东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测(二)数学(理科)试题及答案.doc

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1、2016年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测(二)数 学(理科)沈阳命题:沈阳市第四中学 吴 哲 沈阳市第二十中学 何运亮沈阳市第二十七中学李刚 沈阳市第五十六中学高文珍沈阳市第二十中学 王 艳 沈阳市第三十一中学李曙光沈阳主审:沈阳市教育研究院 周善富 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,其中第卷第22题第24题为选考题,其它题为必考题 注意事项:1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上,并将条码粘贴在答题卡指定区域.2. 第卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号第卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定

2、位置书写作答,在本试题卷上作答无效3. 考试结束后,考生将答题卡交回.第卷一选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合,集合,则( )A. B. C. D. 2. 设复数在复平面内对应的点关于虚轴对称,且,则( ) A. B. C. D. 3. 已知向量,则=( ) A. B. C. 2 D. 44. 已知函数,则=( ) A4 B C-4 D5. 已知,且,则的概率( ) A. B C D. 6. 已知,为第一象限角,则的值为( )A. B. C. D.7. 如图,在长方体中,点P是棱上一点,则三棱锥的左视图可能为()

3、否是i=i+1把a的右数第i位的数字赋给ti=1b=0开始输出b输入a i6结束 A B C D 主视方向8. 将函数的图象向右平移个单位后的图象关于轴对称,则函数在上的最小值为( )A. B. C. D. 9. 见右侧程序框图,若输入,则输出结果是( )A. 51 B. 49 C. 47 D. 4510. 已知点是双曲线: 的右焦点,以为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为,且与双曲线的实轴垂直,则双曲线离心率是() A. B. C. D. 211. 在中,是中点,已知,则的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形12.

4、偶函数定义在上,且,当时,总有 恒成立,则不等式 的解集为( ) A. 且 B. 或 C. 且 D. 或第卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答第22题第24题为选考题,考生根据要求做答二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上)13. 已知实数满足,则的最大值为 .14. 在椭圆上有两个动点,若为定点,且,则的最小值为 .15. 已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为的球,当三棱柱的体积最大时,三棱柱的高为 .16.设是一个非空集合,是定义在上的一个运算.如果同时满足下述四个条件:()对于,都有;()对于,都有

5、;(iii)对于,使得;(iv)对于,使得(注:“”同(iii)中的“”).则称关于运算构成一个群.现给出下列集合和运算:是整数集合,为加法;是奇数集合,为乘法;是平面向量集合,为数量积运算;是非零复数集合,为乘法. 其中关于运算构成群的序号是_(将你认为正确的序号都写上).三.解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分12分)已知数列满足.(I)求证:数列为等比数列,并求数列的通项公式;(II)令,求数列的前项和.18.(本小题满分12分)某小学对五年级的学生进行体质测试,已知五年一班共有学生30人,测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下(单

6、位:cm):男女7155789998161845298356170275461241801119男生成绩在175cm以上(包括175cm)定义为“合格”,成绩在175cm以下(不包括175cm)定义为“不合格”女生成绩在165cm以上(包括165cm)定义为“合格”,成绩在165cm以下(不包括165cm)定义为“不合格”(I)求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数;(II)在五年一班的男生中任意选取3人,求至少有2人的成绩是合格的概率;(III)若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试,用表示其中男生的人数,写出的分布列,并求的数学期望19、(本小题满分12分)如图(1),在等腰梯形中

7、,分别为和的中点,且,为中点,现将梯形沿所在直线折起,使平面平面,如图(2)所示,是线段上一动点,且.()当时,求证:平面;()当时,求二面角的余弦值. 20.(本小题满分12分)动点在抛物线上,过点作垂直于轴,垂足为,设. (I)求点的轨迹的方程; (II)设点,过的直线交轨迹于两点,设直线的斜率分别为,求的最小值.21. (本小题满分12分)已知函数,.(I)若函数存在单调减区间,求实数的取值范围;(II)若,证明:,总有.请考生在22,23,24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑22.(本小题满分10分)选修41:几何证

8、明选讲已知四边形为的内接四边形且,其对角线与相交于点,过点作的切线交的延长线于点.()求证:;()若,求证:. 23.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知直线的参数方程为为参数,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,且曲线的左焦点在直线上. (I)若直线与曲线交于两点,求的值; ()设曲线的内接矩形的周长为,求的最大值.24(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知使得关于的不等式成立(I)求满足条件的实数的集合;()若,且对于,不等式恒成立,试求的最小值.2016年沈阳市高三教学质量监测(二) 数学(理科)参考答案与评分标准说明:一、本解答给出了

9、一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一选择题1.B 2.C 3.B 4.B 5.B 6.C 7.D 8.D 9.A 10.C 11.D 12.B一选择题1.解:集合B化简为,依题可见选B.2.解:依题,从而,于是,选C

10、.3.解:由,或用坐标法直接计算,选B.4.解:由题,选B. 5.解:由题基本事件空间中的元素有:,满足题意的有,所以选B.6.解:由题,所以,所以选C.7.解:在长方体中, 三棱锥的左视图中,、的射影分别是、.所以选D.8.解:由题依题,所以.这样又,所以,选D .9.解:A.10.解:由题,所以,即离心率为,选C.11.解:如图,因为,所以,ABCD在与中,由正弦定理得,所以,即,所以,从而或,于是或.选D.12解:因为是偶函数,它的图象关于纵轴对称,所以不等式的解集也应是对称的,所以D排除;当时,总有恒成立,即成立,也就是恒成立,又因为,所以,所以即是恒成立,可见函数在上单调递增,又因为

11、函数是偶函数,所以函数是偶函数,所以在上单调递减。又,所以,所以的图象如下:xyo-11所以在时,而,所以成立而在时,而,所以,又由函数的图象对称性可知,选B.二.填空题:13. 4 14. 15. 16.13.解析:14. 解:因为,所以由向量数量积的几何意义可知:,又因为点M在椭圆上,则,带入上式,得,当时,取得最小值.15. 解:如图所示,设为外接球球心,三棱柱的高为,则由题意可知, ,此时三棱柱的体积为,其中. 令,则,令,则,当时,函数增,当时,函数减.故当三棱柱的体积最大时,三棱柱的高为.16.解: 若是整数集合,则(i)两个整数相加仍为整数;()整数加法满足结合律;(iii) ,

12、则;(iv),在整数集合中存在唯一一个,使;故整数集合关于运算构成一个群;是奇数集合,为乘法,则,不满足(iv);是平面向量集合,为数量积运算, 则不满足(i);是非零复数集合,为乘法,则(i)两个非零复数相乘仍为非零复数;()非零复数相乘符合结合律;(iii) ,则;(iv),在中存在唯一一个,使.三.解答题17.解:(I)由知,2分所以数列是以为首项,为公比的等比数列. 4分则,. 6分(II), 设数列的前项和为,则, 10分当时,;当时,;所以. 12分18.解:(I)五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为cm2分(II)设 “仅有两人的成绩合格”为事件A,“有三人的成绩合格”为事件B,

13、至少有两人的成绩是合格的概率为P,则PP(A)+P(B),又男生共12人,其中有8人合格,从而, .4分,所以. 6分(III)因为女生共有18人,其中有10人合格,依题意,的取值为0,1,2.则,(每项1分)10分因此,的分布列如下:012P(人)(未化简不扣分)12分(或是,因为服从超几何分布,所以(人)19.解:()过点作于点,过点作于点,连接. 由题意, ,2分且,4分又,则,即,可知且平面,则平面. 6分()以为坐标原点,方向为轴,方向为轴,方向为轴,建立如图所示坐标系. 由题意,平面的法向量为平面的法向量,即,8分在平面中,即,10分则,又由图可知二面角的平面角是锐角,所以二面角的

14、大小的余弦值为.12分20.解:(I)设点,则由,得,因为点在抛物线上,所以,. 4分(II)方法一:由已知,直线的斜率一定存在,设点,则联立,得,由韦达定理,得. 6分当直线经过点即或时, 当时,直线的斜率看作抛物线在点处的切线斜率, 则 ,此时;同理,当点与点重合时,(学生如果没有讨论,不扣分)直线不经过点即且时, 8分, 10分故,所以的最小值为1. 12分方法二:同上,8分 10分所以的最小值为1. 12分方法三:设点,由直线过交轨迹于两点得:,化简整理得:8分. 10分而 12分21.解:(I)由已知,得2分因为函数存在单调减区间,所以方程有解.而恒成立,即有解, 所以.又,所以,.

15、 5分(II)因为,所以,所以.因为,所以又对于任意,.6分要证原不等式成立,只要证,只要证,对于任意上恒成立. 8分设函数,则,当时,即在上是减函数,当时,即在上是增函数,所以,在上,所以.所以,(当且仅当时上式取等号)10分设函数,则,当时,即在上是减函数,当时,即在上是增函数,所以在上,所以,即,(当且仅当时上式取等号).综上所述,因为不可能同时取等号所以,在上恒成立,所以,总有成立. 12分22. 解:()由可知,2分由角分线定理可知,即得证. 5分()由,可知,又,所以,所以. 8分所以(内错角),又(线切角),所以,所以. 10分23.解:(I)直线的参数方程是(),3分代入椭圆方程得,所以=2. 5分()设椭圆的内接矩形的顶点为,8分所以椭圆的内接矩形的周长为=当时,即时椭圆的内接矩形的周长取得最大值16.10分24.解:(I), 3分所以,所以的取值范围为.5分()由(I)知,对于,不等式恒成立,只需,所以,7分又因为,所以.又,所以,所以,所以,即的最小值为6.10分

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