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1、第九章 应力状态理论基础同济大学航空航天与力学学院 顾志荣一、教学目标通过本章学习，掌握应力状态的概念及其研究方法；会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况；会计算平面应力状态下斜截面上的应力；掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力、主方向的计算，并会排列主应力的顺序；掌握广义胡克定律；了解复杂应力状态比能的概念；了解主应力迹线的概念。二、教学内容1、应力状态的概念；2、平面应力状态分析-数解法3、平面应力状态分析图解法4、三向应力状态下的最大应力；5、广义胡克定律体应变；6、复杂应力状态的比能；7、梁的主应力主应力迹线的概念。三、重点难点重点：1、平面应力状态下斜截面上的应力计
2、算，主应力及主方向的计算，最大剪应力的计算。2、广义胡克定律及其应用。难点：1、应力状态的概念，从具体受力杆件中截面单元体并标明单元体上的应力情况。2、斜截面上的应力计算公式中关于正负符号的约定。3、应力主平面、主应力的概念，主应力的大小、方向的确定。4、广义胡克定律及其应用。四、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。五、计划学时 6学时六、实施学时七、讲课提纲本章与前几章在研究对象上的不同之处。回顾：内力图：、-一根（杆、轴、梁）强度计算本章：应力状态 一点。(一)应力状态的概念一、为什么要研究一点的应力状态？简单回顾：拉压：图9-1 强度条件： 扭转：图9-2强度
3、条件： 弯曲：图11-3强度条件：但，到目前为止尚不能对如第4点的应力情况进行校核，因此：1、为了对某些复杂受力构件中既存在又存在的点建立强度条件提供依据。2、为实验应力分析奠定基础通过实验来研究和了解结构或构件中应力情况的方法，称为实验应力分析。应力状态、应变状态在实验应力分析等方面的广泛应用：实验方案的制订：验证理论计算结果：复杂受力结构、构件的应力测试等等。 二、什么叫一点的应力状态？通过某一点的所有截面上的应力情况，或者说构件内任一点沿不同方向的斜面上应力的变化规律，称为一点的应力状态。三、怎样研究一点的应力状态？ 在构件内取得单元体代替所研究的点：通过截面法研究单元体各个斜截面上的应
4、力情况来研究一点的应力状态。1、单元体的概念：正六面微体：边长为无穷小量，dx、dy、dz，故：任意一对平行平面上的应力均相等；各个面上的应力都均匀分布；任意、相互平行方向的应变均相同。2、怎样取单元体取单元体的原则：尽量使三对面上的应力为已知（包括应力等于零）先定横截面上的、，然后按互等定律确定其他面上的剪应力。 一对横截面 dx取法 一对纵截面（平行上、下面） dy 一对纵截面（平行前、后面） dz3、根据构件的受力情况，绘应力单元体例：受拉伸或压缩构件上的应力单元体 受扭构件上的应力单元体 弯曲构件上的应力单元体，等等(二)平面应力状态分析数解法一、斜截面上的应力(a)(b)图9-4已知
5、：受力构件中的应力单元体求：任一斜截面上的应力、设：解：截面法：截出任一斜截面如下：图9-51、面上的应力 静力平衡条件，不是应力平衡 :整理上式得，同理，得上述二式：从数学上看上述两个方程式为参数方程，参变量为；从力学上看，这两个方程称为一点的任意斜截面上的应力公式。图9-62、面（+90）上的应力：若令=90+，则 3、面上应力之间的关系：将式+式，可以看到：常量即任意两个互相垂直面上的正应力之和是常数。从式、可以看到：即剪应力互等定律将、表示在单元体上 图9-7二、= 在何处？ 该处=？令，则： 即的面上有极值这个面在何处？由这个式子可得正应力极值所在面的方位：为区别于任意截面的，令式中
6、的，也从 x轴算起。方位：任意（为方便）令：，则可以发现：有两个根：（即正应力极植有两个面）：- -具有极植的这两个面相差90。即：在两个互相垂直的斜面上，其正应力或为极大值或为极小值。大小：将求得的代入式，得显然，在的面上三、= ? 在何处？ 该处=？令 即： 方位： 将代入(2)式,得:大小: 面上的正应力:四、主平面、主应力、主应力的排列主平面：单元体中只有正应力而没有剪应力的平面称为主平面。主应力：主平面上的正应力称为该点的主应力。主应力的排列：、用代数值确定，排列为五、应力状态的分类一个单元体上最多只能出现三对主应力，最少可以均为0。按主应力存在多少，应力状态分为： 1、三向应力状态
7、（三个主应力都不等于零）图9-82、二向应力状态（两个主应力不等于零）图9-93、单向应力状态（只有一个主应力都不等于零）图9-10(三)平面应力状态分析图解法一、应力圆（0Mohr圆）的由来任意斜截面上的应力计算公式从数学上来看，这两个方程是个参数方程，参变量为2，即若消去和，则一定能找到的曲线方程0Mohr作了这个工作：首先将式改写，即将式子等号右边的第一项移到等号左边，然后对等式两边平方；再对式的两边平方；最后将两式相加，并利用这一关系消去sin2和cos2而得： 这就是所求的曲线方程（应力圆的方程）由解析几何的原理可知，方程（x-a）2+y2=R2 (a)这是一个圆心在（a、0），半径
8、为R的圆的曲线方程。即图9-11对照(a)、两式：x_y_a_R_图9-12从力学观点看：若已知一个应力单元体两个互相垂直面上的应力就一定可以作一个圆，圆周上的各点就是该单元体任意斜截面上的应力。平面应力状态下任意斜截面上的应力相互制约在圆周上变化。从以上的数学方程、力学观点分析，通常将此圆称为应力圆。由于0Mohr首先运用数学原理将应力单元体任意斜截面上的应力用图来表示，因此又称0Mohr圆。2、应力圆的一般做法图9-13取坐标系；按比例量取：；由此得Dx点；得Dy点连交轴于C；以C为圆心，或为半径作圆。即为所求的应力圆。从作圆的过程可以看到：应力圆上的点：Dx即代表单元体上X面上的应力；D
9、y即代表单元体上Y面上的应力；显然，单元体上任意斜截面上的应力就制约在应力圆的圆周上，所以可利用应力圆求单元体上任一斜截面上的应力。3、利用应力圆求单元体上任一斜截面上的应力四句话：点面相对应，首先找基准。转向要相同，夹角两倍整。例：求任意斜面上上的应力，见图9-13：E点的坐标就是所求的、值，即,最后，根据应力圆上E点的坐标，标出该斜截面上应力方向（见单元体的方向）。4、利用应力圆求单元体的主应力及方向最大正应力：最小正应力：主方向：（式中负号假设为+，现从DxA1为，为-）5、利用应力圆求单元体的最大剪应力及方向最大剪应力：最小剪应力：方向：应力圆上A1与G1相差900，即在主应力单元体上
10、主平面与所在面相差450 。 需要注意的是：面上还有，其值： 分析讨论题：1、图示平面应力状态下的单元体及其应力圆，试在单元体上表示出相应于应力圆上的点1、2、3、4、5、6、7、8的截面位置及应力方向。图9-14图9-152、图示一处在二向应力状态下的单元体及其应力圆。试在应力圆上用点表示0-1，0-2，0-3，0-4，0-5各截面的位置，并画出单元体斜面上的应力方向。图9-16(四)三向应力状态一、三向应力状态的概念单向、双向应力状态是三向应力状态的特例。工程中三向应力状态的实例：例1：地层一定深度处所取的单元体，竖向受岩土体的自重压力；侧向受四周岩土的侧向压力。图9-17例2：火车道轨上
11、取一单元体 例3：压力容器内壁取一单元体图9-18 图9-192、三向应力圆求与某个主应力平行的任意斜截面上的应力、：求平行于的任意斜截面上的应力、；显然、只与、有关图9-20求平行于的任意斜截面上的应力、；显然、只与、有关。图9-21求平行于的任意斜截面上的应力、；显然、只与、有关。图9-22求任意截面上的应力、；显然、与、都有关。图9-233、一点处的最大应力：最大正应力与最小正应力由和所作成的最大应力圆可见： 主剪应力与最大剪应力：由三向应力圆可知，在三向应力状态状态的单元体中，有三对主剪应力：最大剪应力例1 已知 ，求解: 例2 已知某点的正应力状态的应力值为26 Mpa、10 Mpa
12、，求？解： 1、确定主应力、，2、例3 已知平面应力状态的应力值 ，求解： 1、确定主应力、 2、(五)广义虎克定律根据拉压虎克定律和横向变形系数，即，可将虎克定律推广：一、三向主应力单元体的广义虎克定律，即 广义虎克定律 |棱边1 伸长棱边2 缩短棱边3 缩短 +棱边1 缩短棱边2 伸长棱边3 缩短 棱边1 缩短棱边2 缩短棱边3 伸长 2、三向应力状态时的广义虎克定律在式中，若三个主应力中有一个主应力为零，例如：，则式子可写为二向应力状态虎克定律 已知主应力求主应变利用式的前二式可将式改写成用主应变、表示、的形式： 已知主应变求主应力3、三向一般应力状态单元体的广义虎克定律可以证明：在小变
13、形、各向同性的情况下，于线弹性范围内：只与有关（伸长或缩短）只与有关（角度变化）故，可方便地按三向主应力单元体推导虎克定律的方法进行三向一般应力单元体的广义虎克定律的推导： (15，A) (15，B) 剪切虎克定律4、平面应力状态时的广义虎克定律在(15，A)式中，若，即平面应力状态的一般形式，则相应的广义虎克定律就为： 已知应力求应变利用式中的前二式，可改写上式，即写成用应变表示应力的形式: 已知应变求应力5、弹性常数E、G、间的关系在广义虎克定律中，已涉及到E、G、三个弹性常数。对于各向同性材料，这三个弹性常数间存在着如下关系： 讨论：广义虎克定律的应用范围：小变形、材料各向同性，线弹性范
14、围内。求应力的两条路：其一，从外力内力应力其二，从应变应力内力外力(六)平面应力状态下的应变分析一、应变分析数解法为使大家能对应力分析、应变分析进行比较，现将这两方面的结论摘录如下：1、任意斜截面上的正应力、剪应力： 主应力及主方向：主剪应力： 2、任意方向的线应变、剪应变： 主应变及主方向： (21)主剪应变： (22)根据平面应力状态分析图解法应力圆方程的分析可知：第组的曲线方程是个应力圆；与第组的方程对照可知，第组的曲线方程是个应变圆。二、应变分析图解法比较第1、2组方程，可以发现：与在数值上差 ，因此，在画应变圆时，只须将纵坐标值减半，然后作应变图。即选取如下的坐标系（见图28，a）已
15、知x、y、xy(设试绘应变圆：1、量取， ，2、连D1、D2两点，交轴于C点。3、以CD1或CD2为半径作应变圆。 图9-28应变圆与应力圆的比较： A1、A2-1、2（=0） A1、A2-1、2（=0）主应力与主应变的方向一致 A1（1）与A2（2）差1800A1（1）与A2（2）差1800最大最小主应变、主应力间的夹角差900 A1G与A1G差900 1与1差450 对应三、应变花由一点处三个方向的线应变求主应变由公式可知，欲求一点处的主应变，只要测得、和，但目前测尚有困难。为此，应变量测中常贴成应变花，即在所研究的点处量测两正交方向的线应变和，并量测与X轴间夹角为450的U方向的线应变（
16、见图29）。与之间的关系，可由式来求得： 图9-29即（23）这样，就可通过一点处三个方向的线应变来求得主应变。例题：已知，,求主应变？解： =1、数解法： （即逆时针转过2、图解法比例：1厘米=图9-30由图示得： (七)三向应力状态下的变形能一、体积应变1、体积应变的定义：单元体在单位体积上的体积改变称为体积应变。2、体积应变的计算式：三向主应力单元体的体积应变：图9-31原来的体积：受力后边长的改变：变形后的体积： 略去高阶微量（即两个或三个线应变的乘积项）则变形后的体积：设体积改变的增量为V，则按体积应变的定义得：体积应变： (24)将三个主应变与三个应力间的关系式代入上式，经简化后得
17、： (25)纯剪切应力状态单元体的体积应变纯剪切应力状态单元体的体积应变,即纯剪应力单元体的体积应变等于零。 图9-32三向一般应力状态单元体的体积改变根据上述两种应力状态单元体的体积应变的推证，可得三向一般应力状态单元体的体积应变为：(26)由此可见：与无关，只与三个互相垂直面上的正应力之和成正比。图9-33二、弹性变形能复杂应力状态下的比能1、比能的定义单元体在单位体积内所储存的弹性变形能为比能。2、比能的计算式推导比能公式的基本原理功能互换。复杂应力状态下的比能回顾：单向应力状态下比能公式的推导图9-34变形能U=W外力所做的功比能：(a)图9-35据此，对于三向应力状态下的单元体其比能
18、可以直接写为(b)将(b)式中的三个主应变也用主应力来表示，经简化即得：(27)体积改变比能和形状改变比能定义：体积改变比能单元体因体积改变所储存的变形比能，称为体积改变比能；形状改变比能单元体因形状改变所储存的变形比能，称为形状改变比能。体积改变比能的计算因为在一般情况下，所以物体发生变形又有形状改变。因此在(28)式中的比能应包括两个部分，即(c)如何将分别计算呢？因为两个体积应变相等的单元体，其体积改变比能也相等，所以将下图A所示的单元体上三个主应力均代之以三主应力的平均值，如图B所示。图9-36 (a) (b)图a、b所示的两单元体体积应变相等，体积改变比能显然也相等。而图b所示的单元
19、体其三个主应力相等，即只有体积改变而无形状改变，于是由它的比能来计算图 a所示单元体的体积改变比能，即 (28)形状改变比能的计算：将式(27)、(28)代如(c)式，即得形状改变比能例题：单元体应力状态如图a所示，已知材料的弹性模量E=200GPa，泊松比。试：图(a)在图（b）绘出应力圆 图(b)图(c)图9-37在图（C）中表示出指定截面上的应力，并在图（b）的应力圆上用a点表示a-a平面，用b点表示b-b平面，用C点表示C-C平面，用d点表示d-d平面。求主应力，并在图(a)中表示出主应力作用平面。数解法：，图(a)求主应变、， =32610-6 =-3010-6=-25610-6求线应变、 要计算，首先要计算和与他垂直的另一个正应力： 求体积应变，并问体积是增大还是减小？ 由答案可见：体积是增大。
