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1、习题二 P441. 设总体X的概率分布密度为：其中未知，为其样本，求：（1）的联合分布密度；（2），解：由题意知总体X的概率分布密度为：期望(1) 样本相互独立，且与总体X服从相同分布，即的概率密度为：（2）注：这里补充一个更一般的结果：设总体X的数学期望与方差都存在，且。从总体X中抽取样本，证明：（1） 样本均值的数学期望，方差；（2） 样本方差的数学期望 简证：（1） （2） 2. 设总体X服从泊松分布为其样本，求其样本均值的概率分布、数学期望，方差。解：（1）已知总体因为样本与总体服从相同的分布，所以有 又因为样本相互独立，我们有结论： 用归纳法证明： （）当,结论显然成立； （）假设当
2、时结论成立，即：，记。我们来求的分布，因为与相互独立，所以相互独立，进而有： ，即：时结论亦成立；有归纳法知结论成立。由结论知：。由此得的概率分布如下：（2）所以3.设随机变量X服从自由度为的分布，求函数的分布。解：已知，我们把随机变量写成，并设随机变量与独立，且，则按分布的定义知。 因为 ， 则按分布的定义知；因为与独立，所以与也独立；则按分布的定义知：4.设总体为其样本，记，求证：证明：已知总体所以因为所以由此得到标准化的统计量又由定理2.3.1（3）知，统计量因为与是独立的，所以统计量与也是独立的。于是，按t分布的定义可知，统计量注：更一般地，可以证明：有限个相互独立的正态变量的线性组合
3、仍然服从正态分布。定理： 设随机变量相互独立，并且都服从正态分布： 则它们的线性组合也服从正态分布，且有；6. 设总体从总体X中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于5的概率。解：由题意知总体；由定理3.1（1）知；所以7. 设总体从中抽取一个容量为10的样本，其样本方差为，且，求的值。解：由题意知总体；由定理3.1（3）知，所以 查表知：。所以。8. 设总体从总体X中抽取一个容量为25的样本，求样本均值小于12.5的概率，如果（1）已知；（2）已知未知，但样本方差。解：由题意知总体（1） 已知，由定理3.1（1）知 ；所以 （2）已知由定理3.1（4）知 ；所以9设
4、总体从总体X中抽取一个容量为25的样本，和分别为其样本均值和样本方差，求。解：由题意知总体由定理3.1（1）、（3）知 ，所以因为和相互独立，所以10. 设总体总体从正态总体X中抽取容量为的样本，其样本均值为，样本方差为；从正态总体Y中抽取容量为的样本，其样本均值为，样本方差为.(1)求(2)若已知解：由题意知总体(1) 由定理3.2（1）知统计量，所以有(2) 由定理3.2（2）知统计量所以 习题3 P691.证明：二阶样本中心矩不是总体方差的无偏估计。证明：已知；不失一般性我们假设总体为，为其样本，它们相互独立，且与总体服从相同的分布，所以有 计算：所以进而有即：二阶样本中心矩不是总体方差
5、的无偏估计2.设为的两个独立的无偏估计，且，求常数，使得为此种线性组合中有最小方差的无偏估计。解：已知为的两个独立的无偏估计，即：。() 是的无偏估计，即：而 ，所以有() 的方差最小，因为且，所以取最小值取最小值取最小值（结合式） ，即：当时为此种线性组合中有最小方差的无偏估计3.设总体的概率分布密度为其中未知，为其样本。试证为的无偏估计。证明：已知总体的概率分布密度为 则分布函数 因为样本相互独立且与总体服从相同的分布，所以令，则的分布函数为：所以的概率分布密度为：为的无偏估计。 4.设总体服从的均匀分布，为其样本。令，求使得为的无偏估计。解：已知总体，则的分布函数为：的概率分布密度为：因
6、为样本相互独立且与总体服从相同的分布，所以令，则的分布函数为：所以的概率分布密度为：。欲使为的无偏估计，则而又、得：。5.设总体服从几何分布，其分布律为，样本为，求的矩法估计及极大似然估计。解：（1）已知总体服从几何分布，其分布律为，所以为了求级数的和，可以利用已知的幂级数展开式：按幂级数逐项微分性质可得：由此可得：所以由，即：得的矩法估计：。（2）似然函数为 两边取自然对数，得： 两边对求导，并令导数等于0得：解上述方程，得的极大似然估计：。6设总体的概率分布为： 0123其中为未知参数，利用总体的如下样本值求的矩法估计值和极大似然估计值。解：（1）由已知易得：所以由，即：得的矩法估计：。（
7、2）似然函数为 两边取自然对数，得： 两边对求导，并令导数等于0得：解上述方程，得：所以的极大似然估计。7. 设总体的概率分布密度为：其中为未知常数。求的矩法估计和极大似然估计。解：已知总体的概率分布密度为：（1） 计算所以由，即： 得的矩法估计：（2）似然函数为两边取自然对数，得：两边对求导，并令导数等于0得：解上述方程，得：的极大似然估计。8.设总体X服从的均匀分布，样本为，求参数的极大似然估计。解：X的概率分布密度为：所以，当时，似然函数为，否则。故要使得似然函数达到极大，必须在满足的条件下，使达到极大，即达到极小。所以的极大似然估计为。9.某工厂生产的一批手表，其走时误差（单位：秒/日
8、）服从正态分布，现从中随机抽取9只进行检测，结果如下：设置信概率为，求这批手表走时误差的均值和方差的置信区间。解：设表示这批手表的走时误差， 由样本值得：样本均值为：样本方差为：（1）由于样本函数，所以对应于置信概率为，总体均值的置信区间为对，查表得。易计算：所以均值的置信概率为的置信区间为（2）由于样本函数，所以对应于置信概率为，总体方差的置信区间为对，查表得。易计算：所以方差的置信概率为的置信区间为10.已知某种材料的抗压强度，现随机抽取10个试件进行抗压试验，测得的数据如下（单位：）：（1） 求平均抗压强度的矩估计值和方差的极大似然估计；（2） 求平均抗压强度的95的置信区间；（3） 若
9、已知，求的95的置信区间；（4） 求的95的置信区间。解：（1） 已知总体，而样本均值：由知的矩估计值。似然函数为取对数，得对及求偏导数，并让它们等于零，得解此方程组，即得及的极大似然估计值分别是：所以的极大似然估计值为：（2）由样本值得：样本方差 由于样本函数，所以对应于置信概率为，总体均值的置信区间为对，查表得。易计算：所以均值的置信概率为95的置信区间为（3）已知由于样本函数，所以对应于置信概率为，总体均值的置信区间为对，查表得。易计算：所以已知时，均值的置信概率为95的置信区间为（4）由于样本函数，所以对应于置信概率为，总体方差的置信区间为对，查表得。易计算：所以方差的置信概率为95的
10、置信区间为。11.随机地从A批电线中抽取4根，从B批电线中抽取5根，测得其电阻值（）为A批电线 B批电线 设测试数据分别服从分布及，求的95的置信区间。解：由第六章定理3.2的（2）知，样本函数所以对应于置信概率为，均值差的置信区间为由样本值易计算：对，查表得所以均值差的置信概率为95的置信区间为。12.化验员甲乙分别独立地对某种化合物的含氮量用相同的方法各做10次测量，其测量值的样本方差分别为0.5419和0.6065.设他们的测量值都服从正态分布，总体方差分别为和，求方差比的置信概率为0.95的置信区间。解：由于样本函数，所以对应于置信概率为，方差比的置信区间为已给置信概率，则，第一自由度
11、，第二自由度查表得易计算：所以方差比的置信概率为0.95的置信区间为。习题4 P901. 某工厂用原工艺生产的钢筋的折断力，今改用新工艺生产，假设折断力方差不变，从新工艺生产的钢筋中随机抽取10根，测得其折断力如下：若取，试检验折断力均值是否变小。解：已知钢筋的折断力，由题意知需检验的假设是：由于总体方差不变，即：，所以选取统计量：已知由抽取的样本计算样本均值的观测值，由此得统计量的观测值已给显著性水平，查表得：因为，所以拒绝原假设，而接受备择假设，即认为折断力均值变小。注：原假设备择假设已知未知 在显著水平下关于的拒绝域2.某工厂购买了一种电线，要求其电阻的标准差不得超过，现从中随机抽取样品
12、9根，测得其样本标准差，假设电阻服从正态分布，问在下，能否认为这种电线满足要求？解：设表示这种电线电阻，则，由题意提出需检验的假设是：由于未知，所以选取统计量：已知，计算统计量的观测值已给显著性水平，查表得：因为，所以拒绝原假设，而接受备择假设，即认为这种电线的电阻的标准差显著地大，电线不合格。注：原假设备择假设已知未知 在显著水平下关于的拒绝域3.打包机装糖入包，每包标准重量为，且包重服从正态分布。某天开工后，随机测得9包重量为：问该天打包机工作是否正常？解：设表示糖包的重量，则，由题意提出需检验的假设是：由于总体方差未知，所以选取统计量：已知由抽取的样本计算样本均值的观测值，样本标准差的观
13、测值，由此得统计量的观测值已给显著性水平，查表得：因为，所以接受原假设，即认为该天打包机工作正常。4.设有甲、乙两种安眠药，比较其治疗效果。以表示失眠者服用甲药后睡眠延长的小时数，以表示失眠者服用乙药后睡眠延长的小时数。现随机、独立观察20个失眠者，其中10人服甲药，另10人服乙药，延长的小时数记录如下：假如和服从方差相等的正态分布，问：这两种药的治疗是否有显著性差异？解：由题意知，；需检验的假设是：由于未知，且，所以选取统计量：已知由抽取的样本计算样本均值的观测值，样本方差的观测值，的观测值，样本方差的观测值，由此得统计量的观测值已给显著性水平，查表得：因为，所以拒绝原假设，而接受备择假设；
14、即认为两种药的治疗有显著性差异。注：原假设备择假设已知未知在显著水平下关于的拒绝域5.在某地区100个登记已死亡人的样本中，其平均寿命为71.8年，标准差为8.9年，试问这是否意味着现在人的平均寿命大于70岁？解：设表示该地区人的寿命，由题意知需检验的假设是：由于总体方差未知，所以选取统计量： 已知样本均值，样本标准差；由此得统计量的观测值已给显著性水平，查表得：因为，所以拒绝原假设，而接受备择假设，即认为现在人的平均寿命大于70岁。6.两台车床生产同一种滚珠，滚珠直径服从正态分布，从中分别随机抽取8个和9个产品，测得数据如下：试问两台车床生产的滚珠直径的方差是否有明显的差异？解：设表示甲车床生产的滚珠的直径，表示乙车床生产的滚珠的直径，则有要检验的假设为：选取统计量：已知，由抽取的样本计算的样本方差的观测值， 的样本方差的观测值，由此得统计量的观测值已给显著性水平，查表得：因为，所以接受原假设，即认为两台车床生产的滚珠直径的方差无明显的差异。
