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1、对角线取值范围问题（同三角形第三边中线取值范围）平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线长a的取值范围为 ( )A4a16 B14a26 C12a20 D8a32平行四边形的判定：1：定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形4：对角线相互平分的四边形是平行四边形14.平行四边形的判定（一） 定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形例题1：如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC过点A作AEBC于点E；过点C作CFAE，交AD于点F；求证：四边形AECF为平行四边形练习：1、已知：如图
2、，ABC是等边三角形，D、E分别是BA、CA的延长线上的点，且AD=AE，连接ED并延长到F，使得EF=EC，连接AF、CF、BE（1）求证：四边形BCFD是平行四边形；证明：（1）ABC为等边三角形，且AE=AD，由题可知AED=ADE=EAD=60EFBC，又EC=EF，ECF为等边三角形，即EFC=EDB=60，CFBD四边形BCFD为平行四边形2、如图：平行四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，AN与DM相交于点P，BN与CM相交于点Q。试说明PQ与MN互相平分。3、如图，在四边形ABCD中，AH、CG、BE、FD分别是A、C、B、D的角平分线，且BEFD，AHCG，证明四边
3、形ABCD为平行四边形15.平行四边形的判定（二）：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例题1：如图，在ABCD中，延长CD到E，使DECD，连接BE交AD于点F，交AC于点G。求证：AFDF【答案】解：（1）证明：如图1，连接BD、AE， 四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD。DECD，ABDE，ABDE。四边形ABDE是平行四边形。AFDF。练习：1、如图，已知平行四边形ABCD，过A作AMBC于M，交BD于E，过C作CNAD于N，交BD于F，连结AF、CE (1)求证：四边形AECF为平行四边形；【答案】（1）证明四边形ABCD是平行四边形（已知），BCAD（平行四边形的对边
4、相互平行）。又AM丄BC（已知），AMAD。CN丄AD（已知），AMCN。AECF。又由平行得ADE=CBD，又AD=BC（平行四边形的对边相等）。在ADE和CBF中， DAE=BCF=90 ，AD=CB，ADE=FBC，ADECBF（ASA），AE=CF（全等三角形的对应边相等）。四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）。2、如图：在ABCD中，分别是四条边上的点，且, 试说明：与相互平分例题2：如图，ABC和ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC，连接EF、EB（1）求证：ABEACD； （2）求证：四边形EFCD是平行四边形练习：1、
5、如图1,在OAB中,OAB=90,AOB=30,OB=8.以OB为一边,在OAB外作等边三角形OBC,D是OB的中点,连接AD并延长交OC于E.(1)求点B的坐标.(2)求证:四边形ABCE是平行四边形.(3)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.【解析】(1)AOB=30,OB=8,AB=4,OA=43,B(43,4).(2)OBC是等边三角形,OC=OB=8.D点为OB的中点,OD=4.又AD是RtOAB斜边的中线,AD=12OB=OD,ODA=180-230=120,EDO=60.又EOD=60,OED为等边三角形,OE=4,E(0,4),CE=
6、4,CE=AB.又CEAB,四边形ABCE是平行四边形.(3)GA=GC,GA2=GC2.即OG2+OA2=(OC-OG)2,OG2+(43)2=(8-OG)2,OG=1.16.平行四边形的判定（三）:两组对边分别相等的四边形是平行四边形例题1：如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是【 】A平行四边形B矩形C菱形D梯形练习：1、如图，点A、B、C是坐标平面内不在同一直线上的三点，画出以A、B、C三点为顶点的平行四边形 例题2：如图所示，试证明：四边形PONM是平行四边形练习：1、在
7、ABCD中,分别以AD,BC为边向内作等边ADE和等边BCF,连接BE,DF.求证:四边形BEDF是平行四边形.2、四边形的四条边长分别是a、b、c、d，其中a、c为对边，且满足，则这个四边形一定是( )A平行四边形 B两组对角分别相等的四边形C对角线互相垂直的四边形 D对角线相等的四边形3、等边ABC中，点D在BC上，点E在AB上，且CD=BE，以AD为边作等边ADF，如图求证：四边形CDFE是平行四边形4、如图所示，以ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形ABD、BCE、ACF，猜想：四边形ADEF是什么四边形，试证明你的结论证明：四边形ADEF是平行四边形连接ED、EF，ABD
8、、BCE、ACF分别是等边三角形，AB=BD，BC=BE，DBA=EBC=60DBE=ABCABCDBE 同理可证ABCFEC，AB=EF，AC=DEAB=AD，AC=AF，AD=EF，DE=AF四边形ADEF是平行四边形17.平行四边形的判定（四）:对角线相互平分的四边形是平行四边形例题1：已知A（2,3）B（-2,5），A、B点关于原点的对称点分别为C、D，依次连接A、B、C、D点，则四边形ABCD是什么四边形？例题2、如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，过A、C两点分别作于E点，于F点，求证：四边形AECF是平行四边形 练习：1、如图是某市一公园的路面示意图，其中，ABCD是平
9、行四边形，BEAC， DFAC，E、F是垂足，G、H分别是BC、AD的中点，连接EG、GF、FH，HE为公园中小路，问小明从B地经E地，H地到F地，与小强从D地经F地，G地到E地，谁的路程远？2、如图所示，在ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AFCE，求证：四边形BEDF是平行四边形3、如图，在ABCD中，点M、N是对角线AC上的点，且AMCN， DEBF，求证：四边形MFNE是平行四边形18.坐标平行四边形知识点总结：若A、B、C为已知点，则求一点D与他们构成平行四边形，则有三个点、，则有=A+B-C =A+C-B =B+C-A（按照中点坐标公式和对角线相互平分性质）例题1、已知点A（
10、1，0），B（2，1），D（0，1）请在直角坐标系中找一点C与A、B、C、D四点构成平行四边形，则点C的坐标为 _.练习：1、若以A（-0.5，0），B（2，0），C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在【 】A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2、已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为 例题2、如图，在平面直角坐标系中，已知RtAOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程的两根(OA0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，
11、动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒 (1)求A、B两点的坐标。 (2)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由练习：1、如图，四边形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且AF=2 （1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由19.动点平行四边形例题1：在四边形ABCD中，A
12、DBC，且ADBC，BC=6cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？练习：1、如图，在ABC中，AB=AC，射线AMBC，点P从点A出发沿射线AM运动，同时点Q从点B出发沿射线BC运动，设运动时间为t（s）（1）连接PQ、AQ、PC，当PQ经过AC的中点D时，求证：四边形AQCP是平行四边形；（2）若BC=6cm，点P速度为1cm/s，点Q的速度为4cm/s，填空：当t为_s时，以A、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形；（1）证明：D为AC中点，AD=CD，AMBC，PAC=ACB，在ADP和
13、CDQ中，PADDCQADCDADPCDQ，ADPCDQ（ASA），PD=DQ，又AD=CD，四边形AQCP是平行四边形；（2）当Q在线段BC上，AP=QC时，以A、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形，由题意得：t=6-4t，解得：t=1.2，当Q在C的右边时，AP=QC时，以A、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形，由题意得：t=4t-6，解得：t=2，故答案为：1.2或2；2、如图，ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BEAD，垂足为E，连接CE，过点E作EFCE，交BD于F（1）求证：BF=FD；（2）点D在运动过程中能否使得四边
14、形ACFE为平行四边形？如不能，请说明理由；如能，求出此时A的度数解：（1）在RtAEB中，AC=BC，CB=CE，CEB=CBECEF=CBF=90，BEF=EBF，EF=BFBEF+FED=90，EBD+EDB=90，FED=EDF，EF=FDBF=FD（2）能理由如下：若四边形ACFE为平行四边形，则ACEF，AC=EF，BC=BF，BA=BD，A=45当A=45时四边形ACFE为平行四边形3、将一副三角尺如图拼接：含30角的三角尺（ABC）的长直角边与含45角的三角尺（ACD）的斜边恰好重合已知AB2，P是AC上的一个动点（1）当点P运动到ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；（2
15、）当点P在运动过程中出现PDBC时，求此时PDA的度数； （3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时DPBQ的面积DACB4、直线与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止。点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿O-B-A运动。 （1）直接写出A、B两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式。 （3）当时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标。20.性质和判定综合例题1、如图E、F是四边形ABCD的对角线AC
16、上的两点，AF=CE，DF=BE，DFBE 求证：（1）AFDCEB （2）四边形ABCD是平行四边形解：（1）因为DFBE， 所以AFDCEB 又因为AF=CE， DF=BE， 所以AFDCEB（2）由(1)AFDCEB知AD=BC，DAFBCE ， 所以ADBC ，所以四边形ABCD是平行四边形例题2：如图，在ABC中，ACB90，D是BC的中点，DEBC，CE/AD，若AC2，CE4，则四边形ACEB的周长为 。例题3、如图，点D是ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE（点P、E在直线AB的同侧），如果，
17、那么PBC的面积与ABC面积之比为【 】A. B. C. D.【答案】D。【考点】平行四边形的判定和性质。【分析】过点P作PHBC交AB于H，连接CH，PF，PE。APBE，四边形APEB是平行四边形。PEAB。，四边形BDEF是平行四边形，EFBD。EFAB。P，E，F共线。设BD=a，PE=AB=4a。PF=PEEF=3a。PHBC，SHBC=SPBC。PFAB，四边形BFPH是平行四边形。BH=PF=3a。SHBC：SABC=BH：AB=3a：4a=3：4，SPBC：SABC=3：4。故选D。练习:1、如图，是等边三角形，P是三角形内任一点，若周长为12，求PD+PE+PF的值2、图3是
18、某城ECBC，BADE，BDAE，EF=FC甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1市部分街道示意图，图中AFBC，路车，路线是BAEF，乙乘2路车，路线是BDCF假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F点，请说明理由3、已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，DE/AC，交BC的延长线于点E，EFAB于点F，ABCDEF求证：AD=CF。4、如图，已知在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BEDF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AGCH，连接GE、EH、HF、FG。求证：四边形GEHF是平行四边形。 5、已知，如图，在ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AEC
19、F，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.（1）求证：AEMCFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形.【答案】证明：(1） 四边形ABCD是平行四边形，ABDC ，ADBC。E=F，DAB=BCD。 EAM=FCN。又AE=CF AEMCFN（ASA）。（2） 由（1）AEMCFN， AM=CN。又四边形ABCD是平行四边形，ABCD 。BMDN。四边形BMDN是平行四边形。【考点】平行四边形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。FEMCBAD 6、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB的延长线上截取BE=AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M
20、，求证：CD=CM.7、如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，AEP=90，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为?；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由（1）解：四边形ABCD是正方形，B=D，AEP=90，BAE=FEC，在RtABE中，AE=，sinBAE=sinFEC=，=，（2）证明：在BA边上截取BK=NE，连接KE，B=90，BK=BE，BKE=45，AKE=135，CP平分外角，DCP=45，ECP=135，AKE=ECP，AB=CB，BK=BE，ABBK=BCBE，即：AK=EC，易得KAE=CEP，在AKE和ECP中，AKEECP（ASA），AE=EP；（3）答：存在证明：作DMAE于AB交于点M，则有：DMEP，连接ME、DP，在ADM与BAE中，ADMBAE（AAS），MD=AE，AE=EP，MD=EP，MDEP，四边形DMEP为平行四边形
