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1、2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页,时量120分钟,满分150分。参考公式:(1),其中为两个事件,且, (2)柱体体积公式,其中为底面面积,为高。 (3)球的体积公式,其中为求的半径。一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1若,为虚数单位,且则A, B. C. D. 2.设集合则 “”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件3.设图1是某几何体的三视图,则该几何体的体积为A. B. C. D. 通过
2、随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:由算得,.参照附表,得到的正确结论是A 再犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”B 再犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D.有99%一上的把握人物“爱好该项运动与性别无关”5.设双曲线的渐近线方程为,则的值为A.4 B.3 C.2 D.16.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为A. B.1 C. D. 7.设m1,在约束条件下,目标函数Z=X+my的最大值小于2,则m 的取值范围为A.(1,) B.(,) C.(1,
3、3 ) D.(3,)8.设直线x=t 与函数 的图像分别交于点M,N,则当达到最小时t的值为A.1 B. C. D. 填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对应号后的横线上。(一)选做题(请考生在9、10、11三题中任选一题作答,如果全做,则按前两题记分)9.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴中,曲线C2的方程为,则C1与C2的交点个数为 10.设,则的最小值为 。11.如图2,A,E是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,ADBC,垂足为D,BE与A
4、D相交与点F,则AF的长为 。(二)必做题(1116题)12.设是等差数列,的前项和,且,则= .13.若执行如图3所示的框图,输入,,则输出的数等于 。14.在边长为1的正三角形ABC中, 设则 =_.15.如图4,EFGH 是以O 为圆心,半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该院内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”, B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴C影部分)内”,则(1)P(A)= _; (2)P(B|A)= . 16.对于 ,将n 表示 ,当时,,当时, 为0或1.记为上述表示中ai为0的个数(例如:),故, ),则(1)_;(2) _;三、解答题:本大题共6小题,
5、东75分,解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤17.(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.()求角C的大小;()求sinA-cos (B+)的最大值,并求取得最大值时角A、B的大小。18. (本小题满分12分)某商店试销某种20天,获得如下数据:日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率。()求当天商品不进货的概率;()记x为第二天开始营业时该商品的件数,求x的分布列和
6、数学期型。 19.(本小题满分12分)如图5,在圆锥中,已知=,的直径,是的中点,为的中点.()证明:平面 平面;()求二面角的余弦值。20.(本小题满分13分)如图6,长方形物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动,速度为v(v0),雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:(1)P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与S成正比,比例系数为;(2)其它面的淋雨量之和,其值为,记y为E移动过程中的总淋雨量,当移动距离d=100,面积S=时。()写出y的表达式()设0v10,0c5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y最少。1. (本小题满分13分) 如图7,椭圆的离心率为,x轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。()求,的方程;()设与y轴的焦点为M,过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.(i)证明:MDME;(ii)记MAB,MDE的面积分别是,.问:是否存在直线l,使得=?请说明理由。22.(本小题满分13分) 已知函数() =,g ()=+。 ()求函数h ()=()-g ()的零点个数。并说明理由; ()设数列 ()满足,证明:存在常熟M,使得 对于任意的,都有.