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1、2016年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）数 学（理科）沈阳命题：沈阳市第四中学 吴 哲 沈阳市第二十中学 何运亮沈阳市第二十七中学李刚 沈阳市第五十六中学高文珍沈阳市第二十中学 王 艳 沈阳市第三十一中学李曙光沈阳主审：沈阳市教育研究院 周善富 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，其中第卷第22题第24题为选考题，其它题为必考题 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2. 第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号第卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定
2、位置书写作答，在本试题卷上作答无效3. 考试结束后，考生将答题卡交回.第卷一选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 设复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则=（ ） A. B. C. 2 D. 44. 已知函数，则=（ ） A4 B C-4 D5. 已知，且，则的概率（ ） A. B C D. 6. 已知，为第一象限角，则的值为（ ）A. B. C. D.7. 如图，在长方体中，点P是棱上一点，则三棱锥的左视图可能为（）
3、否是i=i+1把a的右数第i位的数字赋给ti=1b=0开始输出b输入a i6结束 A B C D 主视方向8. 将函数的图象向右平移个单位后的图象关于轴对称，则函数在上的最小值为（ ）A. B. C. D. 9. 见右侧程序框图，若输入，则输出结果是（ ）A. 51 B. 49 C. 47 D. 4510. 已知点是双曲线： 的右焦点，以为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为，且与双曲线的实轴垂直，则双曲线离心率是（） A. B. C. D. 211. 在中，是中点，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形12.
4、偶函数定义在上，且，当时，总有 恒成立，则不等式 的解集为（ ） A. 且 B. 或 C. 且 D. 或第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第22题第24题为选考题，考生根据要求做答二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上）13. 已知实数满足，则的最大值为 .14. 在椭圆上有两个动点，若为定点，且，则的最小值为 .15. 已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为 .16.设是一个非空集合，是定义在上的一个运算.如果同时满足下述四个条件：（）对于，都有；（）对于，都有
5、；（iii）对于，使得；（iv）对于，使得（注：“”同（iii）中的“”）.则称关于运算构成一个群.现给出下列集合和运算：是整数集合，为加法；是奇数集合，为乘法；是平面向量集合，为数量积运算；是非零复数集合，为乘法. 其中关于运算构成群的序号是_（将你认为正确的序号都写上）.三.解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分12分)已知数列满足.（I）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（II）令，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单
6、位：cm）：男女7155789998161845298356170275461241801119男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”（I）求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；（II）在五年一班的男生中任意选取3人，求至少有2人的成绩是合格的概率；（III）若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用表示其中男生的人数，写出的分布列，并求的数学期望19、（本小题满分12分）如图（1），在等腰梯形中
7、，分别为和的中点，且，为中点，现将梯形沿所在直线折起，使平面平面，如图（2）所示，是线段上一动点，且.（）当时，求证：平面；（）当时，求二面角的余弦值. 20.（本小题满分12分）动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设. （I）求点的轨迹的方程； （II）设点，过的直线交轨迹于两点，设直线的斜率分别为，求的最小值.21. (本小题满分12分)已知函数，.（I）若函数存在单调减区间，求实数的取值范围；（II）若，证明：，总有.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑22.（本小题满分10分）选修41：几何证
8、明选讲已知四边形为的内接四边形且，其对角线与相交于点，过点作的切线交的延长线于点.（）求证：；（）若，求证：. 23.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上. （I）若直线与曲线交于两点，求的值； （）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值.24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知使得关于的不等式成立(I)求满足条件的实数的集合；()若，且对于，不等式恒成立，试求的最小值.2016年沈阳市高三教学质量监测（二） 数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了
9、一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一选择题1.B 2.C 3.B 4.B 5.B 6.C 7.D 8.D 9.A 10.C 11.D 12.B一选择题1.解：集合B化简为，依题可见选B.2.解：依题，从而，于是，选C
10、.3.解：由，或用坐标法直接计算，选B.4.解：由题，选B. 5.解：由题基本事件空间中的元素有：，满足题意的有，所以选B.6.解：由题，所以，所以选C.7.解：在长方体中, 三棱锥的左视图中，、的射影分别是、.所以选D.8.解：由题依题，所以.这样又，所以，选D .9.解：A.10.解：由题，所以，即离心率为，选C.11.解：如图，因为，所以，ABCD在与中，由正弦定理得，所以，即，所以，从而或，于是或.选D.12解：因为是偶函数，它的图象关于纵轴对称，所以不等式的解集也应是对称的，所以D排除；当时，总有恒成立，即成立，也就是恒成立，又因为，所以，所以即是恒成立，可见函数在上单调递增，又因为
11、函数是偶函数，所以函数是偶函数，所以在上单调递减。又，所以，所以的图象如下：xyo-11所以在时，而，所以成立而在时，而，所以,又由函数的图象对称性可知，选B.二.填空题:13. 4 14. 15. 16.13.解析：14. 解：因为，所以由向量数量积的几何意义可知：，又因为点M在椭圆上，则，带入上式，得，当时，取得最小值.15. 解：如图所示，设为外接球球心，三棱柱的高为，则由题意可知， ，此时三棱柱的体积为，其中. 令，则，令，则，当时，函数增，当时，函数减.故当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为.16.解： 若是整数集合，则（i）两个整数相加仍为整数；（）整数加法满足结合律；（iii） ,
12、则；（iv），在整数集合中存在唯一一个，使；故整数集合关于运算构成一个群；是奇数集合，为乘法，则,不满足（iv）；是平面向量集合，为数量积运算, 则不满足（i）;是非零复数集合，为乘法，则（i）两个非零复数相乘仍为非零复数；（）非零复数相乘符合结合律；（iii） ,则；（iv），在中存在唯一一个，使.三.解答题17.解：(I)由知，2分所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 4分则，. 6分（II）， 设数列的前项和为，则， 10分当时，；当时，；所以. 12分18.解：（I）五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为cm2分（II）设 “仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，
13、至少有两人的成绩是合格的概率为P，则PP（A）+P（B），又男生共12人，其中有8人合格，从而， .4分，所以. 6分（III）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，的取值为0,1,2.则，(每项1分)10分因此，的分布列如下：012P（人）（未化简不扣分）12分（或是，因为服从超几何分布，所以（人）19.解：（）过点作于点，过点作于点，连接. 由题意， ，2分且，4分又，则，即，可知且平面，则平面. 6分（）以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示坐标系. 由题意，平面的法向量为平面的法向量，即，8分在平面中，即，10分则，又由图可知二面角的平面角是锐角，所以二面角的
14、大小的余弦值为.12分20.解：（I）设点，则由，得，因为点在抛物线上，所以，. 4分（II）方法一：由已知，直线的斜率一定存在，设点，则联立，得，由韦达定理，得. 6分当直线经过点即或时， 当时，直线的斜率看作抛物线在点处的切线斜率， 则 ，此时；同理，当点与点重合时，（学生如果没有讨论，不扣分）直线不经过点即且时， 8分， 10分故，所以的最小值为1. 12分方法二：同上，8分 10分所以的最小值为1. 12分方法三：设点，由直线过交轨迹于两点得:,化简整理得:8分. 10分而 12分21.解：（I）由已知，得2分因为函数存在单调减区间，所以方程有解.而恒成立，即有解， 所以.又，所以，.
15、 5分(II)因为，所以，所以.因为，所以又对于任意，.6分要证原不等式成立，只要证，只要证，对于任意上恒成立. 8分设函数，则，当时，即在上是减函数，当时，即在上是增函数，所以,在上，所以.所以，（当且仅当时上式取等号）10分设函数，则，当时，即在上是减函数，当时，即在上是增函数，所以在上，所以，即，（当且仅当时上式取等号）.综上所述，因为不可能同时取等号所以，在上恒成立，所以，总有成立. 12分22. 解：（）由可知，2分由角分线定理可知，即得证. 5分（）由，可知，又，所以，所以. 8分所以（内错角），又（线切角），所以，所以. 10分23.解：(I)直线的参数方程是（），3分代入椭圆方程得，所以=2. 5分()设椭圆的内接矩形的顶点为，8分所以椭圆的内接矩形的周长为=当时，即时椭圆的内接矩形的周长取得最大值16.10分24.解：(I), 3分所以，所以的取值范围为.5分()由(I)知，对于，不等式恒成立，只需,所以，7分又因为，所以.又，所以，所以，所以，即的最小值为6.10分
