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1、学号 数项级数和函数项级数及其收敛性的判定学院名称： 数学与信息科学学院 专业名称： 数学与应用数学 年级班别： 姓 名： 指导教师： 2012年5月数项级数和函数项级数及其收敛性的判定 摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法.Several series and Function of series and the judgment of their convergenceAbstract In
2、 this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant meth
3、od and logarithmic discriminant method. Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method 前 言在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。判别正项级数和函数级数的敛散性是研究级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛，如正项级数的
4、求和问题等。所以探讨正项级数和函数级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习与理解都有重要的作用。1 正项级数及其收敛性一系列无穷多个数写成和式 就称为无穷级数，记为。如果，那么无穷级数,就称为正项级数。若级数的部分和数列收敛于有限值S，即 则称级数收敛，记为 并称此值为级数的和数。若部分和数列发散，则称级数发散。当级数收敛时，又称 为级数的余和。1.1 几种不同的判别法 1.11 正项级数收敛的充要条件 部分和数列有界，即存在某正数M，有N都有，那么（1）若级数收敛，则级数也收敛；（2）若级数发散，则级数也发散；即和同时收敛或同时发散；。比较判别法的极限形式 ：设和是两个正项级
5、数。若=l，则（1）当01时，与同时收敛或同时发散；（2）当=0且级数收敛时，也收敛；（3）当且发散时，也发散。例2 分析：本题无法使用根式判别法和比式判别法，因此选择比较判别法进行判断所以级数收敛 定理1.14 比式判别法比式判别法的极限形式：若为正项级数，则 例3 定理1.14 根式判别法根式判别法的极限形式： 设是正项级数，且=，则（1）当1时，级数发散。 定理1.15 积分判别法 设为上非负递减函数，那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散。 定理1.16 拉贝判别法 设是正项级数，且存在自然数及常数r，拉贝判别法的极限形式：（1）当时，级数收敛；（2）当时，级数发散。（3）当时，拉贝
6、判别法无法判断定理1.17 阿贝尔判别法若数列，且为单调有界数列，级数收敛，则级数收敛。例4 分析：本题中的通项含有阶层，但不能使用根式判别法和比式判别法进行判定，因此选用拉贝尔判别法。=定理1.18 狄利克雷判别法若数列，且数列单调递减，又级数的部分和数列有界，则级数收敛。例5 分析：本题型如，为任意函数，则可以选用狄利克雷判别法。因此，级数收敛 定理1.19 伯尔特昂（Bertrand）判别法设是正项级数，且，若，则（1）当B1时，级数收敛；（2）当B1时，级数发散。定理2.20 对数判别法 1.2级数收敛的新方法导数判定法 我们知道,若任意项无穷级数 (1)的每一项的绝对值所成的正项级数
7、 (2)的收敛的，则称原级数（1）绝对收敛。 对于任意项级数（1）是否绝对收敛，可以利用正项级数的诸种判别法来对（2）进行考察.例如可以应用比较法及其极限形式，比值判别法以及根值判别法等等.本人试图提供一种新的任意项级数绝对收敛的判别法即导数判别法，它给出了任意项级数绝对收敛的一个充分必要条件，这个判别法对于判别某些任意级数是否绝对收敛非常方便。1.21 导数判别法定理及推论定理(导数判别法)设为实数项的任意项级.令f(x)是一个是函数，对所有的正整数n使得,充分必要条件是. 证明:此判别法的证明依赖于罗必塔法则和比较判别法原则因为由定理 的假设条件知在处存在，所以在的某个领域内是可导的(显然
8、在x=a处也连续)。又由假设条件知对所有的正整数n，f(x)必须满足 先证必要性： 设任意级数是绝对收敛的，则由在x=a处连续知， ，从而。再假设，由洛比达法则得，从而就证明了0是任意项级数绝对收敛，则必有.从而就证明了既有： 因为调和级数也是发散的，因此油比较判别法的极限形式知级数绝对收敛，则必有，从而就证明了是任意级数绝对收敛的必要条件。再证充分性：假设： =从而.证明完毕，特殊的，在定理中a=0，b=1时有：推 论 设为是实数项的任意项级数，令为一实函数，对所有的正整数n使得，且在x=0处存在，那么任意项级数绝对收敛的充分必要条件是 1.22特殊例子例6判断下列级数是否绝对收敛 解：（1
9、）令，因为,.由导数判别法知级数是绝对收敛的。 2.1函数项级数定义定义 设是定义在数集E上的一个函数列表达式: (1)称为定义在E上的函数项级数,简称为函数级数.记作为或.称为函数项级数(1)的部分和函数列. 若函数项级数: + (2) 收敛,即部分和,当时,极限存在,则称级数(1)在点收敛,称为收敛点.级数(1)在D上的每一点与其所对应的数项级数(2)的和构成一个定义在D上的函数称为级数（1）的和函数，即.判别法1 (函数项级数一致收敛的定义)设函数级数在区间收敛于和函数，若有: 则称函数级数在区间上一致收敛或一致收于和函数. 定理2.11 确界判别法函数项级数在数集上一致收敛于充要条件：
10、.证明 () 已知函数项级数在区间一致收敛于.即有: .从而,即.()已即有.从而有.即函数项级数在区间上一致收敛于.定理2.12 柯西一致收敛准则函数级数在区间I一致收敛有：.证明 必要性已知函数级数在区间I一致收敛.设其和函数是，即有也有.于是.充分性：已知，有:所以当时上述不等式有:即函数项级数在区间I一致收敛.例7 讨论函数项级数在区间的一致收敛性 解 应用柯西一致收敛准则即，要使不等式成立，从不等式解得取于是 ，有，即函数级数在区间-1，1一致收敛.所以函数级数在区间一致收敛. 定理2.13 M判别法有函数项级数，I是区间，若存在收敛的正项级数 ，有，则函数级数在区间一致收敛.证明
11、正项级数收敛根据柯西一致收敛准则，即，有由已知条件，有 即函数级数在区间一致收敛.例8 判断函数项级数在上是否一致收敛解 ,有.令,则.所以是收敛.由判别法函数项级数在上一致收敛. 定理2.14 狄利克雷判别法若级数满足如下条件：(1)函数列对每个是单调的且在区间一致收敛于0.(2)函数级数的部分和函数列在区间一致有界，则函数级数在一致收敛.证明 已知函数列一致收敛于0即，有.又已知函数级数的部分和函数列在区间一致有界。即，有，从而有根据阿贝尔变换，有于是，有即函数级数在区间一致收敛.例9 证明 函数级数在区间一致收敛.证 即函数级数的部分和函数列在一致有界，而数列单调减少趋近于0。(当然在也
12、是一致收敛于0) 根据狄利克雷判别法，函数级数在区间一致收敛.定理2.15 比式判别法定理1 设为定义在数集上正的函数列，记，存在正整数，使得：对任意成立，则函数项级数在上一致收敛.证明 易见=而等比级数当公比时收敛，从而由函数项级数一致收敛型的优级判别法，在上一致收敛.定理 设为定义在数集上正的函数列，记，若：，且在上一致有界，则函数项级数在上一致收敛.定理2.16 根式判别法设为定义在数集上的函数列，若存在在整数使得,使得成立，则函数项级数在上一致收敛.证明 由定理条件，对，成立，而几何级数收敛，由优级数判别法知，函数项级数在上一致收敛. 例10 证明函数项级数在区间 (其中)一致收敛.证
13、明 有.对,对要使不等式成立.从而要不等式解得.取.于是,存在,有: 成立. 参考文献1 欧阳光中，朱学炎等，数学分析M，北京：高等教育出版社，20072夏学启. 贝努利数的简明表达法 J . 芜湖职业技术学院学报，2006，2.3胡适耕，张显文编著. 数学分析原理与方法 M 北京：科学出版社，2008.4张雅平，关于正项级数敛散性的两种判别方法，大同职业技术学院学报，2005.6.5Harp,positive series convergence of scattered discriminant act,HetaoUniversity press 6 杨钟玄，关于正项级数敛散性判别法及其联
14、系，天水师专学报，1999年第3期.7 刘羽，正项级数敛散性的判别法研究，网络财富，2009.12.8 陈金梅. 幂级数求和法例谈 J . 石家庄职业技术学院报，2005.9. 致谢 我在*师范大学教育下经过四年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很大的提高和锻炼。 在*老师的热心帮助和耐心的指导下我的毕业论文已经顺利通过，她帮我批阅了很多次，并且提供了这方面的多种资料和很好的意见，我也学会了写作毕业论文的三个步骤：怎么样开头，怎么样继续，怎么样结束。 我非常感谢*老师的热心和细心的帮助，也非常感谢我系的帮助过我的各位尊敬的老师，在他们的教育下，是我在各方面得到了很大的成就，为以后的工作和生存打下了良好的基础。 * 2012年5月与*师范大学
