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1、专题06 反比例函数章末重难点题型【举一反三】【人教版】【考点1 反比例函数的定义】【方法点拨】一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。(自变量的取值: )反比例函数的等价形式： （ ） () xy=k()【例1】（2019秋南岗区校级月考）下列函数中，是反比例函数的是ABCD【分析】根据反比例函数的定义可以判定【答案】解：根据反比例函数的定义可知是反比例函数，故选：D【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式y（k0），也可转化为ykx1（k0）的形式，特别注意不要忽略k0这个条件【变式1-1】（2019春西城区校级期中）若函数是反比例函数，则(ABCD1【分析】根
2、据反比例函数的定义列方程即可得到结论【答案】解：函数𝑦（m+1）x|m|2是反比例函数，|m|21，m+10，m1，故选：D【点睛】本题考查了反比例函数的定义，正确的列出方程是解题的关键【变式1-2】（2019春阜宁县期中）下列函数：，是的反比例函数的个数有A0个B1个C2个D3个【分析】根据题意写出函数表达式再判断它们的关系则可【答案】解：yx2，y是x的一次函数，故错误；y，y是x的正比例函数，故错误；yx1，y是x的反比例函数，故正确；y，y是x+2的反比例函数，故错误综上所述，正确的结论只有1个故选：B【点睛】本题考查了反比例函数的定义和方程式的变形，涉及的知识面比较广
3、反比例函数解析式的一般形式（k0）也可转化为ykx1（k0）的形式，特别注意不要忽略k0这个条件【变式1-3】（2018秋万山区月考）下列函数中，是的反比例函数有（1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）A（2）（4）B（2）（3）（5）（8） C（2）（7）（8）D（1）（3）（4）（6）【分析】分别利用正比例函数以及反比例函数的定义分析得出答案【答案】解：（1）y3x，是正比例函数，故此选项错误；（2）y，是反比例函数，故此选项正确；（3）是正比例函数，故此选项错误；（4）xy3是反比例函数，故此选项正确；（5），y是x+1的反比例函数，故此选项错误；（6），y是x2
4、的反比例函数，故此选项错误；（7）y2x2，y是x2的反比例函数，故此选项错误；（8），k0时，y是x的反比例函数，故此选项错误故选：A【点睛】此题主要考查了正比例函数以及反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键【考点2 反比例函数的性质】【方法点拨】反比例函数性质如下表：的取值图像所在象限函数的增减性一、三象限在每个象限内，值随的增大而减小二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大【例2】（2019秋武陵区校级月考）在反比例函数的图象在某象限内，随着的增大而减小，则的取值范围是A BCD【分析】根据反比例函数的性质可得3m0，再解不等式即可【答案】解：反比例函数y的图象在每个象限内，y随着
5、x的增大而减小，3m0，解得，m3故选：D【点睛】本题考查了反比例函数的性质对于反比例函数y，当k0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大【变式2-1】（2019道外区三模）若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是ABCD【分析】考查反比例函数的图象和性质，由2k0即可解得答案【答案】解：y的图象位于第一、第三象限，2k0，k2故选：A【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：、当k0时，图象分别位于第一、三象限；当k0时，图象分别位于第二、四象限、当k0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，在同一个象
6、限，y随x的增大而增大【变式2-2】（2019秋南岸区校级月考）从3、1、这五个数中，取一个数作为函数和关于的方程中的值，恰好使所得函数的图象经过第二、四象限，且方程有实根，满足要求的的值共有个A1B2C3D4【分析】由函数y的图象经过第二、四象限，可得k20，由关于x的方程（k+1）x2+2kx+10有实数根，可得（2k）24（k+1）0或k+10，继而求得答案【答案】解：函数y的图象经过第二、四象限，则k20，解得：k2，符合要求的有1，1，2，3，关于x的方程（k+1）x2+2kx+10有实数根，（2k）24（k+1）0或k+10，符合要求的有，1，2，3，恰好使所得函数的图象经过第二、
7、四象限，且方程有实根，满足要求的k的值共有3个故选：C【点睛】此题考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式此题难度适中，注意熟记性质是解此题的关键【变式2-3】（2019荆州区模拟）已知关于的方程有两个相等的实数根，且反比例函数的图象在每个象限内随的增大而减小，那么的值为A3B3或CD【分析】关于x的方程有唯一的一个实数根，则0可求出m的值，反比例函数图象在每个象限内y随x的增大而减小，则m10，求出m的取值范围再根据前者确定m的最后值【答案】解：x2（m1）x+10有两个相等的实数根，（m1）2411m22m3（m3）（m+1）0，m3和m1；又反比例函数y的图象在每个象限内y随x的
8、增大而减小，图象在一，三象限，即（m1）0，m1，m只能为3，故选：A【点睛】此题考查了根与系数的关系和反比例函数的性质，有一定的难度只要认真分析，能够正确作答【考点3 反比例函数值大小比较】【方法点拨】灵活运用反比例函数的图象和性质进行推理是解此类题的关键，反比例函数的增减性只指在同一象限内【例3】（2018秋闵行区期末）反比例函数的图象经过点，、，是图象上另两点，其中，那么、的大小关系是ABCD都有可能【分析】先代入点（1，2）求得k的值，根据k的值判断此函数图象所在的象限，再根据x1x20判断出A（x1，y1）、B（x2，y2）所在的象限，根据此函数的增减性即可解答【答案】解：反比例函数
9、y的图象经过点（1，2），k2，此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，x1x20，A（x1，y1）、B（x2，y2）两点均位于第二象限，y1y2故选：B【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键【变式3-1】（2019秋槐荫区期中）已知反比例函数的图象上有三个点，、，、，若，则下列关系是正确的是ABCD【分析】根据函数的解析式得出图象所在的象限和增减性，再进行比较即可【答案】解：反比例函数y，函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，函数的图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2）、（x3，y3），且x1x20
10、x3，y2y1y3，故选：B【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和函数的图象和性质，能灵活运用函数的图象和性质进行推理是解此题的关键【变式3-2】（2019秋庐阳区校级月考）设，是双曲线上的三点，则ABCD【分析】先根据反比例函数的系数k3判断出函数图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据2012，即可判断出y1、y2、y3的大小【答案】解：k30，则图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，又2012，y1y3y2故选：B【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内【变式3-3】（2019春西湖区校级月考）若
11、反比例函数图象上有两个点，设，则不经过第象限A一B二C三D四【分析】利用反比例函数的性质判断出m的正负，再根据一次函数的性质即可判断【答案】解：y（a1，x0），a10，y（a1，x0）图象在三象限，且y随x的增大而减小，图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），x1与y1同负，x2与y2同负，m（x1x2）（y1y2）0，ymxm的图象经过一，二、四象限，不经过三象限，故选：C【点睛】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型【考点4 与反比例函数有关的图象问题】【例4】（2019秋金安区校级月考）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标
12、系内的大致图象可能是ABCD【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法和二次函数的性质、反比例函数的性质，可以判断哪个选项中的图象符合实际，从而可以解答本题【答案】解：当k0时，二次函数ykx2k2的图象开口向下，顶点在y轴的负半轴；当k0时，反比例函数y（k0）图象在第一、三象限，故选项C正确，选项D错误；当k0时，二次函数ykx2k2的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴；当k0时，反比例函数y（k0）图象在第二、四象限，故选项A错误，选项B错误；故选：C【点睛】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答【变式4-1】
13、（2019春西城区校级期中）反比例函数与在同一坐标系的图象可能为ABCD【分析】分别根据反比例函数与一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可【答案】解：A、由反比例函数的图象可知，k0，一次函数图象呈上升趋势且交与y轴的正半轴，k0，即k0，故本选项错误；B、由反比例函数的图象可知，k0，一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴，k0，即k0，故本选项正确；C、由反比例函数的图象可知，k0，一次函数图象呈上升趋势且交与y轴的负半轴（不合题意），故本选项错误；D、由反比例函数的图象可知，k0，一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴，k0，即k0，故本选项错误故选：B【点睛】本题考查的是反比例函数
14、的图象与一次函数的图象，熟知反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系是解答此题的关键【变式4-2】（2019兴庆区校级一模）已知二次函数的图象如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是ABCD【分析】由函数图象经过y轴正半轴可知c0，利用排除法即可得出正确答案【答案】解：对称轴位于y轴左侧，a、b同号，即b0图象经过y轴正半可知c0，根据对称轴和一个交点坐标用a表示出b，c，b2a，c，确定一次函数和反比例函数有2个交点，由b0可知，直线yx2b经过一、二、三象限，由c0可知，反比例函数的图象经过第一、三象限，故选：C【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例
15、函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键【变式4-3】（2019崂山区二模）二次函数的图象如图所示，则次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为ABCD【分析】根据二次函数图象确定b、b24ac、ab+c的符号，由它的符号判定一次函数图象与反比例函数图象所经过的象限即可【答案】解：如图，抛物线yax2+bx+c的开口方向向下，则a0对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，所以b0，故b0又因为抛物线与x轴有2个交点，所以b24ac0，所以直线ybx+b24ac经过第一、二、四象限当x1时，y0，即ab+c0，所以双曲线y在经过第二、四象限综上所述，符合条件的图象是B选项故选：A【点睛】本
16、题综合考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象熟练掌握图象与函数关系式中系数的关系是解题的关键【考点5 反比例函数K的几何意义】【方法点拨】反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。【例5】（2019春宽城区期中）如图，在平直角坐标系中，过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，分别交函数、的图象于点、点若是轴上任意一点，则的面积为A9B6CD3【分析】连接OA、OB，根据反比例函数系数k的几何意义得出SAOP3，SBOP|6|3，即可求得SAOBSAOP+SBOP+3，根据同底等高的三角形面积相等，得出SAOBSABC，即可求得ABC的面积【答案】解
17、：连接OA、OB，C是y轴上任意一点，SAOBSABC，SAOP3，SBOP|6|3，SAOBSAOP+SBOP+3，SABC，故选：C【点睛】本题考查反比例函数中比例系数k的几何意义，关键是掌握y（k0）图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|【变式5-1】（2019渝中区二模）如图，平行于轴的直线与函数，的图象分别相交于、两点，且点在点的右侧，在轴上取一点，使得的面积为3，则的值为A6BC3D【分析】ABC的面积AByA，先设A、B两点坐标（其y坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解【答案】解：设A（，m），B（，m），则：ABC
18、的面积AByA（）m3，则ab6故选：A【点睛】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A、B两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题【变式5-2】（2019昆明模拟）如图，函数和的图象分别是和设点在上，轴交于点，轴，交于点，的面积为ABCD【分析】将点P（m，n）代入反比例函数（x0）用m表示出n即可表示出点P的坐标，然后根据PBx轴，得到B点的纵坐标为，然后将点B的纵坐标带人反比例函数的解析式（x0）即可得到点B的坐标，同理得到点A的坐标；根据PBm，PA，利用SPABPAPB即可得到答案【答案】解：设点P（m，n），P是反比
19、例函数y（x0）图象上的点，n，点P（m，）；PBx轴，B点的纵坐标为，将点B的纵坐标代入反比例函数的解析式y（x0）得：x，B（，），同理可得：A（m，）；PBm，PA，SPABPAPB故选：B【点睛】本题考查了反比例函数的综合知识，题目中根据平行坐标轴的直线上的点的坐标特点表示出有关点的坐标是解答本题的关键，难度中等偏上【变式5-3】（2019蒙阴县一模）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形，其中、在轴上，则为A2B3C4D5【分析】连结OA、OB，AB交y轴于E，由于ABy轴，根据反比例函数y（k0）系数k的几何意义得到SOEA与SOBE，则
20、四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到S平行四边形ABCD2SOAB5【答案】解：连结OA、OB，AB交y轴于E，如图，ABx轴，ABy轴，SOEA3，SOBE21，SOAB1+，四边形ABCD为平行四边形，S平行四边形ABCD2SOAB5故选：D【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注【考点6 反比例函数图象上点的坐标规律】【例6】（2019蜀山区一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点分别与轴和轴的垂线，垂足分别是和，点的坐标为，取轴上一点，过点作轴
21、的垂线交反比例函数图象于点，过点作线段交于点，得到矩形，依次在轴上取点 ，按此规律作矩形，则矩形为正整数）的面积为【分析】第1个矩形的面积，第2个矩形的面积，于是得到第n个矩形的面积【答案】解：第1个矩形的面积，第2个矩形的面积，第n个矩形的面积矩形AnBnnCn1（n为正整数）的面积为故答案为：【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|【变式6-1】（2019海港区一模）如图，已知等边，顶点，在双曲线上，点的坐标为，过作，交双曲线于点，过作交轴于，得到第二个等边；过作交双曲线于点
22、，过作交轴于点，得到第三个等边；以此类推，则点的坐标为的坐标为【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2、B3、B4的坐标，得出规律，进而求出点B6的坐标【答案】解：如图，作A2Cx轴于点C，设B1Ca，则A2Ca，OCOB1+B1C2+a，A2（2+a，a）点A2在双曲线y（x0）上，（2+a）a，解得a1，或a1（舍去），OB2OB1+2B1C2+222，点B2的坐标为（2，0）；作A3Dx轴于点D，设B2Db，则A3Db，ODOB2+B2D2+b，A2（2+b，b）点A3在双曲线y（x0）上，（2+b）b，解得b+，或b（舍去），OB3OB2+2B2D22+
23、22，点B3的坐标为（2，0）；同理可得点B4的坐标为（2，0）即（4，0）；以此类推，点Bn的坐标为（2，0），点B6的坐标为（2，0）故答案为（2，0），（2，0）【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B2、B3、B4的坐标进而得出点Bn的规律是解题的关键【变式6-2】（2018邻水县一模）如图，分别过反比例函数图象上的点，作轴的垂线，垂足分别为， ，连接，再以，为一组邻边画一个平行四边形，以，为一组邻边画一个平行四边形，依此类推，则点的纵坐标是 （结果用含代数式表示）【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P1、P2的纵坐标，由平行四边形对边平行
24、且相等的性质求得点B1的纵坐标是y2+y1、B2的纵坐标是y3+y2、B3的纵坐标是y4+y3，据此可以推知点Bn的纵坐标是：yn+1+yn+【答案】解：点P1（1，y1），P2（2，y2）在反比例函数的图象上，y13，y2；P1A1y13；又四边形A1P1B1P2，是平行四边形，P1A1B1P23，P1A1B1P2 ，点B1的纵坐标是：y2+y1+3，即点B1的纵坐标是；同理求得，点B2的纵坐标是：y3+y21+；点B3的纵坐标是：y4+y3+1；点Bn的纵坐标是：yn+1+yn+；故答案是：【点睛】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象解答此题的关键是根
25、据平行四边形的对边平行且相等的性质求得点Bn的纵坐标yn+1+yn【变式6-3】（2019德州）如图，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，且，则为正整数）的纵坐标为（用含的式子表示）【分析】先证明OA1E是等边三角形，求出A1的坐标，作高线A1D1，再证明A2EF是等边三角形，作高线A2D2，设A2（x，），根据OD22+x，解方程可得等边三角形的边长和A2的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点A1、A3、A5在x轴的上方，纵坐标为正数，点A2、A4、A6在x轴的下方，纵坐标为负数，可以利用（1）n+1来解决这个问题【答案】解：过A1作A1D1x轴于D1，OA12，OA
26、1A260，OA1E是等边三角形，A1（1，），k，y和y，过A2作A2D2x轴于D2，A2EFA1A2A360，A2EF是等边三角形，设A2（x，），则A2D2，RtEA2D2中，EA2D230，ED2，OD22+x，解得：x11（舍），x21+，EF2（1）22，A2D2，即A2的纵坐标为；过A3作A3D3x轴于D3，同理得：A3FG是等边三角形，设A3（x，），则A3D3，RtFA3D3中，FA3D330，FD3，OD32+22+x，解得：x1（舍），x2+；GF2（）22，A3D3（），即A3的纵坐标为（）；An（n为正整数）的纵坐标为：（1）n+1（）；故答案为：（1）n+1（）；【
27、点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质和判定，直角三角形30度角的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，并与方程相结合解决问题【考点7 求反比例函数的解析式】【例7】（2019秋庐阳区校级月考）已知与成反比例，当时，求与的函数表达式【分析】设出解析式，利用待定系数法求得比例系数即可求得其解析式【答案】解：设y1，根据题意得51k，解得k6，y1，即y【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y（k为常数，k0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（
28、4）写出解析式【变式7-1】（2018秋金山区期末）已知：，并且与成正比例，与成反比例当时，；当时，（1）求关于的函数解析式；（2）求当时的函数值【分析】（1）可设y1k1（x1），y2（k10，k20），把已知条件代入则可求得y与x的函数解析式；（2）把x8代入（1）求得函数解析式求解【答案】解：（1）由题意可设y1k1（x1），y2（k10，k20），yy1+y2k1（x1）+把x2，y5；x2，y9代入可得：，解得，y关于x的函数解析式为y2（x1）+；（2）当x8时，y2（81）+【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字
29、母区分【变式7-2】（2018秋浦东新区期末）已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，求与之间的函数关系式【分析】根据题意设出函数关系式，把x1时y3，当x2时，y3代入y与x间的函数关系式便可求出未知数的值，从而求出其解析式【答案】解：y1与x2成正比例，y1k1x2y2与x1成反比例，y2yk1x2+当x1时，y3；x2时，y3；解得：yx2【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和正比例函数的解析式，掌握待定系数法求函数解析式的方法是解本题的关键【变式7-3】（2018秋包河区期末）如图，已知点在双曲线上，连结，若将线段绕点逆时针旋转得到线段，求经过点的双曲线的表达式【分析】
30、过P，Q分别作PMx轴，QNx轴，利用AAS得到两三角形全等，由全等三角形对应边相等及反比例函数k的几何意义确定出所求即可【答案】解：如图，过P，Q分别作PMx轴，QNx轴，POQ90，QON+POM90，QON+OQN90，POMOQN，由旋转可得OPOQ，在QON和OPM中，QONOPM（AAS），ONPM，QNOM，设P（a，b），则有Q（b，a），由点P在y图象上，得到ab3，ab3，经过点Q的双曲线的表达式为y【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，以及坐标与图形变化，熟练掌握待定系数法是解本题的关键【考点8 反比例函数与一次函数综合】【例8】（
31、2019秋武陵区校级月考）已知、两点是反比例函数与一次函数图象的两个交点（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求的面积；（3）观察图象，直接写出不等式的解集【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m的值；由点B的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出点B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析；（2）求得C的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；（3）结合函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集；【答案】解：（1）A（a，2a）、B（2，a）两点在反比例函数y的图象上，m2aa2a，
32、解得a1，m2，A（1，2），B（2，1），反比例函数的解析式为y将点A（1，2）、点B（2，1）代入到ykx+b中，得：，解得：，一次函数的解析式为yx1（2）在直线yx1中，令y0，则x10，解得x1，C（1，0），SAOBSAOC+SBOC12+1；（3）观察函数图象，发现：当x2或0x1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，不等式kx+b0的解集为x1或0x2【点睛】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的解析式；要能够熟练借助直线和x轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积【变式8-1】（2019新蔡县一模）如图，在直角坐标系中，直线与双曲线相交于、两点，轴，垂足为，的面积是1（1）求
33、、的值；（2）求直线的解析式（3）点在双曲线上，且的面积等于面积的，求点的坐标【分析】（1）由题意，根据对称性得到B的横坐标为1，确定出C的坐标，根据三角形AOC的面积求出A的纵坐标，确定出A坐标，将A坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出m与n的值；（2）设直线AC解析式为ykx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AC的解析式；（3）根据题意求得POC的面积为，根据三角形面积公式得到|yP|，解得yP1，从而求得P的坐标【答案】解：（1）直线ymx与双曲线y相交于A（1，a）、B两点，B点横坐标为1，即C（1，0），AOC的面积为1，A（1，2），将A（1，2）代入ym
34、x，y可得m2，n2；（2）设直线AC的解析式为ykx+b，ykx+b经过点A（1，2）、C（1，0），解得k1，b1，直线AC的解析式为yx+1；（3）A（1，2），C（1，0），B（1，2），SABC222，POC的面积等于ABC面积的，SPOC，SPOCOC|yP|，|yP|，解得yP1，P（2，1）或（2，1）【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图象与性质，待定系数法确定函数解析式，三角形面积等，熟练掌握待定系数法是解本题的关键【变式8-2】（2019春京口区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象
35、与轴交于点（1）求一次函数的解析式；（2）若反比例函数y，当y2时，x的取值范围是 （3）根据函数的图象，直接写出不等式kx+b的解集（4）点P是x轴上一点，且BOP的面积是BOA面积，求点P的坐标【分析】（1）利用待定系数法求出A，B的坐标即可解决问题（2）求出y2时x的值，再利用图象法解决问题即可（3）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题（4）根据SAOBSAOC+SBOC，求出OAB的面积，设P（m，0），构建方程即可解决问题【答案】解：（1）由题意A（1，6），B（2，3），则有，解得，一次函数的解析式为y3x+3（2）对于反比例函数y，当y2
36、时，x3，当0x3时，y2故答案为0x3（3）不等式kx+b的解集为：x1或0x2（4）连接OA，OB，由题意C（0，3），SAOBSAOC+SBOC31+32设P（m，0），由题意|m|3，解得m3，P（3，0）或（3，0）【点睛】本题考查反比例函数的性质，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题【变式8-3】（2019春卧龙区期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点（1），；（2）根据函数图象可知，当时，的取值范围是；（3）过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点设直线与线段交于点，当时，求直线的解析式【分析】（1）先把
37、B点坐标代入入y1k1x+2可确定一次函数解析式，再把B（8，2）代入y2可确定反比例函数解析式；（2）观察函数图象得到当8x0或x4，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（3）先确定点A的坐标是（4，4），点C的坐标是（0，2），再计算出S梯形ODAC12，由S梯形ODAC：SODE3：1可求得SODE，可求得DE2，则可求得E的坐标为，然后确定直线OP的解析式【答案】解：（1）把B（8，2）代入y1k1x+2得8k1+22，解得k1，一次函数解析式为y1x+2；把B（8，2）代入y2得k28（2）16，反比例函数解析式为y2，故答案为：，16；（2）当y1y2时即直线在反比例函数图象的上方
38、时对应的x的取值范围，8x0或x4；故答案为：8x0或x4；（3）把A（4，m）代入y2得4m16，解得m4，点A的坐标是（4，4），而点C的坐标是（0，2），CO2，ADOD4S梯形ODAC（2+4）412，S梯形ODAC：SODE3：1，SODE124，ODDE4，DE2，点E的坐标为（4，2）设直线OP的解析式为ykx，把E（4，2）代入得4k2，解得k，直线OP的解析式为yx【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积等，在（1）中注意函数图象的交点坐标满足两个函数解析式；在（3）中求得E点的坐标是
39、解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大【考点9 反比例函数的实际应用】【例9】（2019秋碑林区校级月考）某小学为每个班级配备了一种可加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温与通电时间（分的关系如下图所示，回答下列问题：（1）当0x8时，求与之间的函数关系式；（2）求出图中的值；（3）某天早上，李优老师将放满水后的饮水机电源打开，若他想在上课前能喝到不超过的温开水，问：他应在什么时间段内接水？【分析】（1）由函数图象可设函数解析式，再将图中坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得y与x的
40、关系式；（2）将y20代入y，即可得到a的值；（3）要想喝到不超过40的开水，7：30加20分钟即可接水，一直到8：10；【答案】解：（1）当0x8时，设y与x之间的函数关系式为ykx+b（k0），将（0，20），（8，100）代入ykx+b，得：，解得：，当0x8时，y与x之间的函数关系式为y10x+20；（2）当8xa时，设y与x之间的函数关系式为：y（k20），将（8，100）代入y，得：100解得：k2800，当8xa时，y与x之间的函数关系式为：y；将（a，20）代入y，得：a40；（3）依题意，得：40，解得：x20x40，20x40他应在7：408：00时间段内接水【点睛】本题考
41、查了一次函数与反比例函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出两个函数的解析式【变式9-1】（2019春西城区校级期中）心理学家研究发现，一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力随时间（分的变化规律如图所示，其中、分别为线段，为双曲线的一部分（1）写出线段和双曲线的函数关系式（不要求指出自变量取值范围）：线段AB：=；双曲线CD：=；（2）开始上课后第5分钟时的注意力水平为，第30分钟时的注意力水平为，则、的大小关系是；（3）在一节课中，学生大约最长可以连续保持分钟（精确到1分钟），使得注意力维持在32以上【分析】（1）利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，进而得出答案；（2）利用（1）中所求，得出第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；（3）分别求出注意力指数为32时的两个时间，求差即可得到结论【答案】解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1k1x+20，把B（10，40）代入得，k12，AB解析式为：y12x+20（0x1
