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1、IEGARCH-EVT-ES风险测度及在期货市场的应用 崔海蓉1,2,何建敏2,胡小平2(1.南京农业大学工学院,江苏南京210034;2.东南大学经济管理（经济管理论文）学院,江苏南京210096)摘要:构建了FIEGARCH-EVT-ES风险测度模型,并将其应用于期货（期货论文）市场风险度量。FIEGARCH能捕捉资产收益的条件异方差、波动的长记忆性以及对正负信息反应的非对称性;极值理论(EVT)能处理资产收益的厚尾性;期望损失ES是一致性风险测度,可有效弥补VaR无法考察超过分位数信息的缺陷。以上海期货交易所铜期货为例验证了模型的有效性,并与GARCH-N-VaR模型进行比较分析,结果表
2、明,GARCH-N-VaR低估了风险,FIEGARCH-EVT-ES预测效果较好,同时也不会使预测结果过于保守,从而过高估计风险。关键词:FIEGARCH-EVT-ES;厚尾;长记忆性;非对称性;期货市场基金项目:国家自然科学基金项目(71071034)收稿日期:2011-03-02作者简介:崔海蓉(1977-),女,江苏徐州人,南京农业大学工学院讲师,东南大学经济管理学院博士研究生,主要研究方向为金融（金融论文）工程与风险管理。对应于某个置信水平的分位数,无法考察超过分位数信息的缺陷。本文在这些研究的基础上,将FIEGARCH与EVT相结合,同时引入期望损失ES模型,建立基于FIEGARCH
3、-EVT-ES的风险测度模型,以求更准确的度量金融市场风险,并将其应用于期货市场验证模型的有效性。一、FIEGARCH-EVT-ES风险测度模型模型Bollerslev和Mikkelsen5的FIEGARCH(p,d,q)模型定义如下:yt=Xt+t,t=tZt(1)(L)(1-L)dln2t=0+qi=1(iZt-i+iZt-i)(2)其中(1)是条件均值方程,yt是应变量,Xt是解释变量或yt的滞后项,是待估参数向量,t是条件标准方差,t是基于t-1时期的信息集t-1的残差向量,标准化残差向量Zt是零均值,单位方差的白噪声序列。(2)是条件方差方程,d0,1是分形差分算子,是衡量长记忆性的
4、参数,若d(0,1),则说明长记忆性存在。(L)=1-(L)-(L),(L)=1L+2L2+qLq,(L)=1L+2L2+pLp分别为滞后算子多项式,并且(L),1-(L)的所有根都位于单位圆外。i是衡量非对称性参数,i=0表示不存在正负信息的非对称性,i<0说明利空消息对价格的冲击更加强烈,i>0,则表示利好消息对价格的冲击更加强烈。模型传统VaR的定义是指在一定置信水平下(1),资产在特定持有期内可能遭受的最大损失,即资产收益序列的上分位数VaR=H-1()(3)其中H(x)为资产损失的累积分布函数。对应期望损失ES的定义为11ES=EXX>VaR=VaR+EX-VaRX
5、>VaR(4)由于资产收益序列存在的条件异方差性致使收益分布随时间改变,因此基于GARCH类模型的VaR定义如下15:VaRt(R)=+tVaR(Z)(5)R为资产收益,为资产收益的条件均值,t为条件标准差,VaR(Z)是根据公式(3)计算的标准残差Z的VaR值,VaRt(R)表示在置信水平下,第t天所预测的第t+1天的资产收益的VaR值。那么基于GARCH类模型的ES为ESt(R)=ERR>VaRt(R)=E+tZ+tZ>+tVaR(Z)=E+tZZ>VaR(Z)=+tEZZ>VaR(Z)=+tES(Z)(6)其中ES(Z)是根据公式(4)计算的标准残差Z的ES
6、值。因此要计算VaRt(R)和ESt(R)需首先计算VaR(Z)和ES(Z),本文将借助于极值理论(EVT)来计算。模型极值方法大致有两类,即BM(BlockMaxima)模型与POT(PeaksOverThreshold)模型。BM模型主要对块最大值建模,通常适用于较长时间的预测,而POT模型是对样本中超过某一充分大的阈值的所有观测值建模,并可进行单步预测,因此本文使用POT模型。标准残差Zt独立同分布满足使用POT模型的前提条件,使用极值理论拟合Zt的尾部分布,假设Zt的分布函数为F(z),定义Fu(x)为Zt超过阈值u的条件分布函数Fu(x)=P(Z-uxZ>u)=F(u+x)-F
7、(u)1-F(u),x0根据极值理论,当阈值u充分大时,Fu(x)可用广义帕累托分布(generalizedParetodistribution,GPD)表示,即Fu(x)G,(x)=1-1+x-1,01-exp-x,=0,且xu,0uxu-,<0其中为尺度参数,为尾部形状参数,如果>0,表明该分布具有厚尾特征,否则具有细尾特征。运用平均超额函数法(MeanExcessFuncion,MEF)确定阈值u,再运用极大似然估计法获得和29第2期崔海蓉,何建敏,胡小平:FLEGARCH-EVT-ES风险测度及在期货市场的应用为方便讨论,本文规定资产收益率均为负收益率,即Rt=lnSt-1
8、St。计值,即可确定函数G,(x)。此时,在给定置信水平下,VaR(Z)=u+nNu(1-p)-1(7)ES(Z)=VaR(Z)1-+-u1-(8)模型大量实证研究表明,许多金融时间序列收益率本身不具有明显自相关性,但其收益率的平方具有显著的自相关特征,且FIEGARCH(1,d,1)已经能够较好处理金融时间序列的条件方差、波动的长记忆性和对正负信息反应的非对称性5。因此本文选取FIEGARCH(1,d,1)模型,结合EVT和ES模型,建立FIEGARCH(1,d,1)-EVT-ES模型如下:Rt=+tZt(1-1L)(1-L)dln2t=0+1Zt-1+Zt-1VaR(Z)=u+nNu(1-
9、p)-1ES(Z)=VaR(Z)1-+-u1-ESt(R)=+tES(Z)(9)基于FIEGARCH-EVT-ES模型,预测下一天风险的计算步骤为:第一步:用拟极大似然估计方法估计FIEGARCH(1,d,1)模型的参数0,1,1和d,并预测下一期波动率t+1；第二步:根据FIEGARCH(1,d,1)标准残差序列Zt的平均超额函数en(u)图像确定阈值u,并运用极值理论拟合Zt的尾部分布,其中参数和用极大似然估计法估计。第三步:计算VaR(Z)和ES(Z),最终计算ESt(R)。二、实证分析以下部分将以上海期货交易所的铜期货为例,运用FIEGARCH-EVT-ES模型对期货市场进行风险度量。
10、1.期货市场风险测度对于期货市场来说,投资者多头(long)和空头(short)分别面临价格的下跌和上涨风险,为此界定对应多头的下跌VaR和对应空头的上涨VaR:2.数据及统计特征上海铜期货市场经过几十年的规范运作,已经具备了全球铜价“话语权”,被公认为全球三大铜交易中心之一,因此选取铜期货日收盘价作为研究样本。由于每个期货合约一旦到期将不复存在,因此期货价格不同于股票价格具有连续性特点。为此本文按照如下方法选取数据:铜期货每年有从1月到12月交割共12个合约,一般临近交割月的交易较为活跃,故选取每个合约交割月的滞后第三个月的数据作为样本选取对象,以此类推。例如2007年1月的数据从2007年
11、4月交割的合约中选取,2007年2月的数据从2007年5月交割的合约中选取。最终选取的期货数据不仅具有连续性特点,而且每次选取数据的日期全部控制在临近交割月的前三个月内,此时期货价格与现货价格较贴近,数据较稳定。由于2005年之前我国期货市场数据较不稳定,因此选取时间跨度为2005年1月4日至2009年12月31日,总数为1214(除去无交易日)。其中2005年1月4日至2008年12月31日的数据用于模型参数估计,2009年1月5日至2009年12月31日的数据用于后验测试。数据来源于弘业期货经纪有限公司。定义期货价格收益率为Rt=lnSt-1St,其中St为第t个交易日连续期货合约的收盘价
12、格。收益率基本统计特征见表1:偏度为,峰度为,说明铜收益率序列的分布右偏斜且具有尖峰特征,JB统计量进一步表明铜收益率序列不服从正态分布;从Ljung-Box统计量Q值和对应P值判断,铜收益率序列本身不存在明显自相关性,但其平方具有显著的自相关特性,这说明铜收益率序列可能存在随时间改变的条件异方差性。30南京航空航天大学学报(社会科学版)第13卷表1铜期货收益序列的基本统计特性样本数均值标准差偏度峰度JB统计量Q(12)Q2(12)3.模型估计与诊断运用拟极大似然估计方法对FIEGARCH(1,d,1)模型的参数进行估计,结果见表2:除系数不显著外,其余系数均在1%的水平上显著;分形差分系数d
13、=(0,1),在1%的水平上显著不为零,说明铜期货收益序列的波动具有长期记忆性;系数=<0且在1%的水平上显著不为零,说明铜期货存在对正负干扰的非对称性,即价格对同等程度的利好消息反应更为强烈;系数1与1之和小于1,说明模型较稳定,拟合效果很好。注:*表示在1%水平上显著接下来建立标准残差Zt的EVT模型。首先通过平均超额函数en(u)的图像确定合理的阈值u,具体见图1。从图1可看出,当u>时,平均超额函数呈现出向上的线性正斜率,暗示着铜期货收益率标准残差具有广义帕累托(GPD)的厚尾分布,因此选取阈值u=。接着再使用极大似然估计法获得标准残差尾部GPD分布的参数值=,=。为了验证
14、阈值u的选取对形状参数的影响,作和u的关系图,见图2。从图2可看出当Zt的拟合效果图,可见运用EVT无论是对Zt的超额分布(超过阈值u的部分)还是尾部分布都有较好的拟合效果。给定95%的置信水平,可计算VaR(Z)=和ES(Z)=;给定99%的置信水平可计算VaR(Z)=和ES(Z)=。可见ES均远大于VaR,这是因为VaR只是在一定置信水平下的最大损失金额,没有考虑后面的概率很小但是损失很大的部分,而ES对后面的损失全部做了分析,并取它们的平均值,因此更准确地计量了风险。4.后验测试后验测试是检验VaR或ES的计算结果对实际损失的覆盖程度。Kupiec提出返回检验(back-test),给定
15、置信度,样本容量T,失效天数N,则失效率f=N/T,用似然比率LR=-2ln()T-N(1-)N+2ln(1-f)T-N(f)N(14)检验原假设:f=1-。若拒绝原假设,则VaR模型估计不充分,反之VaR模型估计是充分的,这种方法也同样适用于ES模型的检验。在原假设下,LR2(1)。对2009年1月5日至2009年12月31日共244天的波动率进行预测,从而计算每天的VaRt,L,VaRt,S,ESt,L和ESt,S,分别与同期实际收益率Rt进行比较,并且在两种置信水平下,进一步与正态分布假设的GARCH(1,1)-N-VaR风险测度模型进行比较分析,结果见表3。从表3可看出,GARCH-N
16、-VaR模型很大程度上低估了风险,FIEGARCH-EVT-ES模型预测效果较好。表3铜期货后验测试三、结论本文构建了FIEGARCH-EVT-ES风险测度模型。FIEGARCH模型能捕捉金融时间序列的条件异方差、波动的长记忆性以及对正负信息反应的非对称性。极值理论(EVT)不考虑序列的整体分布情况,直接使用广义帕累托分布(GPD)逼近损失的尾部分布,能较好处理金融时间序列的厚尾性。ES作为一致性风险测度,能够刻画概率分布的尾部形状,可包含更多的尾部信息,有效弥补VaR只对应于某个置信水平的分位数,无法考察超过分位数信息的缺陷。因此将上述三种模型结合能更好地度量金融市场风险。以上海期货交易所铜期货为例,将FIEGARCH-EVT-ES模型应用于期货市场风险度量,为此提出适用于期货市场多头和空头的下跌VaR和上涨VaR以及下跌ES和上涨ES,并与GARCH-N-VaR模型比较分析。结果表明,GARCH-N-VaR模型低估了风险,FIEGARCH-EVT-ES模型预测效果较好,同时也不会使预测结果过于保守,从而过高估计了风险。参考文献
