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1、湖北省武汉市2014届高三2月调研测试数学理试题2014.2.20一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数m(3i)(2i)（mR，i为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）甲组乙组 909x215y87424已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x，y的值分别为A2，6 B2，7 C3，6 D3，73已知e1，e2是夹角为60的两个单位向量，若ae1e2，b4e12e2，则a与b的夹角为A3
2、0 B60 C120 D1504张丘建算经卷上第22题“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加A尺 B尺 C尺 D尺5阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序若输入某个正整数n后，输出的S(31，72)，则n的值为A5B6C7D86若(9x)n（nN*）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为A252 B252 C84 D847设a，bR，则“ab1”是“a2b21”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件D1C1B1A1ABCDEGFH8如图，在长
3、方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EHA1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G设AB2AA12a在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P，当点E，F分别在棱A1B1，BB1上运动且满足EFa时，则P的最小值为A B C D9若S1dx，S2(lnx1)dx，S3xdx，则S1，S2，S3的大小关系为AS1S2S3 BS2S1S3 CS1S3S2 DS3S1S210如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB是O的直径，上底CD的端点在圆
4、周上若双曲线以A，B为焦点，且过C，D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为A1B22 C1D22二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分（一）必考题（1114题）11已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 12曲线y在点M(，0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D（包含三角形内部与边界）若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x4y的最大值为 13如下图所示，它们都是由小正方形组成的图案现按同样的排列规则进行排列，记第n个图形包含的小正方形个数为f(n)，则（）f(
5、5) ；（）f(n) 14已知函数f(x)sin2x2cos2xm在区间0，上的最大值为3，则（）m ；（）对任意aR，f(x)在a，a20上的零点个数为 （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑如果全选，则按第15题作答结果计分）15（选修4-1：几何证明选讲）如图，O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为O上一点，DE交AB于点F若AB4，BP3，则PF 16（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线(cossin)a0与曲线（为参数）有两
6、个不同的交点，则实数a的取值范围为 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知sin(AB)cosC（）若a3，b，求c；（）求的取值范围18（本小题满分12分）已知数列an满足a10，an12|an|，nN*（）若a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；（）是否存在a1，使数列an为等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由19（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5（）求直线B
7、1C1与平面A1BC1所成角的正弦值；（）在线段BC1上确定一点D，使得ADA1B，并求的值20（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判（）求第4局甲当裁判的概率；（）用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列和数学期望21（本小题满分13分）如图，矩形ABCD中，|AB|2，|BC|2E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，分别以HF，EG所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，已知，其中01（）求证：直线ER与GR的交点M在椭圆：y21上；（）若
8、点N是直线l：yx2上且不在坐标轴上的任意一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，直线NF1和NF2与椭圆的交点分别为P、Q和S、T是否存在点N，使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT满足kOPkOQkOSkOT0？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由22（本小题满分14分）（）已知函数f(x)ex1tx，x0R，使f(x0)0，求实数t的取值范围；（）证明：ln，其中0ab；（）设x表示不超过x的最大整数，证明：ln(1n)11lnn（nN*）武汉市2014届高三2月调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1B 2D 3C 4B 5B 6C 7
9、A 8D 9A 10D二、填空题11 124 13（）41；（）2n22n114（）0；（）40或41 15 160，)三、解答题17（本小题满分12分）解：（）由sin(AB)cosC，得sin(AB)sin(C)ABC是锐角三角形，ABC，即ABC， 又ABC， 由，得B由余弦定理b2c2a22cacosB，得()2c2(3)22c3cos，即c26c80，解得c2，或c4当c2时，b2c2a2()222(3)240，b2c2a2，此时A为钝角，与已知矛盾，c2故c46分（）由（），知B，AC，即CAsin(2A)ABC是锐角三角形，A，2A，sin(2A)，11故的取值范围为(1，1)1
10、2分18（本小题满分12分）解：（）a10，a22|a1|2a1，a32|a2|2|2a1|当0a12时，a32(2a1)a1，a(2a1)2，解得a11当a12时，a32(a12)4a1，a1(4a1)(2a1)2，解得a12（舍去）或a12综上可得a11或a126分（）假设这样的等差数列存在，则由2a2a1a3，得2(2a1)a1(2|2a1|)，即|2a1|3a12当a12时，a123a12，解得a10，与a12矛盾；当0a12时，2a13a12，解得a11，从而an1（nN*），此时an是一个等差数列；综上可知，当且仅当a11时，数列an为等差数列12分19（本小题满分12分）解：（）
11、AA1C1C为正方形，AA1AC平面ABC平面AA1C1C，AA1平面ABC，AA1AC，AA1AB由已知AB3，BC5，AC4，ABAC如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，则B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4)，(0，3，4)，(4，0，0)，(4，3，0)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z3，则x0，y4，n(0，4，3)设直线B1C1与平面A1BC1所成的角为，则sin|cos，n|故直线B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为6分（）设D(x，y，z)是线段BC1上一点，且（0，1），(x，y3，z)(4，3，4)，x
12、4，y33，z4，(4，33，4)又(0，3，4)，由0，得3(33)440，即9250，解得0，1故在线段BC1上存在点D，使得ADA1B此时12分20（本小题满分12分）解：（）记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”则AA1A2P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2)4分（）X的可能取值为0，1，2记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”则P(X0)P(B1B2A3)P(B
13、1)P(B2)P(A3)，P(X2)P(B3)P()P(B3)，P(X1)1P(X0)P(X2)1X的分布列为X012PE(X)01212分21（本小题满分13分）解：（）由已知，得F(，0)，C(，1)由，得R(，0)，R(，1)又E(0，1)，G(0，1)，则直线ER的方程为yx1， 直线GR的方程为yx1 由，得M(，)()21，直线ER与GR的交点M在椭圆：y21上5分（）假设满足条件的点N(x0，y0)存在，则直线NF1的方程为yk1(x1)，其中k1，直线NF2的方程为yk2(x1)，其中k2由消去y并化简，得(2k1)x24kx2k20设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1
14、x2，x1x2OP，OQ的斜率存在，x10，x20，k1kOPkOQ2k1k1k1(2)同理可得kOSkOTkOPkOQkOSkOT2()2kOPkOQkOSkOT0，0，即(k1k2)(k1k21)0由点N不在坐标轴上，知k1k20，k1k21，即1 又y0x02， 解，得x0，y0故满足条件的点N存在，其坐标为（，）13分22（本小题满分14分）解：（）若t0，令x，则f()e110；若t0，f (x)ex10，不合题意；若t0，只需f(x)min0求导数，得f (x)ex1t令f (x)0，解得xlnt1当xlnt1时，f (x)0，f(x)在(，lnt1)上是减函数；当xlnt1时，f
15、 (x)0，f(x)在(lnt1，)上是增函数故f(x)在xlnt1处取得最小值f(lnt1)tt(lnt1)tlnttlnt0，由t0，得lnt0，t1综上可知，实数t的取值范围为(，0)1，+)4分（）由（），知f(x)f(lnt1)，即ex1txtlnt取t1，ex1x0，即xex1当x0时，lnxx1，当且仅当x1时，等号成立，故当x0且x1时，有lnxx1令x，得ln1（0ab），即ln令x，得ln1（0ab），即ln，亦即ln综上，得ln9分（）由（），得ln令ak，bk1（kN*），得ln对于ln，分别取k1，2，n，将上述n个不等式依次相加，得lnlnln1，ln(1n)1 对于ln，分别取k1，2，n1，将上述n1个不等式依次相加，得lnlnln，即lnn（n2），11lnn（nN*） 综合，得ln(1n)11lnn易知，当pq时，pq，ln(1n)11lnn（nN*）又1lnn1lnn，ln(1n)11lnn（nN*）14分
