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1、长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练求一元函数的不定积分的方法系 （部）： 信息与计算科学专 业： 数学与应用数学 学 号： 2009031129 学生姓名： 陶莹 成 绩： 2012年6月求一元函数不定积分的方法陶莹长沙学院 信息与计算科学系，湖南 长沙，410022摘要：本文给出反函数法、倒代换法、互余法、递推法和分解积分法五种求一元函数不定积分的方法技巧，并举例说明如何灵活运用加以推广, 对于一些用一般方法去解较复杂的题目使用此方法可变的简单关键字：不定积分，反函数法，倒代换法，互余法，递推法，分解积分法1综述求一元函数不定积分的方法是根据部分积分公式以及变量代换得出的一系列的求积分公
2、式在求解计算过程中，虽然某些类型的不定积分的求解，有固定的方法可用，但在计算时常常很繁杂，本文提供了反函数法、倒代换法、互余法、递推法和分解积分法五种求一元函数不定积分的方法技巧，并举例说明如何灵活运用使用这些方法可使计算变的简单，并且起到化繁为简的作用在利用反函数法求不定积分1中，根据原函数与反函数的关系，得出利用反函数法求不定积分的一系列积分公式在不定积分的几种解法2中，倒代换法是根据函数本身的特点，利用倒数代换来求解函数的不定积分互余法是利用三角函数互余性的关系来求解不定积分递推法是利用数学计算中常用的递推关系来求解函数的不定积分在求不定积分的一种新方法分解积分法3中，分解积分法提供了一
3、种解题的通用方法，在实际中分解积分法的求解思路，可用于任何求解题目中，具有广泛的推广性2求解不定积分的方法方法1 反函数法1定理11设函数的反函数存在且都可积，则有证明考虑分部积分公式 （1）令，于是有 （2）将（2）式代入（1）式，得例11求不定积分解 由定理1得定理21设函数的反函数存在且都可积，是的一个原函数且也可积，则有证明在分部积分公式中，令 ,则有 例21求不定积分解由定理2得定理31 设函数的反函数存在且都可积，可导且也可积，则有证明在分部积分公式中，令 ,则有：例31求不定积分解由定理3得定理41设函数的反函数存在且都可积，则有证明在分部积分公式中，令，则有例4求不定积分解 由
4、定理4得方法2 倒代换法2对等类型的不定积分,采用倒代换都能将积分化简并求值例52求解令方法3 互余法2定义2设，则称三角函数的正弦于余弦，正切与余切，正割与余割间的这种性质称为三角函数的互余性例62求 解根据三角函数的互余性，记， (3)又 (4)将(3)+(4)解得其中方法4 递推法2例72（n为自然数）解当时经整理得方法5 分解积分法3 定义3求不定积分 ，若 （5）其中，是某一函数的不定积分，称为辅助积分，且满足： （6）其中：，且，则通过解线性方程组（6）便得到，这样不定积分由（5）就可以求出，我们把该方法称为分解积分法例83求不定积分解令 ，那么 （7） （8）得整理得得整理得所以
5、 其中3总结本文给出反函数法、倒代换法、互余法、递推法和分解积分法五种求一元函数不定积分的方法技巧，并举例说明如何灵活运用加以推广, 对于一些用一般方法去解较复杂的题目使用此方法可变的简单，并且起到化繁为简的作用在求解函数不定积分时，观察函数的特征采用正确的解题方法，可以快速准确的求解出函数的不定积分参考文献1 高丽.利用反函数法求不定积分J.河南：河南科学,2006,24(1):9-102 傅涌.不定积分的几种解法J.宜春师专学报，2005,22(5):43-473 王震.求不定积分的一种新方法分解积分法J.枣庄师专学报，1999，10（3）：10-124 华东师范大学数学系.数学分析第三版（上册）M.北京：高等教育出版社，2001：252-280
