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1、 学号：*师范大学学士学位论文题 目 Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系学 生 *指导教师 年 级 2009级专 业 数学与应用数学专业系 别 数学系学 院 数学科学学院* 师 范 大 学学士学位论文开题报告 论文题目 Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系学生姓名 *指导教师 *年 级 09级07班专 业 数学与应用数学2012年 11 月课题来源：教师命题课题研究的目的和意义：目的：了解黎曼积分和勒贝格积分在分析中的地位意义：更好的学习积分知识国内外同类课题研究现状及发展趋势：数学的发展表明：黎曼积分和勒贝格积分在各自相应的时期都发挥着巨大的作用.从狭义上看
2、，勒贝格积分可以看作是黎曼积分的推广，同时.勒贝格积分的创立是积分发展从近代水平向现代水平升华的一次智力革命，勒贝格积分不仅扩大了可积函数类，而且还由于它独特的性质，解决了许多古典分析中不能解决的问题，使数学进入了现代分析时代。课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法： 本文主要概括和总结了黎曼积分和勒贝格积分在定义、积分性质、微分基本定理、本质、上的区别和联系。积分与极限换序方面的比较。得出了从狭义上看，勒贝格积分可以看作是黎曼积分的推广。勒贝格积分的创立使数学进入了现代分析时代。课题研究起止时间和进度安排：2012年12月5日，之前完成毕业论文开题报告。2012年12月20
3、日，搜集资料完成。2013年2 月20日，论文初稿完成。2013年3月20日，论文第一次校对完成。2013年4月，完成毕业论文。指导教师审查意见：同意开题指导教师 （签字） 年 月 教研室（研究室）评审意见：同意开题_教研室（研究室）主任 （签字） 年 月院（系）审查意见：同意开题_院（系）主任 （签字） 年 月Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系 摘要：Riemann积分与Lebesgue积分，这两种积分在分析数学中占有很重要的地位,它们之间既有区别又有联系，都曾在数学的发展史上发挥过巨大的作用.本文主要通过对Riemann积分和勒Lebesgue积分定义的分析与比较，归纳总
4、结出二者的区别与联系. 关键字：Riemann积分 Lebesgue积分 可测集 区别 联系 积分是整个分析数学中最基本的概念，现有的积分有两种形式：一种是作为近代数学核心的Riemann积分(下文简称积分)，一种是作为现代实变函数论核心的Lebesgue积分（下文简称积分），这两种积分既有密切的联系，又有本质的区别.一、 Riemann积分的定义 设是定义在上的有界函数，任取一分点组T将区间分成n部分，在每个小区间上任取一点,1,2,3,.作和令，如果对任意的分发与的任意取法，当时，趋于有限的极限，则称它为在上的黎曼积分，记为 二、 Lebesgue积分的定义 设是一个勒贝格可测集，是定义在
5、上的勒贝格可测函数，又设是有界的，就是说是否存在及，使得，在中任取一分点组记并任取（我们约定，当时，），作和如果对任意的分法与的任意取法，当时，趋于有限的极限，则称它为在上关于勒贝格测度的积分，记作三、Riemann积分与Lebesgue积分在定义上的比较1、“极限式”定义的比较1）Riemann积分的“极限式”定义设f(x)是定义在闭区间的有界函数，对区间的任一个分T：，记，=max,任取，i=1,2,3,.,n作和，并求极限，若该极限存在，则称在上Riemann可积。 并把该极限称为在上的积分，记作2) Lebesgue积分的“极限式”定义设f(x）是定义在可测集上的有界可测函数，且mE0
6、,存在自然数，使得当，时，必有，则称是中的基本点列。如果对于中的每个基本点列，都存在使得。则称距离空间是完备的。 令表示在区间上的全体Riemann可积函数，表示在区间上的全体Lebesgue可积函数。在和引入距离：。可知和在此距离下为距离空间。命题一:是一个不完备的空间。证明：不失一般性，取在区间0,1上作一个完备集使得。此只要确定关于的补集就可以了。我们构造如下：第一组取中点，长度为的开区间，第二组取中点分别为与，长度为的两个开区间，.,第组取余下的区间中点为中点，长度分别为的个开区间，显然这些区间互不相交，所取出的这些区间的全体记作则而且是一完备集下面我们在上定义一个函数列：显然有：而从
7、而对任给分，只有足够的大就有所以是空间上的基本点列。并且显然有：又因为在上不连续，并且。所以在上不是Riemann可积的。所以不是完备空间。命题二：是一个完备空间证明：设函数列是空间上的基本点列。即对任意的有自然数，当时，有，设:待添加的隐藏文字内容2则于是由Riesz定理：依测度收敛于，从而有子序列依测度收敛于，下面证明：也是基本列，即：对上面的，当时，有另一方面：当时，几乎处处依测度收敛于。由引理：故：，从而。于是： 所以：从而：是完备空间 结论，从Riemann积分推广到Lebesgue积分的本质是从不完备空间到完备空间的扩充。八、 总结 数学的发展表明：黎曼积分和勒贝格积分在各自相应的
8、时期都发挥着巨大的作用.从狭义上看，勒贝格积分可以看作是黎曼积分的推广，同时.勒贝格积分的创立是积分发展从近代水平向现代水平升华的一次智力革命，勒贝格积分不仅扩大了可积函数类，而且还由于它独特的性质，解决了许多古典分析中不能解决的问题，使数学进入了现代分析时代.但是值得一提的是，勒贝格积分并没有完全否定和抛弃黎曼积分，它把黎曼积分作为一种特例加以概括，并且在一定条件下勒贝格积分可以转化为黎曼积分，由此可见，黎曼积分和勒贝格积分各有自己的优势和价值. 从黎曼积分到勒贝格积分的发展过程，生动说明了数学的发展是永无止境的，随着科学和社会的发展，L积分也逐渐暴露出了它的局限性（在此不一一列举），积分理
9、论也是有待发展的.可以预测：随着科学和社会的不断发展，积分理论也会越来越完善。 参考文献：1 潘天舒：北京大学和世界一流大学经费比较，高等教育论坛1999年第4期。2 苏云峰：从清华学堂到清华大学，三联书店2001年版。3 周成林. 勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系 J . 新乡教育学院学报2005, (02) 4程其襄,等. 实变函数与泛函分析基础M . 北京:高等教育出版社, 2002, 52 - 167.5周民强. 实变函数论M . 北京: 北京大学出版社,2001, 145 - 267.6曹广福. 实变函数论M . 北京: 高等教育出版社,施普林格出版社, 2000, 80 - 130
10、.Riemann integral and Lebesgue integral differences and relations Abstract: Riemann integral and Lebesgue integral, both integral occupies a very important position in the analysis of mathematical different but they have played a huge role in the history of the development of mathematics in this pap
11、er by Riemannintegral and Le Lebesgue integral defined analysis and comparison, summarized the difference between the two contact. Keywords: Riemann integral Lebesgue integral measurable set difference Contact论文评阅人意见论文（设计）题目Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系作 者评阅人评阅人职称讲师意 见该论文以黎曼积分和勒贝格积分在定义、积分性质、微积分定理上的区别和联
12、系。介绍了黎曼积分和勒贝格积分的性质定义。文题相符，结构严谨，逻辑严密，语言流畅，表达准确，层次分明，格式完全符合规范要求，参考了丰富的文献资料. 该论文达到了学士学位论文水平要求，是一篇合格的毕业论文，同意其参加论文答辩，并建议授予学士学位. 论文评阅人意见论文（设计）题目Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系作 者指导教师职 称讲师评 语黎佳琪同学的学士学位论文Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系以多种方法为研究内容.论文中选取的证明方法贴近中学课堂教学，有很强的实际应用价值.文章篇幅完全符合学院规定，主体清晰，布局合理，深入浅出，详略得当，文章内容完整，论述
13、清楚，表达准确，举例恰当，有一定的个人见解.文题完全相符，论点突出，论述紧扣主题.语言流畅，格式完全符合规范要求；参考了丰富的文献资料，无抄袭现象.该论文达到了学士学位论文水平要求，是一篇合格的毕业论文，同意其参加论文答辩，并建议授予学士学位.本科毕业论文（设计）答辩过程记录院系 数学科学学院 专业 数学与应用数学 年级 2009 级 答辩人姓名 学号 毕业论文（设计）题目 Riemann 积分Lebesgue积分的区别和联系 毕业论文（设计）答辩过程记录：答辩是否通过：通过（ ） 未通过（ ）记录员 答辩小组组长签字 年 月 日 年 月 日本科毕业论文（设计）答辩登记表院（系）：数学科学学院数学系 专业：数学与应用数学 年级：2009级论文（设计）题目：Riemann积分和Lebesgue积分的区别和联系答辩人：学号：评阅人：指导教师： 论文（设计）等级：答辩小组成员：答辩小组意见：秘书签名： 年 月 日论文（设计）答辩是否通过：通过（ ） 未通过（ ）论文（设计）最终等级：答辩小组组长签名：答辩委员会主席签名：指导教师评语页论文（设计）题目Riemann积分和Lebesgue积分的区别和联系作 者指导教师职 称讲师 评 语指导教师签字论文等级
