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1、基于极值理论的风险价值度量感谢教育部新世纪优秀人才支持计划、教育部优秀青年教师资助计划“中国信用风险度量和控制模型”项目、教育部人文社会科学研究2003年度博士点基金研究项目“中国利率类金融产品的设计和定价”（03JB790016）、福建省社科“十五”规划（第二期）项目（2003B069）的资助。感谢林海博士的建议。本文观点仅代表作者个人观点。厦门大学经济学院金融系郑振龙* 王保合*研究领域：金融学2005年7月* 郑振龙，1966 年出生，男，汉族，金融学博士，美国加州大学洛杉矶分校富布莱特研究学者，现任厦门大学经济学院金融系教授、博士生导师。研究领域：金融工程、金融市场和资产定价。Tel：
2、0592-2181915，13328311066；Fax：0592-5920923；Email: zlzheng；通讯地址：厦门大学金融系，361005。*王保合，男，1977年8月出生，祖籍河北，汉族，金融工程博士生，主要从事资产定价和风险管理研究，在国内外公开发行的学术刊物上发表了3篇学术论文。Tel：0592-2192609； Email: baohewang0592 ；通讯地址：厦门大学金融系，361005。基于极值理论的风险价值度量内容摘要：本文在传统单纯采用极值理论描述股票收益尾部特征的基础上，把ARMAAGARCH模型和极值理论有机结合起来。首先利用ARMAAGARCH模型捕获股
3、票收益数据中的自相关和异方差现象，采用GMM估计模型参数，获得近似独立同分布的残差序列，再利用传统的极值理论对经过ARMAAGARCH模型筛选过的残差进行极值分析，并采用Bootstrap方法给出了极值理论估计出的VaR和ES在某一置信水平下的置信区间，改进了似然比率法估计置信区间时，极值事件的小样本而造成的估计误差。最后，我们对中国上证指数自1990年12月19日到2004年9月30日的日收益率进行了实证研究，发现模型在不忽视历史信息的情况下，考虑到目前的市场环境，更准确估计上证指数现在所面临的风险。关键词： POT模型、ARMAAGARCH模型、GMM估计1、引言自20世纪70年代以来，金
4、融市场的波动日益加剧，一些金融危机事件频繁发生，这使金融监管机构和广大的投资者对金融资产价值的暴跌变得尤为敏感。金融资产收益序列的尖峰、厚尾现象也使传统的正态分布假定受到严重的质疑，因此如何有效地刻画金融资产收益序列的尾部特征，给出其渐近分布形式，及各种风险度量模型的准确估计方法和置信区间，对于金融机构改进风险度量方法、制定投资策略，国家制定风险监管制度等都具有重大意义。目前，对金融资产收益序列的估计方法主要包括历史模拟法、参数方法和非参数方法。历史模拟是一种最简单的方法，它利用收益序列的经验分布来近似真实分布，但是该方法不能对过去观察不到的数据进行外推，在运用中受到限制。参数方法假设收益率符
5、合某种特定的分布如：正态分布、学生t分布、GED分布等，通过假定的分布与样本均值、方差的匹配对参数进行估计，或者是假设收益率序列符合某种特定的过程如：RW、ARMA、GARCH等，它可以在一定程度上解释收益序列的尖峰厚尾和波动率聚类现象，具有比较好的整体拟合效果。不过参数方法只能对已经到来的灾难信息给出准确的估计，对于即将到来的灾难信息无法进行准确的预测。非参数方法则主要包括极值理论（EVT），它与前面的两种方法有着明显的区别，它并不研究收益序列的整体分布情况，只关心收益序列的尾部特征，利用广义帕累托分布来逼近收益序列的尾部分布。针对上面介绍的三种方法，Danielsson and de Vr
6、ies（1997）以美国7支股票构成的组合为样本比较各种模型的表现情况，发现EVT模型的表现明显优于参数方法和历史模拟方法。Longin（2000）认为极值理论的优点在于它没有假设特定的模型，而是让数据自己去选择，对突发事件具有较强的预见性，而GARCH族模型作为估计风险的一种方法，只能反映当时的波动率情况，缺乏对突发事件的预见性。另外，Christoffersen and Goncalves（2004），Gilli and Kellezi（2003），Jondeau and Rockinger（1999）和Neftci（2000）也分别采用极值理论对金融收益序列的尾部特征进行了分析和比较。但
7、不幸的是，Lee and Saltoglu（2003）运用EVT模型对亚洲股票市场上的5个指数进行分析时，发现历史模拟法、参数方法虽然没有一个在各个市场表现是绝对优于其它模型的，但都比EVT模型的表现好。我们认为EVT模型之所以在亚洲股票市场上表现不好，主要是因为亚洲股票市场是新兴的股票市场，与美国成熟的股票市场相比收益序列具有较强的序列相关和条件异方差现象，不能满足EVT模型要求的假定条件，造成EVT模型较大的估计误差。本文把ARMAAGARCH模型和极值理论有机结合起来来度量VaR。首先利用ARMAAGARCH模型捕获股票收益数据中的自相关和异方差现象；其次利用传统的极值理论对经过ARMA
8、AGARCH模型筛选过的残差进行极值分析；最后采用Bootstrap方法给出极值理论估计出的VaR和ES在某一置信水平下的置信区间。相比国内外众多的相关文献，本文的优点在于：（1）克服了由于序列的非独立同分布对极值理论的应用造成的误差；（2）采用GMM估计模型参数，不对残差做任何的分布假定，保持了残差原有的特征，为下一步极值理论准确刻画残差的内在规律提供了前提；（3）在给出了VaR和ES估计值的同时，确定其置信区间。本文共分为六个部分，第二部分介绍我们要采用的风险度量模型VaR和ES；第三部分介绍ARMAAGARCH模型的基本特征，以及模型的GMM参数估计方法；第四部分介绍极值理论和残差序列符
9、合广义帕累托分布的假定下估计VaR、ES，及二者置信区间的方法；第五部分对中国上证指数自1990年12月19日2004年9月30日的日收益率进行实证分析，给出上证指数的VaR和ES的估计值，及置信区间；第六部分是一个简短的结论。2、VaR和ES风险度量模型：VaR是一种被广泛接受的风险度量工具，它定义为在一定的置信水平下，某一资产或投资组合在未来特定时间内的最大损失。假设代表某一金融资产的损失，其密度函数为，则VaR可以表示为： （1）当密度函数为连续函数时也可以表示为：，其中为损失分布的反函数。该模型计算简单，在组合损失符合椭圆分布时，可以比较有效的控制组合的风险。但是VaR模型只关心损失超
10、过VaR值的频率，而不关心超过VaR值的分布情况，在处理收益序列的非椭圆分布及投资组合发生改变时表现不稳定，不是一致性风险度量模型。定义为在一定的置信水平下，某一资产或投资组合在未来特定时间内的损失超过的条件期望，它满足次可加性、齐次性、单调性、平移不变性条件，是一致性风险度量模型。假设为某金融资产的损失，其分布函数为，则可以表示为： （2）其中，当损失的密度函数连续时，可以简单的表示为：。本文将分别选用这两个模型来度量金融资产的风险，给出在修正过的极值模型下，二者的估计值和置信区间。3. ARMAAGARCH模型3.1 ARMAAGARCH模型的性质ARMA模型： 其中，是期望为0，方差为常
11、数的独立同分布随机变量。ARMA(p,q)模型假设的条件期望存在，条件方差为常数，通常可以用来解释时间序列的相关性，并可以对时间序列进行短期预测。但是模型中条件方差为常数的假设，使其无法有效地解释金融时间序列中经常观察到的波动率聚类现象，为此，我们在模型中进一步引入GARCH效应。我们令，其中是期望为0，方差为常数的独立同分布随机变量，是在时刻的条件方差。本文采用通常使用的GARCH(1,1)模型，则条件方差可以表示为：，它的引入不仅可以捕获到金融时间序列的波动率聚类现象，而且可以在一定程度上改善尖峰厚尾现象： 其中和分别表示和的峰度，的峰度明显大于等于的峰度。另外，在金融时间序列中我们还可以
12、明显观察到波动率变动的非对称性：未预期到的收益率的正负对收益率的波动率具有不同的影响。为了刻画金融时间序列波动率变动的这一非对称性，我们引入Glosten et al（1993）提出的AGARCH(1,1)模型：，其中，在这个模型中我们可以通过项来捕获未预期到的收益率的正负变动对波动率变化的不同影响。 如果，则表明同一时期未预期到的收益率为负时的波动率大于未预期到的收益率为正时的波动率，否则相反。这样我们就得到了ARMAAGARCH模型: （3）3.2、ARMAAGARCH模型的参数估计：我们知道在残差符合条件正态分布的假设下，可以利用ARMAAGARCH模型的似然函数，给出参数向量的估计值，
13、其中，。即使在金融收益率序列残差不满足条件正态分布的情况下，使用正态极大似然估计，仍然可以得到参数的一致渐近正态非最小方差估计。但是这样我们得到的残差将有很大的误差，而是我们下一步进行EVT尾部估计的输入变量，它的有效性将直接影响我们整个估计结果，为此我们必须寻找一个更有效的参数估计方法。GMM估计恰好可以满足我们的要求，它不需要假设符合任何分布，只需要的一阶和二阶条件矩，就可以对模型参数进行估计。Skoglund（2001）给出了采用GMM对GARCH模型的估计方法和计算过程，以及参数的收敛情况。另外，要进行GMM估计还需要一个对参数和残差的三阶矩和四阶矩的初始估计值，这些初始值可以通过对A
14、RMAAGARCH模型残差符合正态分布的情况进行最大似然估计得到。这样我们就得到模型有效的参数估计值和残差序列，进而对残差进行极值分析。4、极值理论极值理论是测量极端市场条件下市场风险的一种方法，它具有超越样本数据的估计能力，并可以准确地描述分布尾部的分位数。它主要包括两类模型：BMM模型和POT模型。其中BMM模型是一种传统的极值分析方法，主要用于处理具有明显季节性数据的极值问题上，POT模型是一种新型的模型，对数据要求的数量比较少，是目前经常使用的一类极值模型。本文将采用POT模型进行估计。4.1 POT模型的理论基础假设序列的分布函数为，定义为随机变量超过阈值的条件分布函数，它可以表示为
15、： 根据条件概率公式我们可以得到：（4）定理（Pickands (1975)）：对于一大类分布（几乎包括所有的常用分布）条件超限分布函数，存在一个使得： （5）当时，；当时，。函数称广义帕累托分布。图2：广义Pareto分布在，取0.3，0，-0.3的图形从图形上我们可以看到的不同取值取决了尾部的厚度，越大尾部越厚，越小尾部越薄。从函数我们还可以看到当时，的最大取值为，有上界。Lee and Saltoglu（2002）指出在金融资产收益时间序列上直接使用EVT时，由于序列的尖峰厚尾，使得估计出来的一定是大于零的，但是在我们的模型中，由于对残差序列进行极值分析，得到的并不一定要求大于零。根据公
16、式（5）我们可以得到，对于给定的一个符合广义的帕累托分布的样本的对数似然函数为： （6）在POT模型中另一个重要的问题，是如何得到定理中的阈值，它是准确估计参数和的前提。如果阈值选取的过高，会导致超限数据量太少，估计出来的参数方差很大；如果阈值选取的过低，则不能保证超限分布的收敛性，使估计产生大的偏差。Danielsson, J., C.G.de Vries（1997）和Dupuis（1998）给出了对阈值的估计方法，一般有两种：根据Hill图、根据样本的超限期望图，本文采用样本的超限期望图确定阈值，令，样本的超限期望函数定义为： （7）超限期望图为点构成的曲线，选取充分大的作为阈值，使得当时
17、为近似线性函数。另外，如果超限期望图当时是向上倾斜的，说明数据来源于参数为正的GPD分布；如果超限期望图当时是向下倾斜的，说明数据来源于尾部较短的分布；如果超限期望图当时是水平的，则说明该数据来源于指数分布。这一判断方法是根据广义Pareto分布在参数的时，它的超限期望函数是一个线性函数注：这里我们令，是因为对于广义Pareto分布只存在阶矩，如果则存在一阶矩，否则一阶矩将不存在，就没有办法计算超限期望函数。得到的： 当确定以后，利用的值，根据公式（6）进行最大似然估计得到和。同时，我们得到的值中比阈值大的个数，记为，根据公式（4）用频率代替的值，可以得到的表达式： （8）对于给定某个置信水平
18、，可以由的分布函数公式（8）可以得到： （9）根据GPD的条件分布函数公式（5）可以得到： （10）4.2 序列的和置信区间的估计方法：通常，对于参数置信区间的估计方法，在大样本的情况下我们可以从似然比率检验的思路中获到。似然比率检验用来检验两个同类型模型的拟合程度的好坏。两个同类型模型的似然比率符合分布，它的自由度等于复杂模型中新加入的参数的个数。以POT模型为例，要估计参数和在给定置信水平下的置信区间可以通过下式得到：其中，和为估计的最优值，表示似然函数。这样我们就得到了和的联合置信区间，如果我们要得到的估计值，则可以根据公式（9）反解带入公式（6）得到，令,的置信区间可以通过下式得到：。
19、但是，由于超过阈值的极值数据量不会很多，使得这一估计的渐近效果可能不佳。为此，我们引入Bootstrap方法来获得置信区间的估计。既然我们得到的序列是独立同分布，就可以每次独立地从中抽取个点组成新的序列，用该序列估计和，重复这一操作，可以得到一系列的和的估计值，求出和的经验分布，然后根据经验分布得到和的置信区间，并把和的期望值作为和的估计值。该方法在确定置信区间的同时，也是一种检验模型稳定性的方法。5、实证分析 我们采用上证指数收益序列为原始数据，样本空间选自1990年12月19日-2004年9月30日。样本容量为3391，实证过程分为四步，（1）用ARMAAGARCH模型对收益序列进行过滤得
20、到近似独立同分布的残差序列；（2）用极值理论对这一残差进行分析，给出其渐近分布，并估计出相应的和值。（3）比较用似然比率和用Bootstrap方法给出和值的置信区间的估计。（4）整合第一步和第二步的结果，计算收益率的和值。5.1 ARMAAGARCH模型形式和参数的确定首先给出收益序列的描述性统计量（图1），可以看到序列具有明显的尖峰厚尾现象，从JB检验可以显著的拒绝正态性假设。对收益序列进行单位根ADF检验，在99的显著性水平上拒绝原假设，序列不存在单位根现象。图1：收益序列的描述性统计量进一步分析数据的自相关和偏相关，发现滞后10期的Q统计量，在99的置信水平下拒绝原假设，序列中存在明显的
21、自相关现象，利用AIC定阶准则，选择模型可以解释这一现象。然后对残差序列进行ARCH效应的LM检验，发现当滞后阶数时的相伴概率，在95的显著水平下拒绝原假设，残差序列存在GARCH效应。根据上面的分析，我们可以确定在第一步中所采用的模型（11），并对其进行正态最大似然估计获得GMM估计的初始值（见表2）。 （11）CoefficientStd. Errorz-StatisticProb. C0.0004110.0001043.9599680.0001AR(1)0.0808540.0101247.9862710.0000AR(2)0.0025770.0047990.5369300.5913AR(
22、3)0.0343600.0137052.5070280.0122 Variance EquationC0.0001357.03E-0619.262740.0000ARCH-Q0.0498230.0148113.3640370.0008(RES0)*ARCH-Q0.3306250.01978116.713980.0000GARCH-Q0.1374590.01117512.300970.0000表1：公式(12)最大似然估计的结果从表中可以看到，正如我们所预见的那样，负的未预期到的收益率对波动率有正的影响，正的未预期到的收益率对波动率有负的影响。和都大于零表明过去时刻的波动对未来价格波动有着正向缓
23、解作用，从而可以有效的解释了波动率的聚类性现象。下面我们以最大似然估计的结果为初始值按照前面所介绍的方法进行GMM估计，其结果如下表：CoefficientStd. Errorz-StatisticProb. C0.00019592.9353e-0056.67340.0000AR(1)0.0410894.6869e-005876.680.0000AR(2)-0.0384593.3559e-005-11460.0000AR(3)0.0360914.9807e-005724.620.0000 Variance EquationC6.209e-0057.3854e-00784.0810.0000AR
24、CH-Q0.381590.007755449.2030.0000(RES0)*ARCH-Q0.476860.02071323.0220.0000GARCH-Q0.00021950.000457690.479610.6842表2：最大似然估计和GMM估计比较在GMM估计值与最大似然估计值的比较中，我们可以清楚的看到，GMM估计增加了非对称项系数的绝对值，且在最大似然估计中，这意味着收益序列方差无限，而在GMM估计中，表明收益序列的方差有限性。把GMM估计值代入公式（11），得到残差序列（见图2），可以看出序列变得更平稳，波动率聚类现象明显下降，更接近于独立同分布。对其进行一阶、二阶自相关和偏相关
25、性检验，都在很高的水平上拒绝原假设，残差序列已没有明显的ARMA和条件异方差现象。图2：收益序列R和残差序列 5.2 POT模型的应用基于极值理论中的POT模型，我们需要利用充分大的阈值对超限分布进行GPD拟合。根据公式（7），得到超限期望图（见图3）。发现样本的平均超限函数图在时近似直线，具有明显的帕累托分布特征。当时数据超过阈值的个数；当时；当时，我们的总样本个数，在允许的情况下选取10左右的数据（DuMouchel（1983）作为极值数据组是比较合适的选择，否则可能会出现样本内过度拟合，样本外不适用。为此，我们分别给出阈值取0.8，0.9的情况下，利用最大似然估计得到的各参数、的取值和9
26、5的置信区间（见表3），以及在这些参数下的QQ图和分布图（见图4和图五），从图形中我们可以看到极值分布有效拟合了我们的样本分布，只有个别地方出现异常现象。且在和两种情况下的拟合效果没有明显的区别，为此在后面我们只给出时的图形。 下界0.150.331.822.460.160.321.812.46估计值0.230.3671.9672.7910.2540.3731.9582.818上界0.340.422.153.390.380.432.143.50区间长度0.190.090.330.930.160.110.231.04表3：参数的最大似然估计和95置信区间 图3：序列的超限期望图 图4：和时的QQ
27、图图5：和极值分布与经验分布的比较图6：单参数和联合置信区间，以及bootstrap的估计点对于的估计 Embrechets（1999）认为金融序列的取值范围在3到4之间，而我们这里计算出来的，几乎不落在的区域内，这主要是因为我们对金融序列用ARMAAGARCH模型进行了过滤，得到的序列在一定程度上消除了的尖峰厚尾现象，使得估计出来的值偏小，这与Embrechets（1999）的结论并不矛盾。另外在QQ图中，我们可以看到在0.99的分位数之前拟合效果非常好，在后面出现个别的异常值，这不会影响我们对的估计，因为只关心0.99分位数之前的分布情况，而不受到0.99分位数之后的影响。但是的估计会受到
28、0.99分位数之后分布情况的影响，所以这会对的估计造成一定的误差，这也是为什么我们在表3中看到的95估计区间明显比的95估计区间要宽的原因之一。下面我们采用Bootstrap方法来确定各参数的置信区间，首先在序列中进行3390次重复抽取得到一个包含3390个数据的新样本，利用这些新样本估计、和取值，重复上述1000次，则得到四个估计序列，其中每个序列中包含了1000个关于某个参数的估计值，我们把它看作是一个样本，把这些样本与前面估计出来的参数区间相比较，如图6左，其中方形区域是、单参数确定的95置信区间，椭圆形区域是、的95联合置信区间，图形中的散点表示每次估计出来的、的值构成的点。从图形中我
29、们可以看到大概有5的点落在了95的联合置信区间的外面，但是当我们考虑单参数置信区间时发现在区域以外的点大大超过了5，这表明单参数估计的置信区间存在一定的问题，类似的现象我们还可以在和的估计中（见图6右）看到，联合置信区间比较准确的捕获了数据的特性，单参数置信区间的表示方法有较大的误差。图7：Bootstrap方法得到的、和的经验分布图另外，从四个参数估计序列我们可以得到四个参数的经验分布（见图7），通过线性插值的方法得到参数的估计值和95的置信区间（见表4），用Bootstrap方法估计的置信区间明显比最大似然估计得到的置信区间要宽，但是两种方法估计出来的参数值比较接近，特别是对和的估计的误差
30、都在以上，没有明显的差别，只需要对使用似然比率计算出的置信区间做适当的调整。 下界0.0890.3181.8062.3720.0850.3151.7892.348估计值0.2220.3701.9662.7910.2420.3771.9552.816上界0.3510.4282.1443.3290.3860.4482.1343.379区间长度0.2620.110.3380.9570.3010.1330.3431.031表4：参数的Bootstrap估计和95置信区间有了前面的结果，我们就可以把两个模型结合起来计算收益的和。首先，根据公式（11）和第一步中估计出的ARMAAGARCH模型中的参数计算
31、时刻的波动率，然后把的、的值和95的上下界代入就可以得到收益的和的值和95的上下界（见表5）：0.01397 下界1.8062.3720.0243970.0323041.7892.3480.0241590.03197估计值1.9662.7910.0266320.0381571.9552.8160.0264780.03851上界2.1443.3290.0291190.0456732.1343.3790.0289790.04637区间长度0.3380.9570.0038890.0125360.3431.0310.0039590.01357未经ARMAAGARCH模型调整估计出来的和下界估计值上界下
32、界估计值上界0.02830.030790.03140.03850.044030.0549表5：残差序列和收益序列的和比较计算出来的和值，我们发现ARMAAGARCH模型调整估计出来的和比未经调整估计出来的值明显偏小，这主要是因为在1992年到1994年间中国的股市处于起步阶段，监督力度不够，市场波动幅度比较大，也使得未经调整的超限收益主要发生在1995年以前（见图2），并没有考虑到在1996年以后证券市场进一步规范化，股市超限收益波动减小，应该对和进行相应的调整。而数据调整过的极值预测，可以有效的考虑到这一因素所造成的影响，使得对未来的估计更多的考虑到现在的市场环境，更准确估计上证指数现在所面
33、临的风险。6 小结本文在传统单纯采用极值理论描述股票收益尾部特征的基础上，根据中国新兴股票市场收益序列的特征，把ARMAAGARCH模型和极值理论有机结合起来，采用GMM方法，不对残差做任何的分布假定，估计ARMAAGARCH模型参数，保持了残差原有的特征，为极值理论准确刻画残差的内在规律提供了前提。并通过对中国上证指数自1990年12月19日2004年9月30日的日收益率进行了实证研究，得到上证指数的一些基本特征：（1）上证指数具有明显的序列相关和非对称性条件异方差现象，不能满足极值理论的前提假设，ARMAAGARCH模型，有效的解释了这一现象，降低残差的序列自相关和异方差现象；（2）比较G
34、MM参数估计结果与正态似然估计结果，GMM估计的参数表明上证指数收益率序列是方差有限的平稳序列，而正态似然估计结果认为上证指数收益率序列是方差无限的非平稳序列；（3）极值分布准确的拟合了残差序列99分位数之前的尾部特征，保证了估计的精确性。但是，99分位数之后拟合的小偏差，可能会造成估计的误差；（4）利用似然比率进行单参数估计置信区间的方法存在较大的误差，可以采用bootstrap方法改进。总之，ARMAAGARCH模型和极值理论结合估计和，克服了由于序列的非独立同分布对极值理论的应用造成的误差。同时，在不忽视历史信息的情况下，考虑到目前的市场环境，更准确估计上证指数现在所面临的风险。参考文献
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37、 on amphibian assemblages of the Roberts Creek watershed. Ministry of Forests, Vancouver Region. Interim report.Embrechets , Paul, 1999, Extreme Value Theory in Finance and Insurance, Department of Mathematics, ETH Zrich, Switzerland.Gilli , Manfred , Evis Kellezi 2003, An Application of Extreme Val
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40、pproach, Journal of Banking and Finance, 24, 1097-1130.Neftci S. N., 2000, Value at Risk Calculations, Extreme Events, and Tail Estimation. Journal of Derivatives. 8, 1-15.Pickands J. , 1975, Statistical inference using extreme order statistics.Ann.Stat.,3, 119-131.Skoglund , 2001, A simple efficien
41、t GMM estimator of GARCH models. Department of Economic statistics, Stockholm School of Economics, Working paper.VaR Measure Based on Extreme Value TheoryZheng Zhenlong Wang Baohe(Department of Finance, Xiamen University 361005)Abstract: Instead of using Extreme Value Theory alone, this paper combin
42、es ARMA(Asymmetric)GARCH Model with Extreme Value Theory to describe the statistic character of return series. We firstly build an ARMA(Asymmetric)GARCH Model to fit the correlationship and heteroskedasticity of return series. The parameters in the Model were estimated by the method of GMM. Then we
43、employ the Extreme Value Theory to analyze the innovations and estimate the interval of VaR and ES on alpha critical level using the method of bootstrap, which we believe is better than the method of likelihood rate. Finally we empirically study the return series of Shanghai stock index. We find tha
44、t our model can well fit the return series.Key Words: POT Model；ARMAAGARCH Model； GMM EstimateJEL Classification: E21, G11Editors note: Judson Jones is a meteorologist, journalist and photographer. He has freelanced with CNN for four years, covering severe weather from tornadoes to typhoons. Follow
45、him on Twitter: jnjonesjr (CNN) - I will always wonder what it was like to huddle around a shortwave radio and through the crackling static from space hear the faint beeps of the worlds first satellite - Sputnik. I also missed watching Neil Armstrong step foot on the moon and the first space shuttle take off for the stars. Those events were way before my time.As a kid, I was fascinated with what goes on in the sky, and when NASA pulled the plug on the shuttle program I was heartbroken. Yet the privatized spa
