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1、一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，在O中，AB为直径，OCAB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED（1）求证：DE是O的切线；（2）若tanA=，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3【解析】试题分析：（1）先判断出OCF+CFO=90，再判断出OCF=ODF，即可得出结论；（2）先判断出BDE=A，进而得出EBDEDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=x，进而得出OE=
2、1+2x，最后用勾股定理即可得出结论试题解析：（1）证明：连结OD，如图EF=ED，EFD=EDFEFD=CFO，CFO=EDFOCOF，OCF+CFO=90OC=OD，OCF=ODF，ODC+EDF=90，即ODE=90，ODDE点D在O上，DE是O的切线；（2）线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE证明如下：AB为O直径，ADB=90，ADO=BDEOA=OD，ADO=A，BDE=A，而BED=DEA，EBDEDA，RtABD中，tanA=，=，AE=2DE，DE=2BE，AE=4BE，AB=3BE；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=xOF=1，OE=1+2
3、x在RtODE中，由勾股定理可得：（x）2+（2x）2=（1+2x）2，x=（舍）或x=2，圆O的半径为3点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出EBDEDA是解答本题的关键2如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F(0 , 6)（1）当G(4，8)时，则FGE= （2）在图中的网格区域内找一点P，使FPE=90且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）【答案】（1）90；（2）作图见解析，P（7，7
4、），PH是分割线【解析】试题分析：（1）根据勾股定理求出FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定FEG是直角三角形，且FGE=90 （2）一方面，由于FPE=90，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在FOE的角平分线上，因此可得P（7，7），PH是分割线试题解析：（1）连接FE，E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，根据勾股定理，得FG=，EG=，FE=10，即FEG是直角三角形，且FGE=90 （2）作图如下：P（7，7），PH是分割线考点：1网
5、格问题；2勾股定理和逆定理；3作图（设计）；4圆周角定理3如图，已知ABC内接于O，AB是O的直径，点F在O上，且点C是的中点，过点C作O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E（1）求证：AEDE；（2）若BAF=60，AF=4，求CE的长【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，易证得OCAE，又由DE切O于点C，易证得AEDE；（2）由AB是O的直径，可得ABC是直角三角形，易得AEC为直角三角形，根据AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在ACB中，利用已知条件求得答案试题解析：（1）证明：连
6、接OC，OC=OA，BAC=OCA，BAC=EAC，EAC=OCA，OCAE，DE切O于点C，OCDE，AEDE；（2）解：AB是O的直径，ABC是直角三角形，CBA=60，BAC=EAC=30，AEC为直角三角形，AE=3，AC=2，连接OF，OF=OA，OAF=BAC+EAC=60，OAF为等边三角形，AF=OA=AB，在RtACB中，AC=2，tanCBA=，BC=2，AB=4，AF=2考点：切线的性质4已知的半径为5，弦AB的长度为m，点C是弦AB所对优弧上的一动点如图，若，则的度数为_；如图，若求的正切值；若为等腰三角形，求面积【答案】30；的正切值为；或.【解析】【分析】连接OA，
7、OB，判断出是等边三角形，即可得出结论；先求出，再用勾股定理求出，进而求出，即可得出结论；分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论【详解】如图1，连接OB，OA，是等边三角形，故答案为30；如图2，连接AO并延长交于D，连接BD，为的直径，在中，根据勾股定理得，的正切值为；、当时，如图3，连接CO并延长交AB于E，为AB的垂直平分线，在中，根据勾股定理得，；、当时，如图4，连接OA交BC于F，是BC的垂直平分线，过点O作于G，在中，在中，；、当时，如图5，由对称性知，【点睛】圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论
8、的思想解决问题是解本题的关键5如图，AB为的直径，弦，E是AB延长线上一点，是的切线吗？请说明理由；求证：【答案】（1）结论：DE是的切线，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接，只要证明即可；（2）只要证明：，即可解决问题.【详解】解：结论：DE是的切线理由：连接OD，是直径，是的切线，【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.6如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，A经过点B，与AD边交于点E，连接CE .（1）求证：直线PD是A的切线
9、；（2）若PC=2，sinP=，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）【答案】（1）见解析；（2）20-4.【解析】分析：（1）过点A作AHPD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.（2）分别算出RtCED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.详解：（1）证明：如图，过A作AHPD，垂足为H， 四边形ABCD是矩形，AD=BC，ADBC，PCD=BCD=90，ADH=P，AHD=PCD=90，又PD=BC，AD=PD，ADHDPC，AH=CD， CD=AB，且AB是A的半径，AH=AB,即AH是A的半径， PD是A的切线. （2）如图，在RtPDC中，sinP=，PC=2 ，令CD=
10、2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)2=(2)2， 解得：x=2，CD=4，PD=6， AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2， 矩形ABCD的面积为64=24，RtCED的面积为42=4， 扇形ABE的面积为42=4， 图中阴影部份的面积为24-4-4=20-4.点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形的面积.7如图，AB是O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DFAB于点F，交O于点H，连接DC，AC（1）求证：AEC=90；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状
11、，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AOCD为菱形；（3）DH=2【解析】试题分析：（1）连接OC，根据EC与O切点C，则OCE=90，由题意得，DAC=CAB，即可证明AEOC，则AEC+OCE=180，从而得出AEC=90；（2）四边形AOCD为菱形由（1）得，则DCA=CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD根据四边形AOCD为菱形，得OAD是等边三角形，则AOD=60，再由DHAB于点F，AB为直径，在RtOFD中，根据sinAOD=，求得DH的
12、长试题解析：（1）连接OC，EC与O切点C，OCEC，OCE=90，点CD是半圆O的三等分点，DAC=CAB，OA=OC，CAB=OCA，DAC=OCA，AEOC（内错角相等，两直线平行）AEC+OCE=180，AEC=90；（2）四边形AOCD为菱形理由是：，DCA=CAB，CDOA，又AEOC，四边形AOCD是平行四边形，OA=OC，平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD四边形AOCD为菱形，OA=AD=DC=2，OA=OD，OA=OD=AD=2，OAD是等边三角形，AOD=60，DHAB于点F，AB为直径，DH=2DF，在RtOFD中，sinAOD=，
13、DF=ODsinAOD=2sin60=，DH=2DF=2考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形8如图，已知AB为O直径，D是的中点，DEAC交AC的延长线于E，O的切线交AD的延长线于F（1）求证：直线DE与O相切；（2）已知DGAB且DE=4，O的半径为5，求tanF的值【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：ODBC；由OB为O的直径，可得：BCAC，根据DEAC，可证ODDE，从而可证DE是O的切线；（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tanF的值试题解析：解
14、：（1）证明：连接OD，BC，D是弧BC的中点，OD垂直平分BC，AB为O的直径，ACBC，ODAEDEAC，ODDE，OD为O的半径，DE是O的切线；（2）解：D是弧BC的中点，EAD=BAD，DEAC，DGAB且DE=4，DE=DG=4，DO=5，GO=3，AG=8，tanADG=2，BF是O的切线，ABF=90，DGBF，tanF=tanADG=2点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键9如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的O1的弦，过B点作O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F（1）求证
15、：PD2=PEPF；（2）当BOP=30，P点为OB的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及SDEF【答案】（1）详见解析；（2）D（a，a），E（a，a），F（a，0），P（a， ）；SDEF=a2【解析】试题分析：（1）连接PB，OP，利用AB切O1于B求证PBEPOD，得出，同理，OPFBPD，得出，然后利用等量代换即可（2）连接O1B，O1P，得出O1BP和O1PO为等边三角形，根据直角三角形的性质即可解得D、E、F、P四个点的坐标再利用三角形的面积公式可直接求出三角形DEF的面积试题解析：（1）证明：连接PB，OP，PEAB，PDOB，BEP=PDO=90，AB切O1于B，ABP=B
16、OP，PBEPOD，=，同理，OPFBPD=，=，PD2=PEPF；（2）连接O1B，O1P，AB切O1于B，POB=30，ABP=30，O1BP=9030=60，O1B=O1P，O1BP为等边三角形，O1B=BP，P为弧BO的中点，BP=OP，即O1PO为等边三角形，O1P=OP=a，O1OP=60，又P为弧BO的中点，O1POB，在O1DO中，O1OP=60O1O=a，O1D=a，OD=a，过D作DMOO1于M，DM=OD=a，OM=DM=a，D（a， a），O1OF=90，O1OP=60POF=30，PEOA，PF=OP=a，OF=a，P（a，），F（a，0），AB切O1于B，POB=3
17、0，ABP=BOP=30，PEAB，PB=a，EPB=60PE=a，BE=a，P为弧BO的中点，BP=PO，PBO=BOP=30，BPO=120，BPE+BPO=120+60=180，即OPE三点共线，OE=a+a=a，过E作EMx轴于M，AO切O1于O，EOA=30，EM=OE=a，OM=a，E（a， a），E（a， a），D（a， a），DE=a（a）=a，DE边上的高为： a，SDEF=aa=a2故答案为：D（a， a），E（a， a），F（a，0），P（a，）；SDEF=a210如图，ABC是O的内接三角形，点D，E在O上，连接AE，DE，CD，BE，CE，EAC+BAE=180，（1
18、）判断BE与CE之间的数量关系，并说明理由；（2）求证：ABEDCE；（3）若EAC=60，BC=8，求O的半径【答案】（1）BE=CE，理由见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】分析：（1）由A、B、C、E四点共圆的性质得：BCE+BAE=180，则BCE=EAC，所以，则弦相等；（2）根据SSS证明ABEDCE；（3）作BC和BE两弦的弦心距，证明RtGBORtHBO（HL），则OBH=30，设OH=x，则OB=2x，根据勾股定理列方程求出x的值，可得半径的长本题解析：（1）解：BE=CE，理由：EAC+BAE=180，BCE+BAE=180，BCE=EAC，BE=CE；（2）证明：，A
19、B=CD，AE=ED，由（1）得：BE=CE，在ABE和DCE中， ，ABEDCE（SSS）；（3）解：如图，过O作OGBE于G，OHBC于H，BH=BC=8=4，BG=BE，BE=CE，EBC=EAC=60，BEC是等边三角形，BE=BC，BH=BG，OB=OB，RtGBORtHBO（HL），OBH=GBO=EBC=30，设OH=x，则OB=2x，由勾股定理得：（2x）2=x2+42，x=，OB=2x=，O的半径为点睛：本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、直角三角形30的性质，难度适中，第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等的结论；第三问作辅助线，利用勾股定理列方程是关键.
