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1、如东县掘港高级中学2014高三第三次调研考试试卷数学试卷（）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1已知集合，则 .2已知为实数，则“”是“”的 条件3已知都是锐角，则_ _.4为虚数单位，复数的虚部是_ _.5. 已知向量，.若，则实数的值为 6. 已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为（结果保留）_7顶点在原点且以双曲线的右准线为准线的抛物线方程是 8. 函数的单调减区间为_9. 设定义在区间（）上的函数y6cos x的图象与y5tan x的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数ysin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为_10. 已知直
2、线与圆相交于两点，若点M在圆C上，且有（为坐标原点），则实数= . 11. 已知实数，有且仅有两个不等实根，且较大的实根大于3，则实数的取值范围 . 12在数列中，记是数列的前项和，则= 13在平面直角坐标系中，已知点是半圆（）上的一个动点，点在线段的延长线上当时，则点的纵坐标的取值范围是 14. 我们可以利用数列的递推公式（）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数。研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第_项. 二、解答题（本大题共6小题，计90分）15.（本小题满分14分）已知函数，且其图象的相邻对称轴间的距离为.(I)求在区间上的值域；（II）在锐角中
3、，若求的面积.16.（本小题满分14分）ABDA1B1C1D1EC如图，已知四棱柱的底面是菱形，侧棱底面，是侧棱的中点. （）求证：平面；（）求证：平面.17.（本小题满分14分）如图，为相距的两个工厂，以的中点为圆心，半径为画圆弧。为圆弧上两点，且 ，在圆弧上一点处建一座学校。学校受工厂 的噪音影响度与 的平方成反比，比例系数为1，学校受工厂的噪音影响度与 的平方成反比，比例系数为。学校受两工厂的噪音影响度之和为 ，且设 。（1）求 ，并求其定义域；（2）当为多少时，总噪音影响度最小？ 18、（本题满分16分）已知椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为.
4、 不过A点的动直线交椭圆于P,Q两点（1）求椭圆的标准方程；（2）证明两点的横坐标的平方和为定值；（3）过点的动圆记为圆，已知动圆过定点和(异于点)，请求出定点的坐标.19.（本小题满分16分），其中，由中的元素构成两个相应的集合：，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和若对于任意的，总有，则称集合具有性质（I）对任何具有性质的集合，证明：；（II）判断和的大小关系，并证明你的结论20.（本小题满分16分）已知函数 ，（I）若在上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为，试求和的值。（II）若为奇函数：是否存在实数，使得在为增函数，为减函数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；如果
5、当时，都有恒成立，试求的取值范围。如东县掘港高级中学高三第三次调研考试数学试卷答题纸一填空题：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15题：班级 姓名 学号 姓名学号16题 ABDA1B1C1D1EC17题：18题：19题20题：如东县掘港高级中学高三第三次调研考试试卷数学试卷(理科方向)21.（本小题满分10分）已知函数,设曲线在点处的切线为,若与圆相切,求的值.班级 姓名 学号 22.（本小题满分10分） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面，.（）求证：；（）求二面角的余弦值.23.（本小题满分10分）已知直线被抛物线截得的弦长为20，为坐标原点（1）求实数
6、的值；（2）问点位于抛物线弧上何处时，面积最大？24.（本小题满分10分）已知等差数列满足：。数列的前n项和（1）求数列和的通项公式；（2）令，试问：是否存在正整数n，使不等式成立？若存在，求出相应n的值；若不存在，请说明理由。如东县掘港高级中学高三第三次调研考试数学试卷答案一、填空题：1. ； 2. 充分不必要； 3. ； 4. ；5. ；6. ； 7. ；8. ；9. ；10. 0；11. ； 12，2550 ； 13. ； 14.640 二、解答题：15、解：（I） 3分由条件知，又 ， . ， ， ，的值域是. 7分（II）由，得, 9分由及余弦定理，得， 12分的面积. 14分16、
7、证明：（）因为是菱形，所以，因为底面，所以， 所以平面. 6分（）设,交于点，取的中点，连接，则，且，又是侧棱的中点，所以，且, 所以四边形为平行四边形， 又平面，平面， 所以平面. 14分 17、解：（）连接OP，设则，在AOP中，由余弦定理得，在BOP中，由余弦定理得，4分，则，.6分，则，。8分（）令，.10分由，得或t=-10（舍去），当，函数在上单调递减；当，函数在上单调递增；当时，即时，函数有最小值，也即当AP为（km）时，“总噪音影响度”最小14分18. 解：（1）设椭圆的标准方程为.由题意得.2分, , 2分 椭圆的标准方程为.4分（2）证明：设点将带入椭圆，化简得：,6分 ,
8、 P,Q两点的横坐标的平方和为定值4.7分（3）设圆的一般方程为:,则圆心为（）,PQ中点M(), PQ的垂直平分线的方程为:, 8分圆心（）满足，所以,9分圆过定点(2,0)，所以,10分圆过, 则 两式相加得： ,11分, .12分因为动直线与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以，由解得: 13分代入圆的方程为：,整理得：,14分所以：15分 解得：或(舍). 所以圆过定点(0,1).16分19.解：（I）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个因为，所以；又因为当时，时，所以当时，从而，集合中元素的个数最多为，即 6分（II）解：，证明如下：（1）对于，根据定义，且，从而如果与是的不同
9、元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立故与也是的不同元素可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，11分（2）对于，根据定义，且，从而如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，故与也是的不同元素可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，由（1）（2）可知，16分20、（）在上存在最大值和最小值，（否则值域为R）， ，又，由题意有，； 4分（）若为奇函数， （1）若，使在（0，）上递增，在（，）上递减，则，这时，当时，递增。当时，递减。 9分 （2）若，即，则对恒成立，这时在上递减，。 12分若，则当时，不可能恒小于等于0。若，则不合题意。若
10、，则，使，当时，这时递增，不合题意。综上。 16分如东县掘港高级中学高三第三次调研考试数学试卷答案21解:依题意有:, 4分的方程为与圆相切,的值为.10分22、证明：()以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则， , ,所以 .4分xzy（）易证为面的法向量，设面的法向量，所以所以面的法向量 ,因为面和面所成的角为锐角，所以二面角的余弦值为.10分23.解：（1）将代入得，-2分 由可知， 另一方面，弦长AB，解得；-5分（2）当时，直线为，要使得内接ABC面积最大，则只须使得，-即，即位于（4，4）点处 -10分24解：（1）设数列的公差为， 由，得，得2分由数列的前和为可知，当时，当时， 当时，得，故数列的通项公式为,的通项公式为5分（2）假设存在正整数使不等式成立，即要满足,由，所以数列单调减，数列单调增，6分当正整数时，所以不成立；7分当正整数时，所以成立；8分当正整数时， 所以不成立. 综上所述，存在正整数时，使不等式成立.10分
