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1、经典三角形证明题选讲（含答案）三角形辅助线做法线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验 1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADADBC1. 证明：延长AD到E,使DE=AD, 则ADCEBD BE=AC=2 在ABE中,AB-BEAEAB+BE ，10-22AD10+2 4AD6又AD是整数,则AD=5思路点拨：三角形中有中线，延长中线等中线。2.已知：BC=DE，B=E，C=D，F是CD中点，求证：1=2ABCDEF212.证明：连接BF和EF. BC=ED,CF=DF,BCF=EDF BCFEDF(边角边). BF=EF,CBF=DEF. 连
2、接BE.在BEF中,BF=EF，EBF=BEF又 ABC=AED， ABE=AEB. AB=AE在ABF和AEF中，AB=AE,BF=EF,ABF=ABE+EBF=AEB+BEF=AEF. ABFAEF1=2.思路点拨：解答本题的关键是能够想到证明AB=AE,而AB、AE在同一个ABE中，可利用ABE=AEB来证明.同一三角形中线段等，可用等角对等边BACDF21E3.已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求证：EF=AC证明：过E点，作EG/AC，交AD延长线于G则DEG=DCA，DGE=2又CD=DEADCGDE（AAS）EG=ACEFABDFE=11=2DFE=DGEEF=EGEF=AC
3、思路点拨：角平分线平行线，等腰三角形来添。4.已知：AD平分BAC，AC=AB+BD，求证：B=2C证明： 延长AC到E使CE=CD，连接 ED，则CDE=E AB=AC+CD AB=AC+CE=AE又BAD=EAD，AD=AD BADEAD B=EACB=E+CDE，ACB=2B 方法二在AC上截取AE=AB，连接EDAD平分BACEAD=BAD又AE=AB，AD=ADAEDABD（SAS）AED=B，DE=DBAC=AB+BD ，AC=AE+CE CE=DEC=EDCAED=C+EDC=2C B=2C思路点拨：线段等于线段和，理应截长或补短5.已知：AC平分BAD，CEAB，B+D=180
4、，求证：AE=AD+BE证明：过C作CFAD交AD的延长线于F.在CFA和CEA中 CFACEA90又CAFCAE， AC=ACCFACEA ， AEAFADDF， CE=CFBADC180，FDCADC180 BFDCE在CEB和CFD中 ，CE=CF,CEBCFD90, BFDCECEBCFDBEDF AEADBE思路点拨：图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现6. 如图，四边形ABCD中，ABDC，BE、CE分别平分ABC、BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。证明:在BC上截取BF=BA,连接EF. ABE=FBE,BE=BE, ABEFBE(SAS
5、),EFB=A;ABCD, A+D=180;又EFB+EFC=180, EFC=D;又FCE=DCE,CE=CE, FCEDCE(AAS),FC=CD.BC=BF+FC=AB+CD. 思路点拨：线段等于线段和，理应截长或补短法二：延长BE交CD的延长线于点F，易证BC=FC=FD+DC又BCE=FCEBE=FE; 易证ABEDFE AB=FD BC=AB+DC法三：易证BEC=90,取BC中点F，连接EF,则；FEB=FBE=ABEABEF同理DCEF又F为BC中点 E为BC中点 BC=AB+DC思路点拨：三角形两边有中点，连接可得中位线。梯形一腰有中点，亦可尝试中位线法四：过E作EF/AB交
6、BC于点F,则FEB=ABE=FBE EF=BF,同理EF=CF, BF=CF, EF=又EF/AB/DC AE=ED BC=AB+DC思路点拨：角平分线平行线，等腰三角形来添。7. 已知：AB/ED，EAB=BDE，AF=CD，EF=BC，求证：F=CDCBAFE证明：连接BEABED, ABE=DEB又EAB=BDE ,BE=EBABEDEB，AE=DB又AF=CD,EF=BCAFEDCB，C=F8如图，在ABC中，BD=DC，1=2，求证：ADBC证明：延长AD至H交BC于H;BD=DC， DBC=DCB1=2， DBC+1=DCB+2;即ABC=ACB， AB=ACABDACD， BA
7、D=CADADBC思路点拨：中线、垂线、角平分线，三线合一试试看。9如图，OM平分POQ，MAOP,MBOQ，A、B为垂足，AB交OM于点N求证：OAB=OBA证明：OM平分POQ ，MAOP,MBOQMA=MBMAB=MBAOAM=OBM=90度OAB=90-MAB ，OBA=90-MBAOAB=OBA思路点拨：同一三角形中角相等，可用等边对等角10已知：BC=DE，B=E，C=D，F是CD中点，求证：AFCD ABCDEF证明：同2先证出AB=AE,然后连接AC、AD,再证明ABCAED，从而AC=AD, 又F是CD的中点，AFCD11.如图，在ABC中，已知AB=AC，1=2，求证：BD
8、=DC证明：AB=AC ABC=ACB 又 1=2 DBC=DCB BD=DC12（改编）如图，在ABC中，已知AB=AC，ADB=ADC，求证：BD=DC提示：将ADB绕点A逆时针旋转BAC得AEC，连接DE,可证出CDE=CED从而CD=CE=BD思路点拨：当题中出现等腰三角形时，可以考虑用旋转的方法打开思路，添加辅助线。特别是题中有正方形、等边三角形、等腰直角三角形时 ，更是如此13如图，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DEAC于E，BFAC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能
9、否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由（1）证明：连接BE，DFDEAC于E，BFAC于F，DEC=BFA=90，DEBF，在RtDEC和RtBFA中，AF=CE，AB=CD，RtDECRtBFA，DE=BF四边形BEDF是平行四边形MB=MD，ME=MF；（2）解：上述结论仍然成立证明如下：连接BE，DFDEAC于E，BFAC于F，DEC=BFA=90，DEBF，在RtDEC和RtBFA中，AF=CE，AB=CD，RtDECRtBFA，DE=BF四边形BEDF是平行四边形MB=MD，ME=MF 本题也可以用证明两次三角形全等的方法14已知：如图，DCAB，且DC=AE，E为AB的中点，
10、（1）求证：AEDEBC（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除EBC外，请再写出两个与AED的面积相等的三角形（直接写出结果，不要求证明）：(1) 证明：DCAE，且DC=AE，四边形AECD是平行四边形。于是知AD=EC，且EAD=BEC。由AE=BE， AEDEBC。（2）解：AEC、ACD、ECD都与AED面积相等。15如图，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F求证：BD=2CE证明： BECE BEF=BEC=90 在BEF和BEC中 FBE=CBE, BE=BE, BEF=BEC BEFBEC(A
11、SA) EF=EC CF=2CE ABD+F=90,ACF+F=90 ABD=ACF 在ABD和ACF中 ABD=ACF, AB=AC, BAD=CAF=90 ABDACF(ASA) BD=CF BD=2CE思路点拨：如何发现哪两个三角形全等？可以通过旋转来发现16、如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BECF，BE=CF。求证：AM是ABC的中线。证明：BECFE=CFM，EBM=FCMBE=CFBEMCFMBM=CMAM是ABC的中线. 17、AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF证明：在ABD与ACD中AB=AC ，BD=CD， AD=ADABDACDBA
12、D=CADBDF=FDC在ABF与ACF中AB=AC,BAD=CAD,AF=AFABFACF,BF=CF本题也可利用线段的垂直平分线定理来证，该证法更简洁18、如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。证明：AB=DC AE=DF CE=FB CE+EF=EF+FBABECDF DCB=ABFAB=DC BF=CEABFCDEAF=DE本题亦可用平行四边形的知识来证明19. .公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中ABCD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BECF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.证明：AB平行CD（
13、已知）B=C（两直线平行，内错角相等）M在BC的中点（已知）BM=CM（中点定义）在BME和CMF中 BE=CF（已知） B=C（已证） BM=CM（已证）BMECMF（SAS）EMB=FMC（全等三角形的对应角相等）EMF=EMB+BMF=FMC+BMF=BMC=180（等式的性质）E，M，F在同一直线上思路点拨：要证明E、M、F三点在同一条直线上，只需证明EMF=18020已知：点A、F、E、C 在同一条直线上， AFCE，BEDF，BEDF求证：ABECDF证明：AF=CEAF+EF=CE+EFAE=CFBE/DFBEA=DFC又BE=DF ABECDF（SAS）21已知：如图，AB=A
14、C，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，ACBDEF求证：BE=CD证明：连接BC AB=AC， EBC=DCB BDAC，CEAB BEC=CDB BC=CB (公共边) EBCDCB BECD也可证CEABDA，从而AE=AD,又AB=AC，AB-AE=AC- AD， BECD22 . 已知：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE若AB = 5 ,DCBAE求AD 的长？解：C=E=90度B=EAD=90度-BACBC=AEABCDAEAD=AB=523如图：AB=AC，MEAB，MFAC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB
15、=MC证明AB=AC ,B=CMEAB，MFAC MEB=MFC=90又ME=MF，BEMCFMMB=MC24在ABC中，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.（1）ADC=ACB=BEC=90，CAD+ACD=90，BCE+CBE=90，ACD+BCE=90CAD=BCEAC=BC，ADCCEBADCCEB，CE=AD，CD=BEDE=CE+CD=AD+BE（2）ADC=CEB=ACB=90，ACD=CBE又AC=BC，ACDCBECE=AD，CD=BEDE=CE
16、CD=ADBE25如图所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）ECBFAEBMCF（1）AEAB，AFAC，BAE=CAF=90，BAE+BAC=CAF+BAC，即EAC=BAF，在ABF和AEC中，AE=AB，EAC=BAF，AF=AC，ABFAEC（SAS），EC=BF；（2）如图，根据（1），ABFAEC，AEC=ABF，AEAB，BAE=90，AEC+ADE=90，ADE=BDM（对顶角相等），ABF+BDM=90，在BDM中，BMD=180-ABF-BDM=180-90=90，ECBF 26如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。
17、求证：（1）AM=AN；（2）AMAN。证明：（1）BEAC，CFABABM+BAC=90，ACN+BAC=90ABM=ACNBM=AC，CN=AB ABMNCAAM=AN（2）ABMNAC，BAM=NN+BAN=90 BAM+BAN=90即MAN=90 AMAN也可先证明BFMCFA得BF=CF,FM=FA 又CN=AB AB- BF= CN- CFFA= FN,FM=FA= FN, 又AFM=AFN=90AM=AN,3=4=45AMAN27如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BCEF证明：在ABF和CDE中, AB=DE，A=D， AF=CDABFCDE（边角边）
18、，FB=CE在四边形BCEF中，FB=CE ，BC=EF四边形BCEF是平行四边形， BCEF29、 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE求证:BECF证明：AD是ABC的中线 BD=CDDF=DE（已知），BDE=FDC BDEFDC EBD=FCD BECF（内错角相等，两直线平行） 28、已知：如图，ABCD，DEAC，BFAC，E，F是垂足，ADECBF求证：证明：DEAC，BFAC，DEC=BFA=90，在RtDEC和RtBFA中，DE=BF，AB=CD，RtDECRtBFA，C=A，ABCDACEDB29、 如图，已知ACAB，DBAB，ACBE，AEBD，试猜想线段C
19、E与DE的大小与位置关系，并证明30、 如图，已知ABDC，ACDB，BECE，求证：AEDE.ABECD证明：AB=DC,AC=DB，BC=BCABCDCB，ABC=DCB又BE=CE，AB=DC ABEDCEAE=DEABCDEF图9*31如图9所示，ABC是等腰直角三角形，ACB90，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：ADCBDE证明：作CG平分ACB交AD于GACB=90ACG= DCG=45ACB=90 AC=BCB=BAC=45B=DCG=ACGCFADACF+DCF=90 ACF+CAF=90CAF=DCF AC=CB ACG=BACGCB
20、ECG=BE DCG=B CD=BDCDG BDEADC=BDE32、已知：D是AB中点，ACB=90，求证：DABC延长CD与P，使D为CP中点。连接AP,BPDP=DC,DA=DBACBP为平行四边形又ACB=90平行四边形ACBP为矩形AB=CP=1/2AB33.已知：AB=CD，A=D，求证：B=CABCD证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。则：AED是等腰三角形。AE=DE而AB=CDBE=CE (等量加等量，或等量减等量）BEC是等腰三角形B=C.34.P是BAC平分线AD上一点，ACAB，求证：PC-PBDE。当AEB越小，则DE越小。证明：过D作AE平行线与AC交于F，连接FB由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且DFB为等腰三角形。RTBAE中，AEB为锐角，即AEB90DF/AE FDB=AEB45RTAFB中，FBA=90-DBF 45ABAFAB=CE AF=DECEDE
