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1、 高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话:13965261699)数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(三-15):超几何分布的期望和方差(785) 0215 超几何分布的期望和方差 母题(三-15):(人教A版选修2-3(P48,63,67)在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品数,则事件X=k发生的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,m,其中,m=minM,n,且nN,MN,n,M,NN+,称分布列(如表)为超几何分布列;如果随机变量X的分布列为超几何分布列,就称随机变量X服从超几何分布,则E=n,D=n.解析:(法一)由EX=CN-1n-1=(在这
2、里我们使用了范德蒙等式:=Cn+mk);由随机变量X的分布列随机变量X2的分布列为:EX2=+=CN-1n-1+(M-1)CN-2n-2=+DX=EX2-(EX)2=+-()2=n;(法二)令随机变量Xi:当第i次取到次品时,Xi=1;当第i次取到正品时,Xi=0;则P(Xi=1)=,P(Xi=0)=EXi=0+1=;而X=X1+X2+XnEX=EX1+EX2+EXn=+=;方差的证明同上.点评:超几何分布来自于产品的抽样检查,是典型的离散性随机变量X的分布,是高考重点考查的;它与组合数密切相关(其中,其期望与方差公式的证明,值得掌握),它是二项分布的变体. 子题(1):(2004年天津高考试
3、题)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量表示所选3人中女生的人数.()求的分布列;()求的数学期望;()求“所选3人中女生人数1”的概率.解析:()可能的取值为0,1,2.P(=k)=(k=0,1,2)的分布列为:()E=0+1+2=1;()P(1)=P(=0)+P(=1)=. 注:判断一个随机变量是否服从超几何分布关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总体(共有N个)内含有两种不同的事物A(M个)、B(N-M个),任取n个,其中恰有X个A. 子题(2):(2009年天津高考试题)在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.从这10件产品中任取3件,求:(
4、)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望;()取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.解析:()变量X的取值集合为0,1,2,3,且P(X=k)=X的分布列是:X的数学期望EX=0+1+2+3=;()因事件M:“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率”=事件A:“取出的3件产品中,有一等品1件,二 0216 母题(三-15):超几何分布的期望和方差(785) 等品0件,三等品2件”+事件B:“取出的3件产品中,恰有一等品2件”+C事件:“取出的3件产品中,都是一等品”,且A,B,C两两互斥,由P(A)=,P(B)=P(X=2)=,P(C)=P(X=3)=P(M)=+=.
5、 注:关于超几何分布问题的核心是超几何分布的分布列,分布列的确定,可直接用于求随机变量的期望与方差;而灵活运用超几何分布的分布列,分析解决相关问题,则是超几何分布的精髓. 子题(3):(2008年浙江高考试题)一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球.己知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是;从袋中任意模出2个球,至少得到1个白球的概率是.()若袋中共有10个球.(i)求白球的个数;(ii)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望E;()求证:从袋中任意摸出2个球,至少得到1个黑球的概率不大于.并指出袋中哪种颜色的球个数最少.解析:()(i)设袋中白球的个数为n,由
6、1-=n=5;(ii)的取值为0,1,2,3,且P(=k)=(k=0,1,2,3)的分布列是:E=;()设袋中有5m个球,则有2m个黑球从袋中任意摸出2个球,至少得到1个黑球的概率P=1-=1-2(3m-1)5m-1m1成立;由1-=9(5m-n)(5m-n-1)=10m(5m-1)n2m红球的个数少于2m红球个数最少. 注:对超几何分布可从以下几方面进行加深:其期望与方差的一般性计算;超几何分布中,随机变量取某值的概率的最大最小值问题;超几何分布的应用. 子题系列:1.(2004年福建高考试题)甲、乙两人参加一次英语口语考试,己知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.
7、规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.()求甲答对试题数的概率分布及数学期望;()求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.2.(2007年四川高考试题)厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.()若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;()若厂家发给商家20件产品,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件,都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品,否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望E,并求该商
8、家拒收这批产品的概率.3.(2009年四川高考试题)为振兴旅游业,四川省年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡).某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中是省外游客,其余是省内游客.在省外游客中有持金卡,在省内游客中有持银卡.()在该团中随机采访3名游客,求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率;()在该团的省内游客中随机采访3名游客,设其中持银卡人数为随机变量,求的分布列和数学期望E.4.(2014年天津高考试题)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学
9、学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).()求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;()设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望. 子题详解: 母题(三-15):超几何分布的期望和方差(785) 0217 1.解:()可能的取值为0,1,2,3,且P(=k)=(k=0,1,2,3)的分布列为:E=0+1+2+3=;()设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B;则A、B相互独立,且P(A)=+=,P(B)=+=甲、乙两人考试均不合格的概率P=P()=P()P()=
10、甲、乙两人至少有一人考试合格的概率=1-P()=.2.解:()事件M:“厂家任取4件产品检验,其中至少有1件是合格品”的对立事件:“厂家任取4件产品检验,都不是合格品”P()=(1-0.8)4=0.0016P(M)=1-P()=0.9984;()可能的取值为0,1,2,且P(=k)=(k=0,1,2)的分布列为:E=;拒收这批产品的概率P=1-=.3.解:由题意得:省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡;()在该团中随机采访3名游客,求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率P=+=;()的可能取值为0,1,2,3;且P(=k)=的分布列为:E=2.4.解:()选出的3名同学是来自互不相同学院的概率P=;()X的所有可能值为0,1,2,3,P(X=k)=X的分布列为:EX=.
