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1、非线性方程数值解法的探讨与MATLAB实现摘 要非线性方程在实际问题中经常出现，如科学与工程计算，因此研究和探讨非线性方程求解的方法具有重要的实际意义. 摘要字数：150-500，内容至少分两段：第一段是背景叙述、第二段论文研究的方法与结论等 本文首先介绍了非线性方程的概念及相关背景；其次描述了非线性方程常用的一些数值方法：二分法，牛顿迭代法，割线法；然后针对各种方法编写MATLAB程序，并对非线性方程的实例进行数值计算，比较各种算法的优劣；最后介绍了割线法在实际生活中的应用.关键词：非线性方程，二分法，牛顿迭代法，割线法关键词的个数至少3个，用逗号分隔、结尾无符号Discussion and
2、 MATLAB Realization of Nonlinear Numerical Solution 题目实词的首写字母大写，其余均小写 Author: Feng Wenghao Tutor: Zhang RongyanAbstractIn practical problems, nonlinear equations often appear, such as scientific and engineering computing. Therefore, to study and explore methods of nonlinear equations has important p
3、ractical significance.此部分与中文摘要一致；标点符号均为英文状态下的符号. 其它格式与中文摘要一致In this paper, we describe the concept and background of nonlinear equations first; second, it describes the commonly used numerical methods of nonlinear equations: Dichotomy, Newton iteration method, Secant method. Then we use MATLAB to wr
4、ite computer program aimed at these methods，do numerical calculations in some practical problems of nonlinear equations and make comparison of various methods. Finally，the application of secant method in real life.Keywords: Nonlinear equation, Dichotomy, Newton iteration method, Secant method（空一行、小五
5、号、1倍行距）目 录目录中间空7个字符，居中、三号黑体、1.5倍行距（空一行、三号、1.5倍行距）1 绪论11.1 数值方法背景简介11.2 非线性方程简介21.2.1 非线性方程的背景21.2.2 非线性方程的研究内容21.2.3 根的存在性定理32 非线性方程的数值解法42.1 引言42.2 二分法42.2.1 二分法简介42.2.2 二分法的原理42.3 牛顿迭代法52.3.1 牛顿迭代法的简介52.3.2 牛顿迭代法的原理52.3.3 牛顿迭代法的几何意义62.4 割线法72.4.1 割线法简介72.4.2 割线法的原理83 非线性方程的MATLAB实现93.1 二分法93.1.1 二
6、分法的MATLAB程序93.1.2 应用举例103.2 牛顿迭代法123.2.1 牛顿迭代法的MATLAB程序123.2.2 应用举例133.3 割线法143.3.1 割线法的MATLAB程序143.3.2 应用举例154 方法的分析与对比174.1 构造非线性方程迭代公式174.2 计算迭代公式175 实际应用215.1 引言215.2 问题提出215.3 模型建立225.4 模型求解23结论25致谢26参考文献271、1.5倍行距2、小四号、3、一级标题黑体字、其余为宋体4、注意各级标题和页码要与文章中的标题和页码一致，更改后及时更新1 绪论一级标题：段前、段后25磅，两倍行距，三号、黑体
7、，数字新罗马体1.1 数值方法背景简介二级、三级等：段前、段后0.5行，1.5倍行距，小四号、黑体，数字新罗马体数值分析又称数值计算方法或数值方法，是研究数值问题算法的一门学问，它研究如何借用计算工具求得数学问题的数值解答这里的数学问题是指数值问题，所谓数值问题，是给出一组数值型数据，通常是一些实数，称为初始数据，去求解另外一组数值型数据，问题的本身反映了这两组数据之间的一定关系函数计算、方程求根就是数值问题的典型例子除此之外，数学中还存在着大量的非数值问题，如定理的证明、几何的作图和组态的枚举等问题都不是研究的对象同时数值分析(Numerical Analysis)是研究数值求解各类数学问题
8、的方法和相应的数学理论研究的对象是数学问题，所用的方法是数学方法，因此也称数值数学(Numerical Mathematics)研究的内容可划分为以下几个主要方面：正文：1.5倍行距、小四号、汉字宋体、数字新罗马体首行缩进两个字符。标点符号：句号用英文状态全角“”，其余标点符号用中文状态下。(1) 数值代数：主要包括线性方程组和非线性方程组的数值解法、特征值与特征向量的数值计算等内容；(2) 数值逼近；(3) 常微分方程和动力系统的数值解法；(4) 偏微分方程的数值解法；(5) 最优化理论与方法；(6) 误差理论数值方法的特点，就是说求解一个数学问题的数值方法是要给出该问题的一个近似的数值结果
9、因此，首先数值结果要能算得出来其次结果应有一定的精度，满足实际问题的要求，一般要求误差满足指定的值第三，计算时间应尽可能少求解一个数学问题的数值方法一般有多种在保证所需精度的条件下，计算时间越少的数值方法越好对串行机而言，这相当于计算量越少越好1参考文献标注在右上角、小四号、新罗马字体、参考文献的编号要与后面参考文献一致，不能乱编 1.2 非线性方程简介1.2.1 非线性方程的背景非线性科学是近年来备受科学工作者和工程技术人员关注的科学，求非线性数学物理问题(包括常微、偏微边值问题，积分方程，积分微分方程等)、非线性力学、非线性优化、数理经济学等问题，又是非线性科学中最基本的问题，而上述问题最
10、终都归结为求非线性方程，因此研究非线性方程的求解方法有着十分重要的意义.1.2.2 非线性方程的研究内容科学计算中常常要求下列非线性方程组： (1.1)公式居中、用公式编辑器编辑；公式的编号按照章节编辑，编号右对齐其中为给定在维欧式空间中的区域上的实值函数.引进向量符号，令则(1.1)可写成 (1.2)这里表示定义在上取值于的非线性映像简记为若存在，使，则称为方程(1.2)的解2.非线性方程可分为两类：一类是多项式方程，这类方程可以定义为：，. 另一类是非多项式方程，它不能用多项式方程的形式表示，没有固定的形式.求解第一类多项式方程，现在已经有了比较成熟的理论和方法，现在比较常用的一种数值方法
11、是迭代法，能通过迭代次数的增加，从而越来越接近方程的解；求解第二类非多项式方程，是现在数学领域中的一个重点研究方向，一般来说，求解此类方程是采用随机搜索的办法.1.2.3 根的存在性定理设为实变量的实值函数，求方程的解，或者说求的根，一般分为两个步骤. 首先，利用数学分析工具确定其根的分布区域，然后在该区域中利用更精细的方法逐步逼近法求得其根.设为的根，即 如果存在正整数，使，且，则称为其重根.当时，称之为单根.下述介值定理是确定根存在区间的最简单方法.定理1：若在上连续，且，则在上至少有一个根.定理2：设在的邻域，连续可微且，则方程式在有解存在且唯一3.2 非线性方程的数值解法2.1 引言本
12、章重点介绍了二分法、牛顿迭代法和割线法，通过他们的原理及方法推理来说明这几种方法在求解非线性代数方程的重要性，以及为下面编写算法奠定基础.2.2 二分法2.2.1 二分法简介二分法是区间迭代法的一种.它是重复运用根的存在性定理，每次将区间压缩一半且其中一个区间至少包含一个根，逐步缩短区间，直至最终区间长度满足一定的精度要求为止.2.2.2 二分法的原理3 非线性方程的MATLAB实现3.1 二分法3.1.1 二分法的MATLAB程序function k，x，wuca，yx=erfen(a，b，abtol)% 和为闭区间的左右端点，为事先给定的精度，为二分法的次数，为精确根的近似值，而为函数在的
13、近似值处的函数值，而是使用次二分法得到的小区间长度的一半，即实根的近似值的绝对精度限.a(1)=a; b(1)=b;ya=fun(a(1); yb=fun(b(1); %程序中调用的fun.m，此函数所求的非线性方程.if ya* yb0， % 零点定理条件判定.disp (注意：ya*yb0，请重新调整区间端点a和b.)， returnendmax1=-1+ceil(log(b-a)- log(abtol)/ log(2); % ceil是向方向取整for k=1: max1+1a;ya=fun(a);b;yb=fun(b); x=(a+b)/2;yx=fun(x); wuca=abs(b-
14、a)/2; k=k-1;k，a，b，x，wuca，ya，yb，yxif yx=0a=x; b=x;else if yb*yx0b=x;yb=yx;elsea=x; ya=yx;endif b-ax=-4:0.1:4;y=x.3-x +1; plot(x, y) grid，gtext(y=x3-x+1) 运行结果：图3.1 函数的图像图形的编号按照章节编写；图名在图形的下方书写，五号黑体加粗、居中，数字和字母新罗马体加粗从图(3.1)以看出11，在内曲线与x轴只有一个交点，则该方程有唯一一个实根，且在内.方法2 搜索法在MATLAB工作窗口输入程序 x=-4:1:4 y=x.3-x+8运行后输出
15、结果x = -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y = -59 -23 -5 1 1 1 7 25 61 由于连续函数满足，所以此方程在内有一个实根.(3)用二分法的MATLAB程序计算首先保存牛顿切线法的MATLAB程序为M文件，命名为erfen.m.其次建立名为fun.m的M文件function y=fun(x)y=x.3-x+8;最后在MATLAB工作窗口输入程序 k，x，wuca，yx=erfen (-2,-1,0.001)运行后屏幕显示用二分法计算过程被列入表3.1，其余结果为表3.1二分法求值结果1、表的编号按照章节编写；2、表名在图形的上方书写，五号黑体加粗、居中，数字和
16、字母新罗马体加粗；3、表内部文字：五号、宋体、居中4、表居中次数左端点右端点中点函数值函数值函数值0-2.0000-1.0000-1.5000-0.5000-0.50001.0000-0.87501-1.5000-1.0000-1.25000.2500-0.87501.00000.29692-2.000 0-1.750 0-1.875 00.125 0-2.000 00.390 6-0.716 83-1.3750-1.2500-1.31250.0625-0.22460.2969-0.05154-1.3750-1.3125-1.34380.0313-0.22460.0515-0.08265-1.
17、3438-1.3125-1.32810.0156-0.08260.0515-0.01466-1.3281-1.3125-1.32030.0078-0.01460.05150.01877-1.3281-1.3203-1.32420.0039-0.01460.01870.00218-1.3281-1.3243-1.32620.0020-0.01460.0021-0.00629-1.3262-1.3242-1.32520.0010-0.00620.0021-0.00204 方法的分析与对比4.1 构造非线性方程迭代公式结论本文介绍了非线性方程的概念及相关背景，着重描述了非线性方程求解的一些常用方法：
18、二分法，牛顿迭代法，割线法.在这些方法当中，牛顿迭代法是求解非线性方程的一种非常常用并且有效的方法，但是牛顿迭代法有一些应用条件限制，因此又提出了割线法.然后针对各种方法编写MATLAB程序，并对非线性方程的实例进行数值计算，比较各种算法的优劣，最后介绍了割线法在实际生活中的应用. 通过使用MATLAB软件求解不仅可以对算法进一步了解，而且还可以对编写程序进行进一步学习，通过所编写的程序，输入简单的命令就可得到结果，轻松完成自己计算难以处理的含有大量数据的工作这样能够拓展知识面，也说明基础概念融会贯通的重要性和必要性. 致谢四年的大学生活即将接近尾声，经历过的点点滴滴仍时时浮现在眼前，倍感亲切
19、和温馨本文是在我的导师张荣艳老师的精心指导和悉心关怀下完成的，从论文的选题，调研到完稿，修改和最后完成，无不倾注着导师辛勤的汗水和心血导师那严谨的治学态度、渊博的知识、无私的奉献精神都使我深受感染，受益匪浅从尊敬的导师身上，我不仅学到了扎实、宽广的专业知识，还学到了为人处事的道理这些都将影响我今后的工作、学习和生活，对我走好今后的人生道路具有极其重要的作用，给予我帮助和启示在此我要向我的导师致以最真挚的谢意 另外，感谢学院给我们一个良好的学习环境，感谢每位任课老师、辅导员、教研办公室的老师给与我多方面的关心、指导与帮助，感谢同学们的热情帮助还要感谢我的家人多年来对我的关心和支持，正是他们无微不
20、至的关爱激励着我不断前行感谢我的朋友们给我的鼓励和支持，是他们让我变得更加勇敢坚强参考文献参考文献的格式：看毕业论文指导手册1 冯果忱，黄明游数值分析M北京：高等教育出版社，20072 黄象鼎，曾钟钢，马亚楠非线性数值分析M武汉：武汉大学出版社，20003 刘长安数值分析教程M西安：西北工业大学出版社，20054 李庆杨，王能超，易大义数值分析(第五版)M北京：清华大学出版社，20085 张光澄实用数值分析M成都：四川大学出版社，20046 JIA Hua-bing，XU Wei.Exact Solutions for the Nonlinear Diffusion EquationJ,CHI
21、NE-SE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS，26(3):397-407.7 齐志昌数值分析及其应用M长沙：国防科技大学出版社，19878 Curtis F.Gerald，PatrickO.WheatleyApplied Numerical Analysis(Seventh Edition)M北京：高等教育出版社(影印版)，20069 施吉林，刘淑珍，陈桂芝计算机数值方法M北京：高等教育出版社，200510 胡晓东，董辰辉MATLAB从入门到精通M北京：人民邮电出版社，2010.11 关治，陈精良数学计算方法M北京：清华大学出版社，199012 任玉杰数值分析及其MATLAB实现M北京：高等教育出版社，2007
