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1、1,不定积分,2,例,第一节 不定积分的概念,一、原函数与不定积分的概念,定义,不定积分又称反导数,它是求导运算的逆运算.,本章所讲的内容就是导数的逆运算。,3,原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,问题：,(1)原函数是否存在？,(2)是否唯一？,因此初等函数在其定义域内都有原函数。,(但原函数不一定是初等函数),4,唯一性？,5,记为,定义,6,例1 求,解,解,例2 求,7,由不定积分的定义，可知,结论：,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,或,或,8,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,二、基本积分表,9,基本积分表,(k是常数);,说明：,10,基本积分表,(k
2、是常数);,11,基本积分表,12,例3 求积分,解,根据积分公式（2）,13,例4 设曲线通过点(1,3),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点(1,3),所求曲线方程为,(1,3),14,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,第二节 不定积分的运算法则,15,例1,例2,例3,直接积分法,16,例4,例5,17,例8,例9,例10,18,问题,？,第三节 换元积分法,一、第一类换元法(凑微分法),凑微分,19,凑微分法的关键是“凑”,凑的目的是把被积函数的中间变量变得与积分变量相同.,20,例1,例2
3、运用 d(x+k)=dx,21,例3 运用 d(ax+b)=a dx,22,例4 运用 d(x2)=2x dx,23,(1)根据被积函数复合函数的特点和基本积分公式的形式,依据恒等变形的原则,把 dx凑成d(x).如,(2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分d(x).如,“凑微分”的方法有:,方法1较简单,而方法2则需一定的技巧,请同学们务必记牢以下常见的凑微分公式！,24,常用凑微分公式：,等等.,25,例5,例6,例7,26,例7,例8,27,例9,例10,28,练习一,29,6.,7.,8.,30,例11,另：,例12,类似地，,31,例13,练习,说明,当被积函数是三角函数相
4、乘时，拆开奇次项去凑微分.,32,例14,例15,或解,33,例19,解法1,解法2,解法3,34,例20,35,解,例21 设 求.,令,36,第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子。,37,二、第二类换元法,回代,得,问题,解决方法,“根式替换”,38,称为第二换元法,回 代,39,例1,解,“根式替换”,40,例2,解,41,例5 求,解,令,42,例4,解,三角替换,正弦替换,43,例5,解,正切替换
5、,44,例6,解,正割替换,45,说明：,以上几例所使用的均为三角代换,目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,但是否一定采用三角代换并不是绝对的,有时可灵活采用别的方法.,注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，掌握着取单调区间即可。,46,例7,解,或解：,倒数代换,47,例8,解,或解：,（练习）,48,基本积分表,49,50,例9,例10,51,例11,例12,52,凑微分,分部积分公式,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,第四节 分部积分法,分部积分的过程：,53,在两个被积函数中选择一个先积出来，使得原来的较难积出的不定积分转移为另一个比较容易
6、积出的不定积分，这种新的积分技巧，被称为“分部积分法”。,分部积分法中先积函数（v(x)）的选择，一般可以遵照“反对幂指三”的原则，也就是排在前面的函数，作为U,剩下的为v（与dx凑微分后成dv）为好。,54,例1,注,积分更难进行.,例2,55,例3,例4,分部积分法可多次使用.,56,练习,总结,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数),57,例5,例6,练习,58,例7,59,例13,解,60,例13,分部积分法与换元法结合:,解,61,解,例15,由题意,62,说明:,分部积分题目的类型:,1)直接分部化简积分;,2)分部产生循环式,由此解出积分式;,(注意:两次分部选择的 u,v 函数类型不变,解出积分后加 C),
