （B）不存在 （C） （D）7（2008年，3分）当时，是的（ ）（A）高阶无穷小 （B）同阶无穷小，但不等价（C）低阶无穷小 （D）等价无穷小8（2007年，3分）当时，是（ ）（A）比高阶的无穷
3、小 （B）比低阶的无穷小（C）与同阶的无穷小 （D）与等价的无穷小9（2006年，2分）设 ， ，则（ ）（A） （B） （C） （D）10（2005年，3分）设，则（ ）（A） （B） （C） （D）11（2005年，3分）设是无穷大，则的变化过程是（ ）（A） （B） （C） （D）二、填空题1（2010年，2分）若函数 在处连续，则 2（2010年，2分）是函数的第 类间断点3（2009年，2分）设 ，则 4（2009年，2分）在处是第 类间断点5（2008年，4分）函数的定义域为 6（2008年，4分）设数列有界，且，则 7（2008年，4分）函数的反函数为 8（2007年，4分）函数
4、的定义域为 9（2007年，4分） 10（2006年，2分）若函数 在处连续，则 三、计算题1（2010年，5分）求极限 ，其中为常数2（2010年，5分）求极限 3（2009年，5分）求极限 4（2009年，5分）求极限 5（2008年，5分）求极限 6（2007年，5分）求极限 7（2006年，4分）求极限 8（2006年，4分）设，求9（2005年，5分）求极限 第二节、 导数与微分【例2-1】以下各题中均假定存在，指出表示什么1 2设，其中，且存在3【例2-2】分段函数在分界点处的导数问题1讨论函数 在处的可导性2讨论函数 在处的可导性3已知函数 在处连续且可导，求常数和的值【例2-3
5、】已知 ，求【例2-4】求下列函数的导数1234【例2-5】求下列幂指函数的导数1 （）2 （）【例2-6】用对数求导法求下列函数的导数1 （）2【例2-7】求下列抽象函数的导数1已知函数可导，求函数的导数2设函数和可导，且，试求函数的导数【例2-8】求由下列方程所确定的隐函数的导数12【例2-9】求由下列参数方程所确定的函数的导数1 2 【例2-10】求下列函数的微分1234【例2-11】求曲线在点处的切线方程和法线方程【例2-12】求曲线在点处的切线方程和法线方程【例2-13】求椭圆在点处的切线方程和法线方程【历年真题】一、选择题1（2010年，1分）已知，则等于（ ）（A） （B） （C
6、） （D）2（2010年，1分）曲线在点处的法线方程为（ ）（A） （B）（C） （D）3（2010年，1分）设函数在点处不连续，则（ ）（A）存在 （B）不存在（C）必存在 （D）在点处可微4（2009年，1分）若，则（ ）（A） （B） （C） （D）5（2008年，3分）函数，在点处（ ）（A）可导 （B）间断 （C）连续不可导 （D）连续可导6（2008年，3分）设在处可导，且，则不等于（ ）（A） （B） （C） （D）7（2007年，3分）下列选项中可作为函数在点处的导数定义的选项是（ ）（A）（B） （C）（D）8（2007年，3分）若可导，且，则（ ）（A） （B）（C） （D
7、）9（2006年，2分）设，为可导函数，则（ ）（A） （B）（C） （D）10（2005年，3分）设，则（ ）（A） （B） （C） （D）11（2005年，3分）设，则（ ）（A） （B）（C） （D）12（2005年，3分）（ ）（A） （B） （C） （D）二、填空题1（2010年，2分）若曲线在点处的切线平行于直线，则 2（2010年，2分）设，则 3（2008年，4分）曲线在点的切线的斜率等于 4（2008年，4分）由参数方程 确定的 5（2006年，2分）曲线在点处的切线方程是 6（2006年，2分）函数不可导点的个数是 7（2006年，2分）设，则 三、计算题1（2010年，5
8、分）设函数由方程所确定，求2（2010年，5分）求函数（）的导数3（2009年，5分）设，求4（2006年，4分）设可导，且，求5（2005年，5分）已知 （1）在处连续，求； （2）求 第三节、微分中值定理与导数的应用【例3-1】验证罗尔定理对函数在区间上的正确性【例3-2】验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性【例3-3】不求导数，判断函数的导数有几个零点，这些零点分别在什么范围【例3-4】证明，其中【例3-5】求下列函数的极限1求 2求 3求 4求 5求 6求 7求 8求 【例3-6】求下列函数的单调区间12 【例3-7】利用函数的单调性证明不等式1试证当时，成立2试证当时，【例3-
9、8】证明方程在区间内有且仅有一个实根【例3-9】求下列函数的极值12【例3-10】求函数在区间上的最值【例3-11】求下列曲线的凹凸区间和拐点12【历年真题】一、选择题1（2009年，1分）若函数满足，则必为的（ ）（A）极大值点 （B）极小值点 （C）驻点 （D）拐点2（2009年，1分）当时，曲线（ ）（A）没有水平渐近线 （B）仅有水平渐近线（C）仅有铅直渐近线 （D）既有水平渐近线，又有铅直渐近线3（2008年，3分）函数在区间上满足拉格朗日公式中的等于（ ）（A） （B） （C） （D）4（2007年，3分）曲线上切线平行于轴的点为（ ）（A） （B） （C） （D）5（2007年，
10、3分）若在区间内，导数，二阶导数，则函数在该区间内（ ）（A）单调增加，曲线为凸的 （B）单调增加，曲线为凹的（C）单调减少，曲线为凸的 （D）单调减少，曲线为凹的二、填空题1（2010年，2分）函数的单调减区间是 2（2009年，2分）当时，是 函数（填“单调递增”、“单调递减”）3（2009年，2分）函数在区间上的最大值点是 4（2007年，4分）曲线在处的切线方程为 5（2005年，3分）的凸区间是 6（2005年，3分）曲线通过点的切线方程为 三、应用题或综合题1（2010年，10分）现有边长为厘米的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形，折做成无盖纸箱，问剪区的小正方形边长
11、为多少时做成的无盖纸箱容积最大？2（2010年，10分）设函数在上连续，并且对于上的任意所对应的函数值均为，证明：在上至少存在一点，使得3（2009年，10分）某工厂需要围建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？4（2009年，10分）当，时，5（2008年，8分）求函数的单调区间、极值、凹凸区间与拐点6（2007年，8分）求函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点7（2007年，8分）在周长为定值的所有扇形中，当扇形的半径取何值时所得扇形的面积最大？8（2006年，10分）求函数的单调区间、极值及凹凸区间、拐点
12、9（2006年，10分）设函数在上连续，且证明方程在内有且仅有一个根10（2005年，8分）已知与在处切线相同，写出该切线方程并求第四节、不定积分【例4-1】计算下列不定积分123 4567891011121314【例4-2】计算下列不定积分12345678【例4-3】计算下列不定积分1234【例4-4】设，求【例4-5】已知是的一个原函数，求【历年真题】一、选择题1（2009年，1分）下列等式中，正确的一个是（ ）（A） （B） （C） （D）2（2007年，3分）设（），则（ ）（A） （B） （C） （D）3（2006年，2分）若，则（ ）（A） （B） （C） （D）4（2005年，3
13、分）（ ）（A） （B）（C） （D）二、填空题1（2010年，2分）不定积分 2（2009年，2分）设，则 三、计算题1（2010年，5分）求不定积分2（2009年，5分）求不定积分3（2006年，4分）若，求4（2005年，5分）求不定积分四、应用题或综合题1（2008年，8分）设的一个原函数为，求第五节、定积分【例5-1】计算下列定积分1234567 （）8【例5-2】计算下列定积分1234【例5-3】计算下列广义积分1234【例5-4】计算下列积分上限函数的导数1234【例5-5】求下列极限1234【例5-6】设函数 计算 【例5-7】计算定积分【例5-8】求下列平面图形的面积1 计算
14、由两条抛物线和所围成的平面图形的面积2求由抛物线，直线及所围成的平面图形的面积3计算由曲线和直线所围成的平面图形的面积一、选择题1（2010年，1分）设，则等于（ ）（A） （B） （C） （D）2（2010年，1分）曲线与直线所围成的图形的面积为（ ）（A） （B） （C） （D）3（2010年，1分）定积分等于（ ）（A） （B） （C） （D）二、填空题1（2010年，2分） 2（2009年，2分）设，则 3（2009年，2分）由曲线，及轴围成的图形的面积是 4（2007年，4分）积分的值等于 5（2006年，2分）积分 解：6（2006年，2分） 7（2005年，3分） 三、计算题1（
15、2010年，5分）求定积分2（2010年，5分）求定积分3（2008年，5分）求定积分4（2008年，7分）求广义积分5（2007年，5分）求定积分6（2006年，4分）设函数 ，求在内的表达式7（2006年，4分）求定积分8（2005年，5分）求定积分9（2005年，8分）求由曲线与直线，所围平面图形的面积 第六节、微分方程【典型例题】【例6-1】求下列微分方程的通解1234【例6-2】求下列微分方程的通解1234【例6-3】求下列微分方程的通解1234【例6-4】解微分方程【例6-5】求微分方程 满足初始条件的特解【例6-6】求满足初始条件，的特解【例6-7】已知曲线过点，且在点处的斜率为
16、，求该曲线方程【例6-8】设可导函数满足，求【历年真题】一、选择题1（2007年，3分）微分方程的通解为（ ）（A） （B）（C） （D）2（2006年，2分）微分方程的通解是（ ）（A） （B）（C） （D）二、填空题1（2010年，2分）微分方程的通解为 2（2009年，2分）微分方程满足初值的特解为 3（2007年，4分）微分方程的通解为 4（2006年，2分）方程的通解为 5（2005年，3分）微分方程的通解为 三、计算题1（2010年，5分）求微分方程的通解2（2009年，5分）求微分方程的通解3（2008年，5分）求微分方程的通解4（2007年，7分）求微分方程的通解第七节、向量代
17、数与空间几何【典型例题】【例7-1】在轴上求与两点和等距离的点【例7-2】已知两点和，求与同方向的单位向量【例7-3】已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角【例7-4】设，计算 和 【例7-5】已知三角形的三个顶点分别是、和，求三角形的面积【例7-6】已知向量，向量，向量和的夹角，求【例7-7】求过三点、和的平面方程【例7-8】求平行于平面：，且与平面垂直，求此平面的方程【例7-9】求平行于平面：，且与球面相切的平面方程【例7-10】求过两点和的直线方程【例7-11】求过点且平行于直线的直线方程【例7-12】求直线：与平面：的交点【例7-13】求与两平面和的交线平行且过点的直线的方程【例7
18、-14】确定直线： 与平面：的位置关系【历年真题】一、选择题1（2010年，1分）已知向量与向量垂直，则等于（ ）（A） （B） （C） （D）2（2009年，1分）直线：与平面：的位置关系是（ ）（A）平行 （B）垂直相交 （C）在上 （D）相交但不垂直3（2008年，3分）过点且垂直于轴的平面方程为（ ）（A） （B） （C） （D）4（2008年，3分）直线与下列 平面垂直（ ）（A） （B） （C） （D）5（2007年，3分）直线与平面的位置关系是（ ）（A）平行但不共面 （B）直线垂直于平面 （C）直线在平面上 （D）两者斜交二、填空题1（2009年，2分）通过点，和三点的平面方程
19、是 2（2009年，2分）设，为向量，若，与的夹角为，则 3（2006年，2分）点到平面的距离是 三、计算题1（2010年，5分）求平行于轴且过点和的平面方程2（2009年，5分）求通过点和且垂直于平面的平面方程 第八节、多元函数与微分学【典型例题】【例8-1】求下列函数在指定点处的偏导数1，求 ， 2，求 ， 【例8-2】求下列函数的偏导数1 2 3 4 5 6 【例8-3】求下列函数的所有二阶偏导数1 2 【例8-4】求下列函数的全微分1 2 【例8-5】设，而，求和【例8-6】设，而，求【例8-7】求下列函数的偏导数（其中具有二阶连续偏导数）1 2 【例8-8】求下列方程所确定的函数的导
20、数或偏导数1方程 确定了函数 ，求2方程 确定了函数 ，求3方程 确定了函数 ，求和4方程 确定了函数 ，求和【例8-9】求函数的极值【例8-10】求函数的极值【历年真题】一、选择题1（2009年，1分）二元函数在点处存在偏导数是在该点可微分的（ ）（A）必要而不充分条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要且充分条件 （D）既不必要也不充分条件2（2008年，3分）已知，则（ ）（A） （B） （C） （D）3（2007年，3分）设，则（ ）（A） （B）（C） （D）二、填空题1（2010年，2分）“函数的偏导数、在点存在”是“函数在点可微分”的 条件三、计算题1（2010年，5分）求由方程
21、所确定的二元函数的全微分2（2009年，5分）求函数的全微分3（2008年，5分）求二元函数的全微分4（2007年，5分）设，求，5（2006年，4分）设，求6（2006年，4分）求的极值7（2005年，5分）设，求 第九节、二重积分【典型例题】【例9-1】计算，其中是由直线、及所围成的闭区域【典型例题】【例9-1】计算，其中是由直线、及所围成的闭区域【例9-2】求，其中是由直线、及所围成的闭区域【例9-3】求，其中是由抛物线及直线所围成的闭区域【例9-4】计算，其中是由直线、和曲线所围成的闭区域【例9-5】计算，其中是由中心在原点、半径为（）的圆周所围成的闭区域【例9-6】计算，其中是由圆周
22、及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域【例9-7】计算，其中是圆环形闭区域【例9-8】交换下列二重积分的积分次序1 2 3 4 【历年真题】一、选择题1（2008年，3分）设：，则等于（ ）（A） （B） （C） （D）2（2006年，2分）交换积分次序（ ）（A） （B）（C） （D）3（2005年，3分）设：，则（ ）（A） （B） （C） （D）二、计算题1（2010年，5分）求二重积分，其中是由，所围成的闭区域2（2009年，5分）计算，其中是由抛物线及直线所围成的闭区域3（2007年，5分）计算，其中是由直线，与所围成的闭区域4（2006年，4分）求，由，（）围成5（2005年，5分）
23、计算二重积分，为与两个区域的公共部分第十节、无穷级数【典型例题】【例10-1】用比较法或其极限形式判别下列级数的敛散性1 2 3 4 5 6 7 8 （）【例10-2】利用比值审敛法判别下列级数的敛散性1 2 3 4 5 6 【例10-3】利用根值审敛法判别下列级数的敛散性1 2 1 2 3 4 【例10-5】求下列幂级数的收敛半径和收敛域1 2 3 4 【例10-6】求下列幂级数的收敛域1 2 【例10-7】求下列幂级数的和函数1 2 3 4 【例10-8】将下列函数展开成相应的幂级数1将函数展开成关于的幂级数2 将函数展开成关于的幂级数【历年真题】一、选择题1（2010年，1分）是级数收敛
24、的 条件（ ）（A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）不确定2（2009年，1分）幂级数的收敛半径是（ ）（A） （B） （C） （D）3（2008年，3分）数项级数（为常数）是（ ）级数（A）发散的 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）敛散性由确定4（2007年，3分）数项级数（其中为常数）是（ ）（A）发散的 （B）条件收敛 （C）收敛性根据确定 （D）绝对收敛5（2005年，3分）幂级数的收敛区间是（ ）（A） （B） （C） （D）二、填空题1（2010年，2分）幂级数的收敛区间为 2（2006年，2分）函数在处展开的泰勒级数是 3（2006年，2分）幂级数在处的敛散性是 三、计算题（李松宾你个老熊你会吗！）1（2009年，5分）求幂级数的收敛半径和收敛域2（2008年，7分）将函数展开成的幂级数3（2007年，7分）求幂级数的收敛区间与和函数4（2006年，4分）判定级数的敛散性
