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1、二次函数知识点总结及典型例题讲解一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点
2、或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：（2）顶点式：（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。三、二次函数的性质 1、二次函数的性质函数二次函数图像a0a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x
3、时，y随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，2、二次函数中，的含义：表示开口方向：0时，抛物线开口向上 0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当0时，图像与x轴没有交点。补充：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2） 则AB间的距离，即线段AB的长度为 y A
4、 x B 02、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）左加右减、上加下减四、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，当时，。典型例题1. 已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）A0B1C2D3【答案】D2. 如图为抛物线的
5、图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是 Aab=1 B ab=1 C b2a D ac0 【答案】B3. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）.【答案】D4. 如图，已知二次函数的图象经过点（1，0），（1，2），当随的增大而增大时，的取值范围是 （1,-2）-1【答案】5. 在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与y轴的交点旋转180，所得抛物线的解析式（ ）A B C D【答案】B6. 已知二次函数的图像如图，其对称轴，给出下列结果，则正确的结论是（ ）A B C D 【答案】 D7抛物线上部分点的横坐标，纵坐
6、标的对应值如下表：x21012y04664从上表可知，下列说法中正确的是 （填写序号）抛物线与轴的一个交点为（3,0）； 函数的最大值为6；抛物线的对称轴是； 在对称轴左侧，随增大而增大【答案】8. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（2，4），过点A作ABy轴，垂足为B，连结OA(1)求OAB的面积；(2)若抛物线经过点A求c的值；将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在OAB的内部（不包括OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）解：(1) 点A的坐标是（2，4），ABy轴，AB=2，OB4，(2)把点A的坐标（2，4）代入，得，c4， 抛物线顶点D
7、的坐标是(1，5)，AB的中点E的坐标是（1，4），OA的中点F的坐标是（1，2）， m的取值范围为lm39已知二次函数y= x 2+ x的图像如图（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴、y轴的交点分别为A、B、C三点，若ACB=90，求此时抛物线的解析式； （3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作D，试判断直线CM与D的位置关系，并说明理由解：（1）二次函数y=-x2+x的对称轴为x=3，D（3，0）（2）设抛物线向上平移h个单位（h0），则平移后的抛物线解析式为y=-x2+x+h ACB=90，OC2=O
8、AOB 设点A、B的横坐标分别为x1、x2，则h2=- x1x2 x1、x2是一元二次方程-x2+x+h=0的两个根，x1x2=-4h，h2=4h，h=4，抛物线的解析式为y=-x2+x+4（3）CM与D相切，理由如下：连结CD、CM，过点C作CNDM于点D，如下图所示：AB是D的直径，ACB=90，点C在D上根据平移后的抛物线的解析式y=-x2+x+4可得：OD=3，OC=4，DM=，CD=5CN=3，MN=，CM=CM=，CD=5，DM=，CDM是直角三角形且DCM=90，CM与D相切10. 如图10，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB10，以AB为直径的O与y轴正半轴交于点C，
9、连接BC，AC.CD是O的切线，ADCD于点D，tanCAD，抛物线过A，B，C三点.（1）求证：CADCAB；（2）求抛物线的解析式；判定抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形.若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.（1）证明：连接OC.CD是O的切线，OCCD ADCD，OCAD，OCACADOCOA，OCACAB， CADCAB（2）AB是O的直径，ACB90OCAB，CABOCB，CAOBCO，即tanCAOtanCAD，OA2OC又AB10， ， OC0OC4，OA8，OB2A（8，0），B（
10、2，0），C（0，4）抛物线过A，B，C三点.c4由题意得，解之得，设直线DC交x轴于点F，易证AOCADC，ADAO8.OCAD，FOCFAD，8(BF5)5(BF10)，设直线DC的解析式为，则，即由得顶点E的坐标为将代入直线DC的解析式中，右边左边.抛物线的顶点E在直线CD上11. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BCAD，BAD= 90，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1，0），B( -1，2)，D( 3，0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N（1）求抛物线的解析式（
11、2）抛物线上是否存在点P使得PA= PC若存在，求出点P的坐标；若不存在请说明理由。（3）设抛物线与x轴的另个交点为E点Q是抛物线的对称轴上的个动点，当点Q在什么位置时有最大？并求出最大值。ABCDOENMxy图（1）解：由题意可得M（0，2），N（-3，2） ， 解得：y=（2）PA= PC ，P在AC的垂直平分线上，依题意，AC的垂直平分线经过B（-1，2），（1，0）， 这条直线为y=x+1 解得：， P1（）， P2（）（3）D为E关于对称轴x=15对称，CD所在的直线y=x+3 yQ=45，Q（-15，45）最大值为CD=个单位/秒 （3）（）, 当时，有最大值为， 此时 12如图，
12、抛物线y=x2+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；判断ABC的形状，证明你的结论；点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值（1）点A（-1，0）在抛物线y=x2 + bx-2上， (-1 )2 + b (-1) 2 = 0，解得b =抛物线的解析式为y=x2-x-2. y=x2-x-2 = ( x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,顶点D的坐标为 (, -). （2）当x = 0时y = -2, C（0，-2），OC = 2当y = 0时， x2-x-2 = 0， x1 = -1, x2 = 4, B (4,
13、0)OA = 1, OB = 4, AB = 5. AB2 = 25, AC2 = OA2 + OC2 = 5, BC2 = OC2 + OB2 = 20,AC2 +BC2 = AB2. ABC是直角三角形.（3）作出点C关于x轴的对称点C，则C（0，2），OC=2，连接CD交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小设直线CD的解析式为y = kx + n , 则，解得n = 2, . .当y = 0时， ， . 13. （2011浙江金华， 10分）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半
14、轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a0)过矩形顶点B、C.（1）当n1时，如果a=1，试求b的值；（2）当n2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，试求出当n=3时a的值；直接写出a关于n的关系式. yxOCAB图1图2图3解：（1）由题意可知，抛物线对称轴为直线x=，,得b= 1； （2）设所求抛物线解析式为，由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点M（，2）xyOABCD 解得 所求抛物线解析式为（3）当n=3时，OC=1，BC=3，设所求抛物线解析式为，过C作CDOB于点D，则RtOCDRtCBD，xyOCEABMNF, 设OD=t，则CD=3t， ， ,C（，）, 又 B（，0）， 把B 、C坐标代入抛物线解析式，得 解得:a=； .
