《七年级数学竞赛辅导讲座(共7讲)第八讲不等式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《七年级数学竞赛辅导讲座(共7讲)第八讲不等式.docx（15页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第八讲 不等式一、知识要点1、不等式的主要性质：（1）不等式的两边加上（或减去）同一个数或整式，所得不等式与原不等式同向；（2）不等式两边乘以（或除以）同一个正数，所得不等式与原不等式同向；（3）不等式两边乘以（或除以）同一个负数，所得不等式与原不等式反向.（4）若AB，BC，则AC；（5）若AB，CD，则A+BC+D；（6）若AB，CD，则A-CB-D。2、比较两个数的大小的常用方法：（1） 比差法：若A-B0，则AB；（2） 比商法：若1，当A、B同正时， AB；A、B同负时，AB；（3） 倒数法：若A、B同号，且，则AB。3、一元一次不等式：（1） 基本形式：axb (a0);（2） 一
2、元一次不等式的解：当a0时，x,当a0时，x.含绝对值的不等式的性质：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值即一个数与它相反数的绝对值是一样的由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法 一个实数a的绝对值记作a，指的是由a所唯一确定的非负实数：含绝对值的不等式的性质： (2)aba+ba+b；(3)ababa+b由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为
3、不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏下面结合例题予以分析二、例题示范例1、已知a0,-1b0,则a,ab,ab2之间的大小关系如何？例2、满足的x中，绝对值不超过11的那些整数之和为多少？例3、一个一元一次不等式组的解是2x3，试写出两个这样的不等式组。例4、若x+y+z=30,3+y-z=50,x,y,z均为非负数，求M=5x+4y+2z的最大值和最小值。提示：将y,z用x表示，利用x,y,z非负，转化为解关于x的不等式组。例5、设a,b,c是不全相等的实数，那么a2+b2+c2与ab+bc+ca的
4、大小关系如何？例6、已知a,b为常数，若ax+b0的解集是x，求bx-a0的解集。提示：如何确定a,b的正负性？例7、解关于x的不等式ax-2x-3a (a1)。例8 解不等式x52x+31 x5，x5(x5)(2x+3)1，(x5)(2x+3)1，(3)当x5时，原不等式化为x5(2x+3)1，解之得x9，结合x5，故x5是原不等式的解的解 例9 解不等式13x52分析与解： 此不等式实际上是解 对3x51：对3x52：所以与的公共解应为例 10 解不等式x+3x33解 从里往外去绝对值符号，将数轴分为x3，3x3，x3三段来讨论，于是原不等式化为如下三个不等式组即x3即 x3说明 本题也可
5、以由外向内去绝对值符号，由绝对值的意义，解下面两个不等式 分别解出和即可，请同学们自己完成这个解法提示：去掉绝对值，讨论。例9、（1）比较两个分数与(n为正整数)的大小； （2）从上面两个数的大小关系，你发现了什么规律？ （3）根据你自己确定的与之间正整数的个数来确定相应的正整数n的个数。例10（上海1989年初二竞赛题）如果关于x的不等式(2ab)x+a5b0的解为x，那么关于x的不等式axb的解是多少？例11、已知不等式的角是x的一部分，试求a的取值范围。例12、设整数a,b满足a2+b2+2ab+3b,求a,b的值。提示：将原不等式两边同乘以4并整理得(2ab)2+3(b2)24 (1)
6、，又因为a,b都是整数。故(2ab)2+3(b2)23。若(b2)21，则3(b2)23，这不可能。故0 (b2)21，从而b=2.将b=2代入（1）得(a1)21,故(a1)2=0，a=1.所以a=1,b=2. 例1 解方程x2+2x+1=7分析 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零掉绝对值符号再求解解：(1)当x2时，原方程化为(x2)+(2x+1)=7，(x2)+(2x+1)=7应舍去(x2)(2x+1)=7说明 若在x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解，应舍去例求方程x2x+1=3的不同的解的个数为只含有一个绝对值符号的方
7、程然后再去掉外层的绝对值符号求解x(2x+1)=3，即1+x=3，所以 x=2或x=4 x+(2x+1)=3，即3x+1=3，的个数为2 例15 若关于x的方程x21=a有三个整数解则a的值是多少？解： 若a0，原方程无解，所以a0由绝对值的定义可知x21=a，所以 x2=1a(1)若a1，则x2=1a0，无解x2=1a，x只能有两个解x=3+a和x=1a (2)若0a1，则由x2=1+a，求得x=1a或x=3+a；由x2=1a，求得x=1+a或x=3a原方程的解为x=3+a，3a，1+a，1a，为使方程有三个整数解，a必为整数，所以a只能取0或1当a=0时，原方程的解为x=3，1，只有两个解
8、，与题设不符，所以a0当a=1时，原方程的解为x=4，0，2，有三个解综上可知，a=1例16 已知方程x=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围解： 设x为方程的负根，则x=ax+1，即所以应有a1反之，a1时，原方程有负根设方程有正根x，则x=ax1，即所以a1反之，a1时，原方程有正根综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a1例17 设求x+y分析： 从绝对值的意义知两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零解： 由题设有把代入得解之得y=3，所以x=4故有x+y=43=1例18 解方程组分析与解： 由得xy=1或xy=1，即x=y+1或x=y1与结合有下面两个方程组解()：把x=
9、y+1代入x+2y=3得y+1+2y=3组()的解为同理，解()有故原方程组的解为例19 解方程组解： 由得x+y=xy+2因为xy0，所以x+y0，所以x+y=x+y 把代入有x+y=x+2，所以y=2将之代入有x2=x，所以x2=x， 或 x2=x 无解，所以只有解得x=1故为原方程组的解说明 本题若按通常的解法，区分x+y0和x+y0两种情形，把方程分成两个不同的方程x+y=x+2和(x+y)=x+2，对方程也做类似处理的话，将很麻烦上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质，从方程中发现必有x+y0，因而可以立刻消去方程中的绝对值符号，从而简化了解题过程例20 当a取哪些值时，方程x+2+x1=a有解？解法1 (1)当x2时，x+2+x1=2x12(2)1=3(2)当2x1时，x+2+x1=x+2x+1=3(3)当x1时，x+2+x1=2x+121+1=3所以，只有当a3时，原方程有解解法2 按照绝对值的性质aba+b，故x+2+x1(x+2)(x1)=3其中等号当2x1时成立，所以当a3时，原方程有解练习七1解下列方程：(1)x+3x1=x+1； (2)1+x1=3x；(3)3x2x+1=x+2； (4)3y2=5x32解方程组：3解下列不等式： (2)55x310； (3)x+1+4x6； (4)x1x+214若a0，b0，则方程xa+xb=ab的解是什么？
