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1、第十一章 函数项级数.幂级数.,引 言,本章讨论的函数项级数，是在数值级数的基础上的一种推广形式，即把数值级数的一般项由数推广到函数当函数取确定数值时它就是数值级数而幂级数又是函数项级数的特殊情况,明确以上关系对于掌握相关概念和理论是十分必要的,11.1 函数项级数的一致收敛,11.2 幂级数,11.3 逼近定理,第十一章 函数项级数.幂级数.,主要内容,本节内容,一.函数项级数的概念,二.函数项级数的一致收敛性,四.一致收敛级数的判别法,五 小结,三.一致收敛级数的性质,问题:,现在我们将级数概念从数推广到函数上去.讨论一般项为函数的级数的有关性质.,有限个连续函数的和仍是连续函数，有限个函
2、数的和的导数及积分也分别等于他们的导数及积分的和 对于无限个函数的和是否具有这些性质呢？,1.定义:,一.函数项级数的概念,(函数项级数),(级数的n次部分和),是定义在X（实数集）上的函数，,为定义在区间X上的(函数项)级数.,设,则称,2.收敛点与收敛域:,补充,函数项级数的部分和,余项,(x在收敛域上),注意,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,3.和函数:,在收敛域上,函数项级数的和是 的函数,称 为函数项级数的和函数.,解：,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,加,（方法类似于求函数定义域）,原级数发散.,收敛;,发散;,二.函数项级数(或函数列)的一致收敛性
3、,问题：,答案：都是不一定,如,再如,虽然收敛,回答上述问题，需要引进一个重要概念 一致收敛,定义1:,几何解释:,只要 充分大,在区间 上所有曲线,将位于两条曲线,之间.,定义2:,两个定义是等价的(可证),由上确界定义有,证明:,即对任给,存在不依赖 于 的正整数，,使得当 时，对一切，都有,例2:,证明:,证毕,例3:,解,余项的绝对值,研究级数,加,根据定义,所给级数在区间,一致收敛于,例4:,研究级数,在区间0,1内的一致收敛性.,解:,对于任意一个自然数,因此级数在(0,1)内不一致收敛,说明:,从下图可以看出:,在(0,1)总存在点，,所以只要取，不论 多么大，,小结一致收敛性与所讨论的区间有关,定义3:(内闭一致收敛),性质:,函数序列在 上一致收敛,函数序列在 上内闭一致收敛,定理:（函数列一致收敛的柯西准则）,或等价叙述为：,证明:,作业：（），（）（），（）,由数列收敛的柯西准则，,现固定上式中的n,
