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1、第二部分 古典控制理论基础习题详解一 概述2-1-1 试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点。【解】：控制系统优点缺点开环控制简单、造价低、调节速度快调节精度差、无抗多因素干扰能力闭环控制抗多因素干扰能力强、调节精度高结构较复杂、造价较高2-1-2 试列举几个日常生活中的开环和闭环控制系统的例子，并说明其工作原理。【解】：开环控制半自动、全自动洗衣机的洗衣过程。工作原理：被控制量为衣服的干净度。洗衣人先观察衣服的脏污程度，根据自己的经验，设定洗涤、漂洗时间，洗衣机按照设定程序完成洗涤漂洗任务。系统输出量（即衣服的干净度）的信息没有通过任何装置反馈到输入端，对系统的控制不起作用，因此为开环控制
2、。闭环控制卫生间蓄水箱的蓄水量控制系统和空调、冰箱的温度控制系统。工作原理：以卫生间蓄水箱蓄水量控制为例，系统的被控制量（输出量）为蓄水箱水位（反应蓄水量）。水位由浮子测量，并通过杠杆作用于供水阀门（即反馈至输入端），控制供水量，形成闭环控制。当水位达到蓄水量上限高度时，阀门全关（按要求事先设计好杠杆比例），系统处于平衡状态。一旦用水，水位降低，浮子随之下沉，通过杠杆打开供水阀门，下沉越深，阀门开度越大，供水量越大，直到水位升至蓄水量上限高度，阀门全关，系统再次处于平衡状态。2-1-3 试判断下列微分方程所描述的系统属何种类型（线性、非线性；定常、时变）。（1）； （2）； （3）； （4）。
3、【解】：（1）线性定常系统；（2）线性时变系统；（3）非线性定常系统；（4）线性定常系统。题2-1-3图2-1-4 根据题2-1-1图所示的电动机速度控制系统工作原理图：（1）将a，b与c，d用线连接成负反馈系统；（2）画出系统方框图。【解】：（1）a-d连接，b-c连接。（2）系统方框图题2-1-4解图题2-1-5图2-1-5 下图是水位控制系统的示意图，图中,分别为进水流量和出水流量。控制的目的是保持水位为一定的高度。试说明该系统的工作原理并画出其方框图。【解】：当输入流量与输出流量相等时，水位的测量值和给定值相等，系统处于相对平衡状态，电动机无输出，阀门位置不变。当输出流量增加时，系统水
4、位下降，通过浮子检测后带动电位器抽头移动，电动机获得一个正电压，通过齿轮减速器传递，使阀门打开，从而增加入水流量使水位上升，当水位回到给定值时，电动机的输入电压又会回到零，系统重新达到平衡状态。反之易然。题2-1-5解图2-1-6 仓库大门自动控制系统如图所示，试分析系统的工作原理，绘制系统的方框图，指出各实际元件的功能及输入、输出量。【解】：当给定电位器和测量电位器输出相等时，放大器无输出，门的位置不变。假设门的原始平衡位置在关状态，门要打开时，“关门”开关打开，“开门”开关闭合。给定电位器与测量电位器输出不相等，其电信号经放大器比较放大，再经伺服电机和绞盘带动门改变位置，直到门完全打开，其
5、测量电位器输出与给定电位器输出相等，放大器无输出，门的位置停止改变，系统处于新的平衡状态。系统方框图如解图所示。题2-1-6解图元件功能电位器组将给定“开”、“关”信号和门的位置信号变成电信号。为给定、测量元件。放大器、伺服电机将给定信号和测量信号进行比较、放大。为比较、放大元件。绞盘改变门的位置。为执行元件。门被控对象。系统的输入量为“开”、“关”信号；输出量为门的位置。二 控制系统的数学模型题2-1-1图2-2-1 试建立下图所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压和位移为输入量；电压和位移为输出量；和为弹簧弹性系数；为阻尼系数。【解】：方法一：设回路电流为，根据克希
6、霍夫定律，可写出下列方程组：削去中间变量，整理得：方法二：由于无质量，各受力点任何时刻均满足，则有： 设阻尼器输入位移为，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程结论：、互为相似系统，、互为相似系统。四个系统均为一阶系统。2-2-2 试求题2-2-2图所示各电路的传递函数。题2-2-2图【解】：可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数。(a) 9(b) (c) (d) 2-2-3 工业上常用孔板和差压变送器测量流体的流量。通过孔板的流量与孔板前后的差压的平方根成正比，即，式中为常数，设系统在流量值附近作微小变化，试将流量方程线性化。【解】：取静态工作点，将函数在静态工作点附近展开成泰勒级数，
7、并近似取前两项设（R为流动阻力），并简化增量方程为2-2-4 系统的微分方程组为：式中均为正的常数，系统的输入为，输出为，试画出动态结构图，并求出传递函数。【解】：对微分方程组进行零初始条件下的Laplace变换得：绘制方框图题2-2-4图传递函数为 题2-2-5图2-2-5 用运算放大器组成的有源电网络如题2-2-5图所示，试采用复阻抗法写出它们的传递函数。【解】：利用理想运算放大器及其复阻抗的特性求解。2-2-6 系统方框图如题2-2-6图所示，试简化方框图，并求出它们的传递函数。 (a) (b)(c)(d)题2-2-6图【解】：(1)(2)(3)(4)（b）(1)(2)(3)(4)（c）
8、(1)(2)(3)(4)(d) (1)(2)(3)(4)题2-2-7图2-2-7 系统方框图如题2-2-7图所示，试用梅逊公式求出它们的传递函数。【解】：（a）（1）该图有一个回路 （2）该图有三条前向通路所有前向通路均与回路相接触，故。（3）系统的传递函数为（b）（1）为简化计算，先求局部传递函数。该局部没有回路，即，有四条前向通路：所以 （2）题2-2-8图2-2-8 设线性系统结构图如题2-2-8图所示，试（1） 画出系统的信号流图；（2） 求传递函数及。【解】：（1） 系统信号流图如图：（2） 求传递函数。令。有三个回路：和互不接触： 因此 有三条前向通路： 求传递函数。令。求解过程同
9、，不变。2-2-9 系统的动态结构图如图所示，试求题2-2-9图（1）求传递函数和； （2）若要求消除干扰对输出的影响，求【解】：（1）根据梅森增益公式得（2）根据题意2-2-10 某复合控制系统的结构图如图所示，试求系统的传递函数。题2-2-10图【解】：根据梅森增益公式得：2-2-11 系统微分方程如下： 试求系统的传递函数及。其中r，n为输入，c为输出。均为常数。【解】：（1）对微分方程组进行零初始条件下的Laplace变换,并加以整理得 （2）画出系统结构图 题2-2-11解图（3）求传递函数，令（4）求传递函数，令2-2-12 已知系统方框图如图所示，试求各典型传递函数。题2-2-1
10、2图【解】：（1）求。令（2）求。令（3）求。令三 时域分析法2-3-2 二阶系统单位阶跃响应曲线如图所示，试确定系统开环传递函数。设系统为单位负反馈式。题2-3-2图【解】 系统的开环传递函数为：2-2-3 已知系统的结构图如图所示（1）当时，求系统的阻尼比，无阻尼振荡频率和单位斜坡输入时的稳态误差；（2）确定以使，并求此时当输入为单位斜坡函数时系统的稳态误差。题2-3-3图【解】（1）时 系统为型 （2）时型系统，2-3-8 已知闭环系统特征方程式如下，试用劳斯判据判定系统的稳定性及根的分布情况。（1） （2）（3） （4）【解】：（1）劳斯表为劳斯表第一列符号没有改变，且特征方程各项系数
11、均大于0，因此系统稳定，该系统三个特征根均位于s的左半平面。（2）劳斯表为劳斯表第一列符号改变二次，该系统特征方程二个根位于右半平面，一个根位于左半平面，系统不稳定。（2） 劳斯表为劳斯表第一列符号没有改变，且特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统四个特征根均位于s的左半平面。（3） 劳斯表为劳斯表第一列符号没有改变，且特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统五个特征根均位于s的左半平面。2-3-9 已知闭环系统特征方程式如下（1） （2）试确定参数K的取值范围确保闭环系统稳定。【解】：（1）根据特征方程列写出劳斯表为：系统稳定的充分必要条件为（2）由三阶系统稳定的充分必要条件得
12、2-3-10 具有速度反馈的电动控制系统如题2-3-10图所示，试确定系统稳定的的取值范围。题2-3-10图【解】：系统的特征方程为系统稳定的条件是。 题2-3-11图2-3-11 已知系统的结构图如图所示，分别求该系统的静态位置误差系数、速度误差系数和加速度误差系数。当系统的输入分别为（1），（2），（3）时，求每种情况下系统的稳态误差。【解】：系统的开环传递函数为 为开环增益。在系统稳定的前提条件下有 （1） ；（2） ；（3） 2-3-12 已知系统的结构图如图所示。（1）确定和满足闭环系统稳定的条件；（2）求当和时，系统的稳态误差；（3）求当和时，系统的稳态误差。题2-3-12图【解】
13、：（1）系统的特征方程为系统稳定时（2）方法一系统开环传递函数为 为开环增益。型系统，根据题意方法二（3）方法一。由得方法二四 根轨迹分析法2-4-2 设负反馈系统的开环传递函数分别如下：（1） （2）（3） （4）试绘制由变化的闭环根轨迹图。【解】：（1）系统有三个开环极点 。 ，有三条根轨迹，均趋于无穷远。题2-4-2（1）解图 实轴上的根轨迹在区间。 渐近线 分离点。方法一 由得不在根轨迹上，舍去。分离点为。分离点处K值为 方法二 特征方程为：重合点处特征方程：令各项系数对应相等求出重合点坐标和重合点处增益取值。 根轨迹与虚轴的交点。系统的特征方程为方法一 令，得方法二 将特征方程列劳斯
14、表为令行等于0，得。代入行，得辅助方程 系统根轨迹如题2-4-2（1）解图所示。题2-4-2（2）解图（2） 根轨迹方程开环零点，开环极点。 实轴上的根轨迹区间。 分离会合点方法一 均在根轨迹上，为分离点，为会合点。方法二 系统特征方程：重合点处特征方程：联立求解重合点坐标：题2-4-2（3）解图 可以证明复平面上的根轨迹是以为圆心，以为半径的圆（教材已证明）。根轨迹如题2-4-1（2）解图所示。（3） 开环零点开环极点。 实轴上的根轨迹区间为 分离点题2-4-2（3）解图为分离点，不在根轨迹上，舍去。分离点K值 出射角 复平面上的根轨迹是圆心位于、半径为的圆周的一部分，如题2-4-1（3）解
15、图所示。题2-4-2（4）解图（4） 四个极点。 渐近线 实轴上的根轨迹区间为。 分离点得，均为分离点，。分离角正好与渐近线重合。 出射角 根轨迹与虚轴的交点 系统根轨迹如题2-4-1（4）解图所示。2-4-3 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ：试绘制由变化的闭环根轨迹图，并求出使系统闭环稳定的值范围。【解】：系统有两对重极点 。 渐近线 实轴上的根轨迹为两点 ，也为分离点。分离角均为。题2-4-3解图 根轨迹与虚轴的交点坐标系统特征方程即 令代入特征方程，得令上式实部虚部分别等于0，则有 该系统根轨迹如题2-4-3解图所示。由图可知，当时，闭环系统稳定。 （1） （2）题2-4-8图2-
16、4-8 系统方框图如题2-4-8图所示，试绘制由变化的闭环根轨迹图。 【解】：（1）根轨迹方程为由变化为零度根轨迹。 开环极点。 实轴上的根轨迹在区间。 该系统根轨迹如题2-4-8解（1）图所示。（2）根轨迹方程为由变化为一般根轨迹。 开环极点。 渐近线与实轴的交点：，渐近线倾角：。 实轴上的根轨迹在区间。题2-4-8解图 分离点 （1） （2）题2-4-8解图 复平面上的根轨迹与渐近线重合，如题2-4-8解图（2）所示。2-4-14 设单位负反馈系统的开环传递函数为 确定值，使根轨迹分别具有：0，1，2个分离点，画出这三种情况的根轨迹。【解】：根轨迹分离点由下式确定，为原点处重极点的分离点，
17、实轴上其他的分离点和汇合点。（1） 0个分离点只要原点处有两个极点，无论何种情况，至少有一个分离点，所以令，则开环传递函数为当由变化，即零度根轨迹时没有分离点。其根轨迹如题2-2-14解图（1）所示。（2） 1个分离点对于一般根轨迹，是一个分离点。所以当不存在，即，时，根轨迹具有一个分离点。设渐近线倾角和渐近线与实轴的交点分别为 实轴上的根轨迹在区间。其根轨迹如题2-2-14解图（2）所示。（3） 2个分离点当或时，有两个分离点。其中对应零度根轨迹的情况。设渐近线倾角和渐近线与实轴的交点分别为 实轴上的根轨迹在区间。分离点会合点 （1） （2） （3）题2-2-14解图其根轨迹如题2-2-14
18、解图（3）所示。五 频域分析法2-5-1 系统单位阶跃输入下的输出,求系统的频率特性表达式。【解】： 闭环传递函数2-5-3 试求图2-5-3所示网络的频率特性，并绘制其幅相频率特性曲线。题2-5-3图【解】：（1）网络的频率特性（2）绘制频率特性曲线题2-5-3解图其中。起始段，。中间段，由于，减小，先减小后增加，即曲线先顺时针变化，再逆时针变化。 终止段，。网络幅相频率特性曲线如题2-5-3解图所示。2-5-4 已知某单位负反馈系统的开环传递函数为，在正弦信号作用下，闭环系统的稳态响应，试计算的值。【解】：系统闭环传递函数为时系统频率特性为由已知条件得，则有2-5-5 已知系统传递函数如下
19、，试分别概略绘制各系统的幅相频率特性曲线。（1） （3） 【解】：对于开环增益为K的系统，其幅相频率特性曲线有两种情况：和。下面只讨论的情况。时，比例环节的相角恒为，故相应的幅相频率特性曲线可由其的曲线绕原点顺时针旋转得到。（1）题2-5-5（1）解图 时， ；时，。特性曲线与虚轴的交点：令 ，即 代入中，该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（1）解图所示。（3）题2-5-5（3）解图时，；求渐近线时，。 该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（3）解图所示。2-5-6 系统开环传递函数如下，试分别绘制各系统的对数幅频特性的渐近线和对数相频特性曲线。（1） （3） 【解】：（1） ，。转折频率，
20、一阶惯性环节；，一阶惯性环节。 ，低频渐近线斜率为0。 系统相频特性按下式计算得w0.010.050.10.20.5110q(w)-5.7-27.5-50.0-79.8-121.0-146.3-176.4系统的对数幅频特性的渐近线和对数相频特性曲线如题2-5-6解图（1）所示。（3） 典型环节的标准形式 ，。 转折频率，一阶惯性环节；，一阶微分环节。 ，低频渐近线斜率为，且其延长线过（1，26dB）点。 系统相频特性按下式计算得w0.010.050.10.1250.20.51q(w)-182.8-192.5-198.4-199.3-198.4-190.5-185.6系统的对数幅频特性的渐近线和
21、对数相频特性曲线如题2-5-6解图（3）所示。2-5-7 试概略绘制下列传递函数相应的对数幅频特性的渐近线。（3） （4）题2-5-7（2）解图（2） ，。 转折频率，不稳定的一阶惯性环节；，一阶惯性环节。 ，低频渐近线斜率为，且过点。该传递函数相应的对数幅频特性的渐近线如题2-5-7（2）解图所示。（4） 典型环节的标准形式 ，。 题2-5-7（4）解图 转折频率，一阶微分环节；，二阶振荡环节。 ，低频渐近线斜率为，且过（1，14dB）点。该传递函数相应的对数幅频特性的渐近线如题2-5-7（4）解图所示。2-5-10 已知系统开环幅相频率特性如图5-66所示，试根据奈氏判据判别系统的稳定性,
22、并说明闭环右半平面的极点个数。其中为开环传递函数在s右半平面极点数，为开环积分环节的个数。题2-5-9解图（1）【解】：（a），系统不稳定，s右半平面有2个闭环极点。（b）作辅助线如解图（1）所示，曲线经过（-1，j0）点一次，虚轴上有2个闭环极点，s右半平面没有闭环极点。系统临界稳定。（c）作辅助线如解图（2）所示，系统稳定，s右半平面没有闭环极点。 （2） （3） （4） （5）题2-5-9解图（d）作辅助线如解图（3）所示，系统不稳定，s右半平面有2个闭环极点。（e）作辅助线如解图（4）所示，系统稳定，s右半平面没有闭环极点。（f）作辅助线如解图（5）所示，系统不稳定，s右半平面有2个闭
23、环极点。（g），系统稳定，s右半平面没有闭环极点。（h），系统稳定，s右半平面没有闭环极点。（i），系统稳定，s右半平面没有闭环极点。2-5-10 设单位负反馈系统开环传递函数（1），试确定使相角裕量等于的a值。（2），试确定使相角裕量等于的K值。（3），试确定使幅值裕量等于20dB的K值。【解】：（1）令 由 （2）令由 （3）令 2-5-11 已知最小相位系统的开环对数幅频特性渐近线如图5-67所示，试求相应的开环传递函数。【解】：（a） ， （b） ， （c） （d） （e） (1)(2)题2-5-12解图2-5-12 已知系统的传递函数为（1）绘制系统的伯德图，并求系统的相位裕量；（2
24、）在系统中串联一个比例微分环节（s+1），绘制系统的伯德图，并求系统的相位裕量；（3）说明比例微分环节对系统稳定性的影响；（4）说明相对稳定性较好的系统，中频段对数幅频应具有的形状。 【解】：（1） 其伯德图如解图（1）所示。剪切频率相角裕量 系统不稳定（特征方程漏项），相角裕量为负数。（2）系统传递函数为其伯德图如解图（2）所示。剪切频率相角裕量系统稳定。（3）一阶微分环节的介入，增加了剪切频率附近的相位，即增加了相位裕量，提高了系统的稳定性。（4）希望中频段折线斜率为-20db/十倍频程，且该斜线的频宽越大越好。题2-5-14图2-5-14 单位反馈系统的开环传递函数为期望对数幅频特性如图
25、所示，试求串联环节的传递函数，并比较串联前后系统的相位裕量。【解】：期望传递函数串联环节的传递函数串联前系统不稳定。串联后系统稳定。2-5-15 某控制系统方框图如图所示（1）绘制系统的奈氏曲线；（2）用奈氏判据判断闭环系统的稳定性，并说明在s平面右半面的闭环极点数。题2-5-15图 【解】：（1）题2-5-15解图时，；时，。曲线逆时针穿过负实轴。求曲线与负实轴的交点令，得奈氏曲线如解图所示。（2）做辅助线如解图所示，。s平面右半面的闭环极点数系统不稳定。（可以用时域分析法验证）2-5-19 设最小相位系统开环对数幅频特性如图所示（1）写出系统开环传递函数；（2）计算开环截止频率；（3）计算
26、系统的相角裕量；（4）若给定输入信号时，系统的稳态误差为多少？【解】：（1）（2）方法一，利用开环对数幅频特性近似计算穿越频率方法二，根据定义计算穿越频率（3）计算相角裕量或（4）系统稳态误差。，型系统，。六 线性控制系统的设计与校正2-6-8 单位负反馈系统开环传递函数，若采用串联最小相位校正装置，图1（a）、（b）、（c）分别为三种推荐的串联校正装置。试问：（1） 写出校正装置所对应的传递函数，绘制对数相频特性草图；（2） 这些校正装置哪一种可以使校正后的系统稳定性最好？（3） 哪一种校正装置对高频信号的抑制能力最强？题2-6-8图【解】：（1）题2-6-8解图（1）校正装置对数相频特性草
27、图如题2-6-8解图（1）所示。（2） 解题方法有两种，一是画出校正后的Bode曲线后，直接进行比较；二是计算校正后的穿越频率和相角裕量。方法一校正后的Bode曲线如解图2和解图3所示。由图可知，装置（c）使校正后的系统稳定性最好。方法二（a） （b）题2-6-8解图2（c）题2-6-8解图3 结论：（c）校正装置可以使校正后的系统稳定性最好。（3） （a）校正装置对高频段信号是衰减的，因此，从抑制高频干扰的角度出发其效果最好。 2-6-9 已知最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图所示。（1）写出开环传递函数；（2）确定使系统稳定的K的取值区间；（3）分析系统是否存在闭环主导极点，若有，则利
28、用主导极点的位置确定是否通过K的取值，使动态性能指标同时满足，说明理由。题2-6-9图（4）若系统动态性能指标满足要求，但KV较小,试考虑增加什么校正环节,可以在保证系统动态性能的前提条件下,满足对的要求,说明理由。【解】：（1）开环传递函数（2）系统特征方程系统稳定的条件题2-6-9解图（3）改变开环传递函数为零极点分布形式则根轨迹方程为绘制根轨迹草图如下所示：计算实轴上的分离点：系统存在两个主导极点。 按照此条件在根轨迹图上画出主导极点允许区域。可见有部分根轨迹在允许区域内，选择K的取值，能使动态性能指标满足要求。（4）增加一个滞后校正环节，传递函数为，使其在负实轴上靠近原点处构成一对偶极
29、子。偶极子对系统动态性能影响较小，但可使速度误差系数扩大 倍。2-6-11 超前校正装置的传递函数分别为（1）；（2）。绘制Bode图，并进行比较。【解】：校正装置Bode图如解图所示。题2-6-11解图两个校正装置都是超前校正装置。但装置（1）超前频段较（2）要宽，则（1）的超前幅度比（2）的超前幅度要大。2-6-12 滞后校正装置的传递函数分别为（1）；（2），绘制Bode图，并进行比较。【解】：校正装置Bode图如解图所示。 题2-6-12解图，；。因为，所以装置（2）的滞后校正作用比装置（1）强。2-6-13 控制系统开环传递函数（1） 绘制系统Bode图，并求取穿越频率和相角裕量；（
30、2）采用传递函数为的串联超前校正装置，绘制校正后的系统Bode图，并求取穿越频率和相角裕量，讨论校正后系统性能有何改进。【解】：系统Bode图如解图（1）所示。校正前性能指标计算：校正后性能指标计算：题2-6-13解图校正后的系统Bode图如解图（2）所示。加入超前校正网络后，在不改变系统的静态指标的前提下，系统的动态性能指标有了明显的改善，相角裕量增加，穿越频率增大，因此系统的超调量减小，调节时间缩短。Acknowledgements My deepest gratitude goes first and foremost to Professor aaa , my supervisor,
31、for her constant encouragement and guidance. She has walked me through all the stages of the writing of this thesis. Without her consistent and illuminating instruction, this thesis could not havereached its present form. Second, I would like to express my heartfelt gratitude to Professor aaa, who l
32、ed me into the world of translation. I am also greatly indebted to the professors and teachers at the Department of English: Professor dddd, Professor ssss, who have instructed and helped me a lot in the past two years. Last my thanks would go to my beloved family for their loving considerations and
33、 great confidence in me all through these years. I also owe my sincere gratitude to my friends and my fellow classmates who gave me their help and time in listening to me and helping me work out my problems during the difficult course of the thesis. My deepest gratitude goes first and foremost to Pr
34、ofessor aaa , my supervisor, for her constant encouragement and guidance. She has walked me through all the stages of the writing of this thesis. Without her consistent and illuminating instruction, this thesis could not havereached its present form. Second, I would like to express my heartfelt grat
35、itude to Professor aaa, who led me into the world of translation. I am also greatly indebted to the professors and teachers at the Department of English: Professor dddd, Professor ssss, who have instructed and helped me a lot in the past two years. Last my thanks would go to my beloved family for their loving considerations and great confidence in me all through these years. I also owe my sincere gratitude to my friends and my fellow classmates who gave me their help and time in listening to me and helping me work out my problems during the difficult course of the thesis.
