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1、初三下册数学知识点总结第一章 直角三角形边de关系一. 正切：定义：在RtABC中，如果锐角A确定，那么Ade对边与邻边de比便随之确定，这个比叫做Ade正切，记作tanA，即;tanA是一个完整de符号，它表示Ade正切，记号里习惯省去角de符号“”；tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中Ade对边与邻边de比；tanA不表示“tan”乘以“A”；初中阶段，我们只学习直角三角形中，A是锐角de正切；tanAde值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanAde值越大。二.余切：定义：在RtABC中，锐角Ade邻边与对边de比叫做Ade余切，记作cotA，即;一个锐角de正弦、
2、余弦、正切、余切分别等于它de余角de余弦、正弦、余切、正切。030 45 60 90 sin01cos10tan01cot10（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角de三角函数等于它de余角de余函数）用等式表达：若A为锐角，则； ； 当从低处观测高处de目标时，视线与水平线所成de锐角称为仰角当从高处观测低处de目标时，视线与水平线所成de锐角称为俯角图1利用特殊角de三角函数值表，可以看出，(1)当角度在090间变化时，正弦值、正切值随着角度de增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度de增大(或减小)而减小(或增大)。(2)
3、0sin1，0cos1。同角de三角函数间de关系：倒数关系：tgctg=1。在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外de已知元素，求出所有未知元素de过程，叫做解直角三角形。在ABC中，C为直角，A、B、C所对de边分别为a、b、c，则有 (1)三边之间de关系：a2+b2=c2；(2)两锐角de关系：AB=90； (3)边与角之间de关系：(4)面积公式:(hc为C边上de高); (5)直角三角形de内切圆半径 (6)直角三角形de外接圆半径解直角三角形de几种基本类型列表如下：图2hi=h:llABC解直角三角形de几种基本类型列表如下：图3图
4、4 如图2，坡面与水平面de夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即从某点de指北方向按顺时针转到目标方向de水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OCde方位角分别为45、135、225。指北或指南方向线与目标方向线所成de小于90de水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、ODde方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。 第二章 二次函数二次函数de概念：形如(、b、c是常数,0)de函数，叫做xde二次函数。自变量de取值范围是全体实数。 是二次函数de特例，此时常数b=c=0.在写二次函数de关系式时，一定要寻找两个变量之间de等量关系
5、，列出相应de函数关系式，并确定自变量de取值范围。二次函数yax2de图象是一条顶点在原点关于y轴对称de曲线，这条曲线叫做抛物线。描述抛物线常从开口方向、对称性、y随xde变化情况、抛物线de最高（或最低）点、抛物线与x轴de交点等方面来描述。函数de取值范围是全体实数；抛物线de顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。函数de增减性：A、当a0时 B、当a0时当a越大，抛物线开口越小；当a越小，抛物线de开口越大。最大值或最小值：当a0，且x0时函数有最小值，最小值是0；当a0，且x0时函
6、数有最大值，最大值是0。二次函数de图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称de抛物线二次函数de图象是以为对称轴，顶点在（，）de抛物线。（开口方向和大小由a来决定）|a|de越大，抛物线de开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；|a|de越小，抛物线de开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。二次函数de图象中，ade符号决定抛物线de开口方向，|a|决定抛物线de开口程度大小，c决定抛物线de顶点位置，即抛物线位置de高低。二次函数de图象与yax2de图象de关系： de图象可以由yax2de图象平移得到，其步骤如下： 将配方成de形式；（其中h
7、=，k=）；把抛物线向右（h0）或向左（h0）或向下（k0，则当x时，y随xde增大而增大。若a0，则当x时，y随xde增大而减小。最值：若a0，则当x=时，； 若a0 抛物线与x轴有2个交点； =0 抛物线与x轴有1个交点； 0 抛物线与x轴有0个交点（无交点）；当0时，设抛物线与x轴de两个交点为A、B，则这两个点之间de距离：化简后即为： - 这就是抛物线与x轴de两交点之间de距离公式。第三章 圆一. 车轮为什么做成圆形1. 圆de定义： 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定de一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成de圆形叫做圆；固定de端点O叫做圆心；线段OA叫做半径
8、；以点O为圆心de圆，记作O，读作“圆O”。圆de任意一条直径de两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。能够重合de两个圆叫做等圆，在同圆活等圆中，能够互相重合de弧叫做等弧。 集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长de点de集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆de半径，圆心定圆de位置，半径定圆de大小，圆心和半径确定de圆叫做定圆。对圆de定义de理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。2. 点与圆de位置关系及其数量特征： 如果圆de半径为r，点到圆心de距离为d，则 点在圆上 d=r;点在圆内 dr;点在圆外 dr.其中点在圆
9、上de数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、de距离相等。二. 圆de对称性: 三1. 与圆相关de概念：弦和直径： 弦：连接圆上任意两点de线段叫做弦。 直径：经过圆心de弦叫做直径。弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间de部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以CD为端点de弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径de两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆de弧叫做优弧。劣弧：小于半圆de弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)弓形：弦及所对de弧组成de图形叫做弓形。同心圆：圆心相同，半径不等de两个圆叫
10、做同心圆。等圆：能够完全重合de两个圆叫做等圆，半径相等de两个圆是等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合de弧叫做等弧。圆心角：顶点在圆心de角叫做圆心角.弦心距:从圆心到弦de距离叫做弦心距.2. 圆是轴对称图形，直径所在de直线是它de对称轴，圆有无数条对称轴。3. 垂径定理：垂直于弦de直径平分这条弦，并且平分弦所对de两条弧。推论：平分弦（不是直径）de直径垂直于弦，并且平分弦所对de两条弧。说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： 过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对de优弧；平分弦所对de劣弧。 上述五个条件中de任何两个条件都可推出其他三个结论。4.
11、定理：在同圆或等圆中,相等de圆心角所对de弧相等、所对de弦相等、所对de弦心距相等。推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦de弦心距中有一组量相等,那么它们所对应de其余各组量都分别相等.三. 圆周角和圆心角de关系:1.1de弧de概念: 把顶点在圆心de周角等分成360份时,每一份de角都是1de圆心角,相应de整个圆也被等分成360份,每一份同样de弧叫1弧.2. 圆心角de度数和它所对de弧de度数相等.这里指de是角度数与弧de度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成AOB= ,这是错误de.3. 圆周角de定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交de角,叫做
12、圆周角.4. 圆周角定理: 一条弧所对de圆周角等于它所对de圆心角de一半.推论1: 同弧或等弧所对de圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对de弧也相等；推论2: 半圆或直径所对de圆周角是直角；90de圆周角所对de弦是直径；四. 确定圆de条件:1. 理解确定一个圆必须de具备两个条件: 圆心和半径,圆心决定圆de位置,半径决定圆de大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段de垂直平分线上.2. 经过三点作圆要分两种情况:(1)经过同一直线上de三点不能作圆.(2)经过不在同一直线上de三点,能且仅能作一个圆.定理: 不在同一直线上de三
13、个点确定一个圆.3. 三角形de外接圆、三角形de外心、圆de内接三角形de概念: (1)三角形de外接圆和圆de内接三角形: 经过一个三角形三个顶点de圆叫做这个三角形de外接圆,这个三角形叫做圆de内接三角形.(2)三角形de外心: 三角形外接圆de圆心叫做这个三角形de外心.(3)三角形de外心de性质:三角形外心到三顶点de距离相等.五. 直线与圆de位置关系1. 直线和圆相交、相切相离de定义:(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆de割线.(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆de切线,惟一de公共点做切点.(3)相离
14、: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.2. 直线与圆de位置关系de数量特征: 设Ode半径为r，圆心O到直线de距离为d；dr 直线L和O相交.d=r 直线L和O相切.dr 直线L和O相离.3. 切线de总判定定理: 经过半径de外端并且垂直于这个条半径de直线是圆de切线.4. 切线de性质定理: 圆de切线垂直于过切点de半径.推论1 经过圆心且垂直于切线de直线必经过切点.推论2 经过切点且垂直于切线de直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论de条件和结论间de关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中de任意两个,就可推出第三个.垂直于切线; 过切点; 过圆心.5. 三
15、角形de内切圆、内心、圆de外切三角形de概念. 和三角形各边都相切de圆叫做三角形de内切圆,内切圆de圆心叫做三角形de内心, 这个三角形叫做圆de外切三角形.6. 三角形内心de性质: (1)三角形de内心到三边de距离相等.(2)过三角形顶点和内心de射线平分三角形de内角.由此性质引出一条重要de辅助线: 连接内心和三角形de顶点,该线平分三角形de这个内角.2. 弧长公式: 在半径为Rde圆中，nde圆心角所对de弧长de计算公式弧长 (R表示圆de半径, n表示弧所对de圆心角de度数)如果扇形半径为R,圆心角为n那么扇形de面积 (R表示圆de半径, n表示弧所对de圆心角de
16、度数)如果利用胡长公式则有：（书上没有六. 圆和圆de位置关系.1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系de定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上de点都在另一个圆de外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一de公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上de点都在另一个圆de外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一de公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一de公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上de都在另一个圆de内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一de公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没
17、有公共点, 并且一个圆上de点都在另一个圆de内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内de一个特例.2. 两圆位置关系de性质与判定:(1)两圆外离 dR+r(2)两圆外切 d=R+r(3)两圆相交 R-rdR+r (Rr)(4)两圆内切 d=R-r (Rr)(5)两圆内含 dr)3. 相切两圆de性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.4. 相交两圆de性质:相交两圆de连心线垂直平分公共弦.）七. 弧长及扇形de面积1. 圆周长公式: 圆周长C=2R (R表示圆de半径)3. 扇形定义:一条弧和经过这条弧de端点de两条半径所组成de图形叫做扇形.4. 弓形定义:由弦及其所对de
18、弧组成de图形叫做弓形. 弓形弧de中点到弦de距离叫做弓形高.5. 圆de面积公式.圆de面积 (R表示圆de半径)6. 扇形de面积公式:扇形de面积 (R表示圆de半径, n表示弧所对de圆心角de度数)弓形de面积公式: (1)当弓形所含de弧是劣弧时, (2)当弓形所含de弧是优弧时, (3)当弓形所含de弧是半圆时, 八. 圆锥de有关概念:1. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在de直线旋转一周而形成de图形,另一条直角边旋转而成de面叫做圆锥de底面,斜边旋转而成de面叫做圆锥de侧面.2. 圆锥de侧面展开图与侧面积计算:圆锥de侧面展开图是一个扇形,这个扇形de半径
19、是圆锥侧面de母线长、弧长是圆锥底面圆de周长、圆心是圆锥de顶点.如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它de侧面积是:九. 与圆有关de辅助线1.如圆中有弦de条件,常作弦心距,或过弦de一端作半径为辅助线.2.如圆中有直径de条件,可作出直径上de圆周角.3.如一个圆有切线de条件,常作过切点de半径(或直径)为辅助线.4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用de辅助线.十. 圆内接四边形若四边形de四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形de外接圆.圆内接四边形de特征: 圆内接四边形de对角互
20、补; 圆内接四边形任意一个外角等于它de内错角.十一.北师版数学未出现de有关圆de性质定理1.切线长定理：从圆外一点引圆de两条切线，它们de切线长相等，圆心和这一点de连线平分两条切线de夹角。_图6_P_O_B_A如图6，PA，PB分别切O于A、BPA=PB，PO平分APB2弦切角定理：弦切角等于它所夹de弧所对de圆周角。 推论：如果两个弦切角所夹de弧相等，那么这两个弦切角也相等。如图7，CD切O于C，则，ACD=B 3和圆有关de比例线段： 相交弦定理：圆内de两条弦相交，被交点分成de两条线段长de积相等；推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦de一半是它分直径所成de两条线段de比
21、例中项。如图8，APPB=CPPD如图9，若CDAB于P，AB为O直径，则CP2=APPB4切割线定理切割线定理，从圆外一点引圆de切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点de两条线段长de比例中项；推论：从圆外一点引圆de两条割线，这一点到每条割线与圆de交点de两条线段长de积相等。如图10， PT切O于T，PA是割线，点A、B是它与Ode交点，则PT2=PAPBPA、PC是Ode两条割线，则PDPC=PBPA5两圆连心线de性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆de公共弦。如图11，O1与O2交于A、B两点，则连心线O1O2AB且AC=BC。6两圆de公切线两圆de两条外公切线de长及两条内公切线de长相等。如图12，AB分别切O1与O2于A、B，连结O1A，O2B，过O2作O2CO1A于C，公切线长为l，两圆de圆心距为d，半径分别为R，r则外公切线长：如图13，AB分别切O1与O2于A、B，O2CAB，O2CO1C于C，O1半径为R，O2半径为r，则内公切线长： _图9_P_A_B_C_D_O_图10_B_D_C_O_A_T_P_O_B_D_P_A_C图8_O_C_D_A_B_图7_O_2_d_C_R_r_A_B_O_1_图13_图11_B_C_A_O_2_O_1
