课程论文弹性力学有限元位移法原理.doc

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1、一、课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分）主要针对一维（直杆）问题，撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。要求论文论及但不限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的数学、力学基础和基本思想；2）有限元法求解的原理和过程，推导所有计算列式；对基本概念和符号进行解释和讨论；3）收敛性、收敛准则及其数学、力学意义的讨论。弹性力学有限元位移法原理一、 有限单元法的起源有限单元法的形成可以追溯到20世纪50年代甚至更早些时间，基本思路来源于固体力学中矩阵位移法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。对不同结构的杆系、不同的载荷，用矩阵位移法求解都可以得到统一的公式。在1952-1953

2、年期间，RWClough和MJTurner在分析飞机三角翼振动问题时，提出了把平面应力三角形或矩形板组合起来表达机翼刚度的方法，当时被称为直接刚度法。1956年MJTurner，RWClough，HCMartin，LJTopp在纽约举行的航空学会年会上发表论文Stiffness and deflection analysis of complex structures(复杂结构的刚度和变形分析)介绍了这种新的计算方法，从而将矩阵位移法推广推广到求解弹性力学平面应力问题。它们把平面板壳结构划分为一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与结点位移关系的单元刚度矩阵。19

3、60年，RWClough在论文The finite element in plane stress analysis(平面应力分析的有限元法)中首次提出了有限单元（Finite Element）这一术语，他也因此被称为“有限单元之父”二、 有限元法的基本思想有限元法是一种结构分析的方法，正如OCZienkiewicz所说的：“人类思维的限制在于不能通过一步运算就掌握复杂环境和事物的行为。因此，先把所有系统分解为它们的元件或单元，这些元件的行为已经被充分的了解，再把元件重新组装成原来的系统来研究系统的行为”。可以看出有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组由有限个单元组成并按一定方式相互连

4、接在一起的单元组合体来加以分析。三、 有限单元法的数学基础当有限单元法成功的应用于求解弹性力学平面问题之后，下一步要解决的问题就是能否把这种方法应用于求解其他连续介质问题。在寻找连续介质问题近似算法的时候，数学家们发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。四、 有限元分析的基本步骤 建立研究对象的近似模型 将研究对象分割成有限数量的单元 用标准方法对每一个单元提出一个近似解 将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统 用数值方法求解这个近似系统 计算结果处理与结构验证五、 一维杆的有限位移法分析本文以一维直杆的分析为例子，研究有限元位移法基本原理和求解过程。 虚

5、位移原理推到一维直杆单元的刚度方程如下图所示一维直杆，已知直杆杆长为L，横截面积为A，材料弹性模量为E，所受轴向分布载荷集度为q(x)。杆端位移分别记为ui，uj，杆端力分别记为Si，Sj。Aq(x)ijSiSjuiujxa设局部坐标系下杆中A点的坐标为xa，因为只有两个边界条件ui，uj，因此杆轴任意一点（例如A点）的位移可假设为 式中 a，b为待定常数。它们可由杆端位移条件来确定： 将式代入式可得： 若引入无量纲变量： 则式（3）可改写成： 式中称为形函数，矩阵N称作形函数矩阵；矩阵ue称为杆端位移矩阵或节点位移矩阵。由式（4）可以看出，形函数具有如下性质：1、 本端为1，它端为零 2、

6、任意一点总和为1 现采用虚位移原理给出该杆单元的特性公式，设杆端i，j分别产生虚位移，由此引起的单元内任意一点的虚位移为：又式中 B为应变矩阵。由此可得 又根据虚位移原理：对任意虚位移，外力所做的总虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功，即 所以有由 可得：即若记称为该杆单元等效节点载荷；局部坐标单元刚度矩阵。所以可得单元刚度方程：式中单元刚度矩阵的显式为：可见单元刚度矩阵具有对称性。即单元刚度矩阵的每一个元素可写成 将一维直杆离散为三个单元进行分析现考虑下图所示一维直杆：长度为L，分为三个单元，每个单元长度为h1，h2，h3；对于单元，节点位移分别为u1，u2，对应形函数为N1，N2；由得：又对

7、于单元、，形函数N1=0；对单元，形函数N2=0；对单元，形函数N3=0；对于单元、，形函数N4=0。因此可得：式中分别对应于单元，。且对于单元，对于单元，对于单元，所以所以单元整体刚度矩阵整体单元刚度矩阵元素的物理意义为：j节点在x方向产生单位位移时，在节点i上需施加的节点力。又由单元等效节点载荷可得：每一节点等效载荷分别为：又对于单元、，形函数N1=0；对单元，形函数N2=0；对单元，形函数N3=0；对于单元、，形函数N4=0。所以有：以上四式可写为：式中：，表示单元e的形函数；在本例子中，e=1、2、3，k=1、2；而且有he 表示单元长度。所以有由单元刚度方程可得：例：假设A, E,

8、L, a, 和 R 都等于1。且，则有，x1 = 0, x2 = 1 / 3, x3 = 2 / 3, x4 = 1,由整体单元刚度方程得：对于单元e（e=、）可写出其位移函数：应变为：由 得每个单元的应力：下图1和图2分别表示有限元解和精确解的比较：图1 位移对比图2 应力对比二、分析与计算（40分）1、图示两个结构和单元相似，方位相同的平面应力有限元模型，两模型的单元厚度和材料相同。两个模型右端单元边上受均匀剪切面力。对于下列2种情况，试根据有限元法和力学有关知识来分析两个模型求解后对应节点的位移值和对应单元的应力值之间的关系：1）两个模型面力的合力相等；2）两个模型面力的集度相等。（10

9、分）解：建立坐标系如图所示，对（a）图，各节点坐标点号x坐标y坐标点号x坐标y坐标1400420202402050032006020单元节点信息数组可记为单元，面积，由式 （a）可得 由式（b），单元几何矩阵为为了计算简便，可设=0且为单位厚度，弹性矩阵大为简化，由式，可得由式（c），得单元的应力矩阵由式（d），单元的单元刚度矩阵为根据单元刚度矩阵的性质可得对（b）各节点坐标点号x坐标y坐标点号x坐标y坐标1200410102201050031006010单元节点信息数组可记为：单元，面积，由式（a）可计算出由式（b），单元几何矩阵为由式（c）得单元的应力矩阵由式（d）得单元的单元刚度矩阵同理

10、由单元刚度矩阵的性质可得综上可知，两个模型中的单元刚度矩阵均相同，所以它们的总刚度矩阵也相同，即 当两个模型面力的合力相等，它们的载荷列阵都为位移列阵为形成整体平衡方程 K=F位移约束条件为，将此约束条件引入整体刚度方程，对其用“化一置零法”处理。即由上式可知在这种情况下，两种模型求解后对应节点的位移相等。有整体节点位移获取单元节点位移，所以对应的单元节点位移也相等。以单元为例，两种模型应力矩阵的关系，又由可得，模型（b）中单元的应力是模型（a）的2倍，其它单元可得到类似的结论。当两个模型面力的集度相等，可设模型（a）右端受剪力的合力为2P，模型（b）右端受剪力的合力为P，则两种模型的载荷列阵

11、分别为由上述内容可得，进而可知（a）模型中对应节点的位移是（b）模型的2倍。在单元中，所以由可知模型（a）和模型（b）中单元的应力相等，其他单元可类似说明。2、证明平面问题三节点三角形单元发生刚体位移（小位移平动和转动）时，单元中将不产生应力。（10分）证明：三节点三角形单元位移模式选取一次多项式： （1）在（1）的1式中带入节点的坐标得到节点i在x向的位移，同理可得， （2）解（2）式可得到广义坐标由节点位移表示的表达式： （3） 将求解的广义坐标（3）式代入（1）式，可将位移函数表示成节点位移的函数 （4） 式中 （5）上式中式（4）写成矩阵形式为 确定了刚体位移后，可以很方便的求得单元的

12、应变和应力。由此可知，单元应变 （7）称为应变矩阵，L是平面问题的微分算子。应变矩阵B的分块矩阵 （8） 对（5）式求导得： （9）代入（8）式得到： （10）三节点单元应变矩阵是 （11） 式中是单元形状的参数。当单元节点坐标确定后，这些参数都是常数，因此B是常量阵。当单元的节点位移确定后，由B转换求得的单位应变都是常数，也就是说在载荷作用下单元中各节点具有同一的值，值及值。因此，三节点三角形单元称为常应变单元。应变应力可根据物理方程求得： （12） 其中成为应力矩阵。将平面应力弹性矩阵及式（11）代入式（12）可以得到计算平面应力问题的单元应力矩阵。的分块矩阵为 （13） 其中为材料常数。

13、对于平面应力问题与应变矩阵B相同，应力矩阵S也是常量阵，即三节点三角形单元中各节点的应力是相同的。因此，平面问题三节点三角形单元发生刚体位移（小位移平动和转动）时，单元中将不产生应力。3、证明20节点六面体等参元在Jacobi行列式为常数条件下的完全（精确）高斯积分方案是333阶。（10分）证明：单元刚度矩阵形式 （a）式中的微分体积dV用d,d，d表示。将dV取为三个微分矢量d,d和d所成平行六面体的体积。在整体坐标系中，各微分矢量表示为 于是上式可记为式中，是Jacobi矩阵J行列式，即于是单元刚度矩阵（a）改写为对于三维数值积分，则有n阶高斯积分公式对（2n-1）次多项式被积函数可求得精

14、确积分。保证单元刚度矩阵精确积分的积分阶选择，基本考虑是保证被积函数所有项次精确积分，这种积分方案称为完全积分。所以如果，且，则上式给出精确的积分结果。对于20节点六面体等参单元，在d,d，d和各个不同方向上，选取2个积分点，即得到精确高斯积分方案是333。4、图示一个一维直杆问题，杆的截面积为A,弹性模量为E。杆受线性变化的轴向线分布力。试构造一种三次杆单元（单元有4个节点，节点间隔均匀，形函数可以由形函数性质直接构造或采用拉格朗日插值多项式）求解该问题，整个杆用1个单元离散化。解出节点位移后，由单元有关方程导出单元上位移和应力的分布函数，并将有限元解与精确解作比较。（10分）考虑题图中的结

15、构，由要求用4节点一维杆单元求解，单元的自由度为4。应用里兹法假设位移场，在单元内假设位移场应是二次多项式，即：（）其中，为待定参数（称为广义坐标）。为方便计算，采用题图所示的局部坐标系，则有单元（）对单元来说，在上面的式中分别代入节点1、2、3、4的坐标，可得节点1、2、3、4在方向上的位移、，即：其中，。用局部坐标系表示为：其中，,。于是有： 解得：将上面求得的广义坐标代入原来假设的位移场，可将单元的位移函数表示成节点位移的函数，即整理得：将上式写成矩阵形式为其中，插值函数矩阵，或称形函数矩阵；单元的节点位移列阵（单元自由度）。显然，整个杆上，由各单元上假设的位移场拼接而成的位移试探函数是

16、连续的，只要我们记住，得到的就是全域可能位移场。这样的位移场已经把节点位移自由度作为广义坐标。在单元上进行总势能计算：首先计算应变在单元内有式中，应变矩阵：所以单元内的应变能为：由于节点位移列阵与无关，故有：式中，单元刚度矩阵：载荷为，则载荷在单元内表达为： 带入外力功积分式，对单元计算外力功。单元外力功为：系统总势能是单元的总应变能减去单元外力功，则系统总势能表达为：上式简写为：应用驻值条件：，得到节点平衡方程：，即解得：由此得到的位移场在节点处为精确解，而一般位置上均为近似值（小于精确解）。根据几何方程求单元应变，再利用物理方程求单元应力。对单元有：于是可得单元节点处的应力近似解如下：，该

17、问题的位移和应力的精确解分别为：于是可得单元节点处的应力精确解如下：， 位移和应力的计算结果与精确解的比较如图2.1所示：图2.1 受轴向力杆的精确结果和有限元结果由图中可以看出，由于在求得结构的节点位移后，要通过导数的运算来求单元的应变和应力，导致了精度的下降，因此位移的近似程度比应力的近似程度更好。三、上机实验（30分）1、图示一个简支梁平面应力模型。梁截面为矩形，高度h=160mm，长度L=1000mm，厚度t=10mm。上边承受均布压力q =1N/mm2，材料E=206GPa，=0.29。X方向正应力弹性力学理论解为：分别应用3节点三角形单元、4节点线性等参元（完全积分、减缩积分、非协

18、调模式）、8节点二次等参元进行下列数值实验：1）用较粗单元网格求解梁中部应力分量的最大值和上下边法向应力分量，并对计算精度进行比较；2）用密网格进行上述计算并比较计算精度；3）对粗网格下梁中部最大位移进行对比和分析。总结出研究结论，撰写实验报告。（10分） 实验题目：简支梁平面应力的数值实验 实验目的：不同单元类型、不同网格密度对数值实验精度的影响建模概述：（1）设置单元类型：选择平面4节点四边形单元，如图1.1所示： 图1.1 定义单元（2）设置材料属性，取弹性模量，泊松比，如图1.2所示：图1.2 设置材料弹性常数(3)建立几何模型：通过创建关键点，生成1个矩形，如图1.3所示：图1.3

19、梁的几何模型（4）设置单元尺寸并划分网格：划分时选择三角形单元划分，如图1.4所示： 图1.4有限元网格图（5）施加约束、载荷并求解：对模型左端线约束所有自由度，右端线约束Y方向自由度，并在梁的上端施加的均布载荷，求解后如图1.5所示： 图1.5 施加载荷与约束的有限元模型（6）读取结果：显示X、Y方向节点应力强度云图和Y方向节点位移云图，如图1.6、1.7和1.8所示： 图1.6 X方向应力强度云图 图1.7 Y方向应力强度云图 图1.8 y方向节点位移云图（7）当选择4节点线性等参单元时，大体步骤与上面相同，选择单元类型和设置单元选项如下图1.9、图1.10所示：图1.9 定义单元图1.1

20、0 设置单元为完全积分划分网格、施加约束、载荷并求解，如下图1.11所示：图1.11 完整的有限元模型读取结果，如图1.12、图1.13和图1.14所示：图1.12 X方向应力强度云图图1.13 Y方向应力强度云图图1.14 Y方向节点位移云图（8）当选择8节点二次等参时，选择单元类型如下图1.15所示： 图1.15 定义单元图1.16 X方向应力强度云图图1.17 Y方向应力强度云图图1.18 简支梁的挠度云图（9）用更密的网格对简支梁重新进行仿真计算，步骤与上面相同，当应用3节点三角形单元时，施加约束、载荷并求解，求解后如图1.19所示：图1.19 完整的有限元模型读取结果如图1.20和图

21、1.21所示：图1.20 X方向的应力强度云图图1.21 Y方向的应力强度云图（10）当应用4节点线性等参单元时，对梁面网格划分，施加约束、载荷并求解，求解后如图1.22所示：图1.22 完整的有限元模型读取结果如图1.23和图1.24所示：图1.23 X方向的应力强度云图图1.24 Y方向的应力强度云图（11）当应用8节点二次等参单元时，对梁面进行网格划分，施加约束、载荷并求解，求解后如图1.25所示：图1.25 完整的有限元模型读取结果如图1.26和图1.27所示：图1.26 X方向的应力强度云图图1.27Y方向的应力强度云图计算结果分析与结论：由理论计算公式可得，梁中部上边（即，此时为压

22、应力），下边（即，此时为拉应力），中间（即）。对照上面几种单元的仿真结果可知，单元结点数越多，网格密度越大，求解出的结果越精准。分析可知，3节点三角形粗网格的精度最低，8节点二次等参单元密网格的精度最高，实验结果与此相符。在粗网格下，梁中部最大位移随着单元结点数的增多而增大，越来越接近精确解，8节点单元得出的位移最精确为。实验体会与总结：通过的简支梁的数值实验，可知：（1） 不同单元类型，不同的网格密度将对计算精度产生直接的影响。（2） 等参元选择数值积分阶次的重要性。它将直接影响计算的精度和计算工作量。（3） 要保证结构总刚度矩阵的非奇异性。2、一个空心球的外半径，内半径。内壁受均匀压力。试

23、用有限元法计算该空心球体的应力分布规律。要求分别应用轴对称二次单元建立轴对称模型、应用二次六面体单元建立三维模型求解。注意利用对称面方便与简化建模。撰写实验报告。（10分）实验题目：有限元法计算该空心球体的应力分布规律 实验目的：通过空心球体的应力分布实验说明对称性在建行模型和缩减计算量上的重要性建模概述：1、 应用轴对称二次单元建立轴对称模型求解（1）设置有限元分析的单元类型。如图所示选择单元，如下图2.1所示： 图2.1 设置单元类型（2）设置单元选项，设置K3为Axisymmetric（轴对称单元），如图2.2所示： 图2.2 定义轴对称单元对话框（3）设置材料属性：取弹性模量E=，泊松

24、比，如图2.3所示： 图2.3定义材料属性（4）建立几何模型：由于空心球的对称性，在默认的工作平面（坐标系）内，建立一个外径150mm、内径120mm、的1/4圆环面。如图2.4所示： 图2.4 创建圆环形截面（5）对环面进行网格的划分：厚度方向单元划分数为4，圆环面周向单元划分数为30，划分后如图2.5所示： 图2.5 划分网格（6）施加对称约束和球内的均匀载荷：对左边竖直边界和下边界实行对称约束，球内壁施加压力P=10MP。如图2.6所示：图2.6 施加约束和载荷（7）计算结果分析与结论进行计算并进行后处理：显示球内的应力强度云图，如图2.7所示：图2.7 空心球的应力强度云图从图上可以看

25、出，在均匀载荷的作用下，空心球类的应力呈层状分布，最大应力出现在球的内表面为30.7 MP，最小应力出现在球的外表面为15.7 MP，符合我们理论分析的结果，该计算是准确的。2、 应用二次六面体单元建立三维模型求解（1） 设置有限元分析的单元类型。如图所示选择实体类型的20节点六面体单元，如下图2.8所示：（2）图2.8 设置单元类型（2）设置材料属性同上一种情况。（3）建立几何模型：由于空心球关于3个坐标面对称，在默认的工作平面（坐标系）内，建立一个外径150mm、内径120mm、的1/4空心球。如图2.9所示： 图2.9 创建空心球（4）对实体进行网格的划分：厚度方向单元划分数为4，空心球

26、周向单元划分数为30，划分后如图2.10所示： 图2.10 划分网格（6）施加对称约束和球内的均匀载荷：对左边界面、右边界面和下边界面实行对称约束，球内壁施加压力P=10MP。如图2.11所示： 图2.11 施加约束和载荷（7）进行计算并进行后处理：显示球内的应力强度云图，如图2.12所示： 图2.12空心球的应力强度云图从图上可以看出，在均匀载荷的作用下，空心球类的应力呈层状分布，最大应力出现在球的内表面为30.7 MP，最小应力出现在球的外表面为15.7 MP，与上一种情况相符。实验体会与总结：通过空心球体的受力分析，当实验对象为对称的规则模型时，而且载荷也是对称的，可以通过对称性创建模型

27、，进而减小计算规模，提高效率。3、一个矩形平板，长1000mm,宽100mm，厚度10mm。材料的E=200GPa， 。板的一对短边简支。进行下列计算分析并撰写实验报告。1) 在相同的粗网格（厚度方向1层单元）下，分别用线性六面体全积分等参元和二次六面体等参元计算其前三阶自由振动频率和振型，对计算结果作对比和分析。2) 采用适当网格密度的8节点六面体非协调元，用隐式直接积分法对该平板进行瞬态响应研究。板的上表面受对称三角形脉冲均布压力，最大值0.05MPa 。要求：（1）分别在载荷脉冲宽度为1毫秒、10毫秒、100毫秒、1秒情况下，选择适当时间步长和求解时间，计算获得平板下表面中心沿长边方向的

28、正应力分量响应曲线和最大值，再计算静载荷下的该应力值，探索该最大应力随载荷脉宽变化的规律；（2）板的厚度改为50mm，考察上述规律的变化，并进行归纳和讨论。（10分）实验题目：平板中部动态应力响应规律研究 实验目的：平板中部动态应力响应最大值随载荷脉宽变化（0.1毫秒1000毫秒）的规律研究建模概述：1） 建立10.10.01m矩形平板，如图3.1所示：图3.1 矩形平板实体模型 定义单元类型：线性单元8节点的六面体单元选择Brick-8node-45；二次单元20结点的六面体单元选择Brick-20node-95，如图3.2所示： 图3.2 单元定义 添加材料属性：取弹性模量，泊松比，密度，

29、如图3.3所示：图3.3 定义材料属性图3.4 定义材料密度 划分网格：对平板进行100101六面体网格划分，如图3.5所示：图3.5 平板六面体网格图 分析类型选择模态分析，并在板的两个侧边施加全约束。指定分析类型，如图3.6、图3.7和图3.8所示：图3.6 设置模态分析图 3.7 设置“Block Lanczos”图3.8 “Bloce Lanczos Method”设置 计算结果分析与结论A、求解并输出各阶自振频率图3.9 一次线性振动频率图3.10 二次非线性振动频率开始计算结果并输出，计算完成后可以输出各阶自振频率和各阶振型图。（共两种分析方法，每种分析方法有各自的振动频率和振型图

30、）。为了更直观的看到不同阶次的板的应力及变形图，下面分别列出了三阶线性和非线性的应力图，便于观察外形变化，又可以观察到应力分布情况。 图3.11 一阶线性振动型态 图3.12 一阶二次振动型态 图3.13 二阶线性振动型态 图3.14 二阶二次振动型态 图3.15 三阶线性振动型态 图3.16 三阶二次振动型态B、 结论：从线性和二次的自由振动的各阶型态的数值来看，各阶相对应的频率相差很小，二次的等参单元的形态更接近于实际。2） 改变板的厚度，研究平板中部动态应力响应最大值随载荷脉宽变化（1毫秒1秒）的规律。 建模概述 首先，建立100010010mm矩形平板。 定义单元类型：线性非协调单元8

31、节点的六面体单元选择Brick-8node-45。 添加材料定义：取弹性模量EX=，泊松比，密度。 划分网格：对平板进行100101六面体网格划分。 选择分析类型和积分方法：选择瞬态动力分析，跳出的选项框选择全积分。图3.17 选择分析类型图3.18 选择全积分方法 施加边界约束：两边简支约束。 设置分析步长及施加载荷：施加载荷时间分别设为0.2s、0.4s、1s、2s的时间进行计算。首先要先设置一半的时间的加载斜坡载荷，最大值为50000Pa，这个区间设为5步计算就可以了，设置好后点击“write LS file”，记为第一步；然后再设置后一半时间的卸载斜坡载荷到0，这个区间也设为5步计算，

32、设置好后点击write LS file，记为第二步，最后开始分析计算。（将几个脉宽变化分别计算得到数据）图3.19 a)图3.19 b)图3.3 c)图3.20 施加三角载荷 计算结果分析与结论：后处理及结果分析：一个脉宽的情况下，都是在载荷最大的时刻同时出现应力的最大值，所以，下面我们主要分析在载荷最大的时刻的应力云图。图3.21 脉宽为0.2s的0.1s时的应力云图脉宽为0.2s的0.1s时，板中部的动态应力响应最大为232MPa。图3.22 脉宽为0.4s的0.2s时的应力云图脉宽为0.4s的0.2s时，板中部的动态应力响应最大为223MPa。图3.23 脉宽为1 s的0.5s时的应力云

33、图脉宽为1s的0.5s时，板中部的动态应力响应最大为219MPa。图3.24 脉宽为2s的1s时的应力云图脉宽为2s的1s时，板中部的动态应力响应最大为219MPa。分析以上各种脉宽的载荷作用下板的中部的应力情况，可以得出结论：在载荷脉宽小的时候，板的应力值较大，随着载荷脉宽的增大，板的应力值逐渐减小并趋于稳定值。 振型叠加法进行瞬态动力学分析:前面建模过程都是和隐式积分的过程一样。 建模完成后，加载100000Pa的载荷，进行前六阶的模态分析。 模态分析后，选择瞬态分析里面的模态叠加法进行计算分析。 设置载荷和脉宽时间进行分析。（脉宽与全积分的数据是一样的） 开始计算并输出结果：图3.25

34、脉宽为0.2s的0.1s时的应力云图脉宽为0.2s的0.1s时，板中部的动态应力响应最大为227MPa。图3.26 脉宽为0.4s的0.2s时的应力云图脉宽为0.4s的0.2s时，板中部的动态应力响应最大为218MPa。图3.27 脉宽为1s的0.5s时的应力云图脉宽为1s的0.5s时，板中部的动态应力响应最大为212MPa。图3.28 脉宽为2s的1s时的应力云图脉宽为2s的1s时，板中部的动态应力响应最大为212MPa。分析以上各种脉宽的载荷作用下板的中部的应力情况，可以得出结论：在载荷脉宽小的时候，板的应力值较大，随着载荷脉宽的增大，板的应力值逐渐减小并趋于稳定值；并且振型叠加法所有板的

35、中部的应力都要比隐式积分法的应力要略小一点。 静力学分析：对平板面上施加0.05MPa的均匀载荷，得出板中部的应力分布云图。图3.29 静力学分析的应力云图如图3.13所示，板中部的静态应力响应最大为250MPa。综合以上所有的应力分析结果，静态载荷下板中部的最大应力为219MPa，与动态应力脉宽时间大时趋于的稳定值所吻合（隐式积分的分析结果与静力学分析结果几乎一致），所以两种动态的算法都与实际相符合。 当板的厚度改变时，总结出应力大小变化如下：利用Matlab7.0软件画出随板厚度变化的应力变化曲线，如下图：图3.30 随板厚度变化的应力变化曲线由上图可以看出，随着厚度的增加，板的中间的应力值也增加，画出增加趋势如上图所示。这是因为，当给板施加脉冲载荷是，板越厚，中间的应力越大。 隐式积分应力和振型叠加影响图3.31 随厚度变化的应力变化曲线分析以上各种脉宽的载荷作用下板的中部的应力情况，可以得出结论：在载荷脉宽小的时候，板的应力值较大，随着载荷脉宽的增大，板的应力值逐渐减小；并且振型叠加法所有板的中部的应力都要比隐式积分法的应力要略小一点。但整体趋势相似。实验体会与总结：通过此模型的建立及求解，总结出：模态分析，主要用于计算结构固有频率和模态。瞬态动力分析，主要用于计算结构在随时间任意变化的载荷作用下的响应，并且可以计及上述提到的静力分析中所有的非线性性质。