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1、 编号 学士学位论文定积分的应用 学生姓名： 学 号：20080101037 系 部：数学系 专 业：数学与应用数学 年 级：2008-1班 指导教师： 完成日期：2013 年4 月 日中文摘要定积分是一元函数积分学中的另一个基本概念，它是从大量的实际问题中抽象出来的在自然科学与工程技术中有着广泛的应用，该论文主要讨论从几何问题物理问题出发叙述应用定积分解决各种问题的优越性。关键词：微元；体积；面积；参数方程；重心；旋转体；变化率为；中文摘要1引言11. 定积分的应用11.1定积分在几何方面的应用11.1.1微元法11.1.2用定积分求平面图形的面积21.2极坐标下平面图形的面积72. 应用定
2、积分求旋转体的体积82.1平行截面积已知的立体体积.82.1.1旋转体体积93.定积分在物理上的应用133.1重心133.2变力做功153.3电学上的应用154.定积分在经济中的应用16总结17参考文献18致谢19引言定积分在数学，物理上有好多个应用比如：求曲边梯形的面积，旋转体的体积，物体的重心，变力做功，转动惯量等等，为什么把这些问题应用定积分来计算？答案是很简单这些问题都与求和有关系，但是求和没那么容易事所以必须用定积分这工具来解决。1. 定积分的应用定积分在几何，物理及经济上有广泛的应用。首先我们介绍以下定积分这个概念。定义：设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数。若0，0，使得对的
3、任何分割，以及在其上任意选取的点集，只要，就有，则称函数在区间上可积或数称为在上的定积分，记作下面我们介绍以下定积分若干方面的应用。1.1定积分在几何方面的应用我们用什么样的方法把定积分应用在几何方面的问题？我们引入微元法这一概念。1.1.1微元法以曲边梯形面积为列，如图曲边梯形选取一个变量为积分变量，并确定其变化区间在区间上任取一个小区间并记为。 图1-1以点处的函数值为高，以为底的矩形面积作为其中称为面积微元，记为 于是面积为1.1.2用定积分求平面图形的面积直角坐标系下平面图形的面积。设函数在上连续求由曲线及直线（)所围成图形的面积。分析：在上任取小区间设此小区间上的面积为，它近似于高为
4、底为的小矩形面积，如图1-2所示，从而的面积微元为 以为被积表达式，在区间作定积分图1-2就是所求图形的面积在这个公式中无论曲线在轴的上方与下方都成立，只要在下方即可。例求由曲线所围成平面图形的面积。分析：先对曲线进行分析，显然曲线有无穷多个零点。且。 时， 我们可以画出草图如图1-3.进一步分析可知：时，时，. 图1-3 所求面积 解：由于 可得 求由曲线及直线所围成图形面积在区间上任取小区间，设此小区间上的面积为，则近似于高为，低为的小矩形面积，从而得面积微元于是所求面积为。例2求由叁数方程所围成图形的面积 ，分析：对参数方程所围图形，与直角坐标图形相似，必须讨论其所给曲线的几何特征，尔后
5、确定积分变量被积函数及积分区间。解：函数为周期（针对变量t而言）函数，因而在直角坐标系中只须考虑0t2范围内的叁数方程即可，原方程可变形为 ， 0t2.时，此时，曲线单升，至最右点为。时，曲线至最左点为，曲线至最左点为.，曲线至最低点为，曲线至点，曲线至点图象如图1-4所示 图1-41.2极坐标下平面图形的面积设曲线的极坐标方程在上连续，且，求此曲线与射线所围成的曲边扇形的面积如图1-3所示，在区间上任取一个小区间设此小区间上曲边扇形的面积，则近似于半径为中心角为的扇形面积，从而得到面积微元为可得面积为 例1.利用定积分求曲线围成面积。解：如图4-18，阴影部分即为所求面积曲线，故所求面积为例
6、2.计算阿基米德螺线上对应于从0变到的一段曲线与极轴所围成图形的面积 。面积微元为于是所求面积为图1-52. 应用定积分求旋转体的体积2.1平行截面积已知的立体体积.设有一立体价于过点圆垂直于 轴的两平面之间如图所示，求此立体的体积.如图价于与之间的薄片的体积近似等于地面面积为高为的扁柱体的体积，即体积微元为图2-1于是所求的体积为 即对截面积从 到求积分。 zbx 0 a y x 图2-2 2.1.1旋转体体积 设及所围图形绕轴旋转，如图2-2所示。求所得旋转体的体积，选取为积分变量其变化区间为过点做垂直于轴的平面，截的旋转体截面是半径为 的圆，其截面积为 从而所求旋转体的体积 例1.求绕极
7、轴把面积旋转而成的旋转体的体积。分析：分析所给面积()确定被积函数及积分上下限，是圆，观察曲线： 图2-3, 则, 即曲线在以为半径的圆内，定义域为0或0,在第一第三象限内有定义，由对称性只求第一象限情况下的体积。， 时， 取最大值。这样，我们基本上掌握了极坐标系下的曲线的基本形状。曲线，与的交点在第一象限内为所求体积，便是如图2-3中阴影部分绕极轴旋转而得的立体体积。根据结论，我们便有为此，需求不定积分令，则 即而令，则上述积分可得 可得 于是，可得例2设函数在上有连续导数，那么曲线及直线所围曲边梯形绕直线旋转所成立体体积等于什么？设为曲线上任意点，曲线在点处的切线为过点作直线的垂线为，即应
8、用定积分的元素法，考虑子区间，设相应于的曲线弧段在直线上的投影长为则当子区图10-15间的长度充分小时，如图10-15所示，取切线上对应于右端点的点到垂线的距离 （在此不妨假设）而点到直线的距离为从而得取积分3.定积分在物理上的应用定积分在物理上有好多个应用比如：求物体的重心，变力做功，转动惯量等等。3.1重心如果平面上有n个质点，它们的质量分别为 位置分别为那未这一组点的重心的坐标，可用下列公式求出：12我们已经知道了求平面薄板的重心坐标公式但是用这个公式求出重心没那么容易，我们解决的是求和问题，可能脑子里出现是否用定积分来计算，我们进一步讨论以下：设具有质量的平面薄板是由曲线，直线 和轴所
9、围成的曲边梯形，又设此平面薄板的面密度为常数设把区间 分成n个小区间，则整个平面被分成n个小窄条取其中处宽为的小狭条,这个窄条的质量可近似地看作均匀分布在线段 上而在该线段均匀分布的质量又可以看作集中于 的中点处,于是这个窄条可以用质量为的质点来近似地代替,而整个图形就用 个质因小条的质量称质量微元,而点的横坐标是,纵坐标是 图3-1 故质点对轴及 轴的静力矩是则平面薄板对轴及轴的静力矩为又这整个平面薄板的总质量等于密度与面积的乘积，而面积，故得整个平面薄板的中心为如平面图形是及直线所谓成，假设在区间内则同理可得此平面图形的中心为3.2变力做功下面我们讨论一下变力做功设某物体在力的作用下沿着轴
10、运动力平行于轴并在轴上不同的点处取不同的值，即力是的函数.我们要求物体在这个变力的作用下，由轴上的一点移动到另一点时变力所做的功 图3-2（图3-2）由力学知，物体受恒力产生位移，所做的功为功=力距离（等速）故当物体由移动到时，所做的功近似地为（为功微元）在上所做的功就是 3.3电学上的应用我们学过电流在单位时间所做的功称为电流的功率，即，由于交流电流随时间 在不断变化，因而所求的功是一个非均匀分布的量，我们必须用定积分来计算。交流电流在不断的变化，但是很短的时间隔内可以近似地认为是不变的，因而在时间内对以不变代变，就可求得功局部量的近似值，即功微元在一个周期 内消耗的功为 因此交流电的平均功
11、率的计算公式是：4.定积分在经济中的应用定积分在经济中也有用处比如设是经济量的函数（生产函数，成本函数，总收益函数等）则导数成为的边际函数或变化率，在经济管理中，可以利用和分法，根据边际函数，求出总函数或总函数在区间 上的改变量（1）如已知其产品总产量的变化率为则从时间到 该产品的总产量（2）设某产品总产量，如已知其产品成本对产量的变化率为，则产量从到总成本为（3）如某商品收益的变化率为已知时则销售个单位的商品的收益为例1设某产品生产个单位，总收益的变化率为（0）1生产40个单位产品时的总收益。2求从生产40个单位产品到60个单位产品时的总收益。解：（1）生产40个单位产品时的总收益为（单位）
12、（2）从产量增加到60时的总收益为：（单位）总结我们已经参阅了定积分的若干应用；主要介绍了把定积分这个工具怎样应用实际问题的方法，也就是求出复杂图形的面积，种种立体的体积，交流电流所做的功，求物体重心；虽然该论文未全面地叙述定积分的应用但是基本上能为读者提供了定积分应用的优越性。参考文献1 2 高等数学-第一册：物理类/文丽，吴良大编-北京：北京大学出版社，1999.9重印 ISBN7-301-00700-0,471页480页，494495.504510.3 数学分析名师导学.上册/大学数学名师导学丛书编写组编；北京：中国水利水电出版社。2004-ISBN7-5084-2253-8，332335,340343.致谢在喀什师范学院的教育下经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很大的提高.在热米拉老师的指导下我的毕业论文顺利通过，他帮我批阅了好多次，非常感谢她的帮助，在老师耐心的指导下，我学会了论文的三步骤：怎么样开头，怎么继续，怎样结束.非常感谢指导老师，也非常感谢我系的各位老师，在她们的教育下，使我在个方面得到了很大的提高，为以后工作打下了良好的基础。此致 敬礼 2013年 月 日
