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1、2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考数 学 试 题 卷（理科）2014.3特别提醒：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）（1）已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为（ ） （A） （B）1 （C） （D）（2）已知条件：是两条直线的夹角，条件：是第一象限的角。则“条件”是“条件”的（ ）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件甲组乙组2911664125874134（3）（原创）
2、以下茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分）。已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数即为甲组数据的中位数，则、的值分别为（ ）（A）4、5 （B）5、4（C）4、4 （D）5、5（4）（原创）已知实数满足，则的值域为（ ）（A） （B） （C） （D）（5）某几何体的三视图如右图所示，则它的表面积为（ ）（A）（B）（C）（D）（6）已知一个四面体的一条棱长为，其余棱长均为2，则这个四面体的体积为（ ）（A）1 （B） （C） （D）3（7）已知函数的图像与轴恰好有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）（8）执行如右图所示的程序
3、框图，则输出的的值等于（ ）（A）13（B）15（C）36（D）49（9）（ ）（A） （B）2 （C） （D）4 （10）（原创）已知分别是的三边上的点，且满足，。则（ ）（A） （B） （C） （D）二填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上）（11）正项等比数列中，则 。（12）已知集合，集合，则集合 。（13）（原创）小钟和小薛相约周末去爬尖刀山，他们约定周日早上8点至9点之间（假定他们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在华岩寺正大门前集中前往，则他们中先到者等待的时间不超过15分钟的概率是 （用数字作答）。特别提醒：（14）、（15）
4、、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。（14）（原创）如图，在中，是的中点，于，的延长线交的外接圆于，则的长为 。（15）在直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系。已知点，若极坐标方程为的曲线与直线（为参数）相交于、两点，则 。（16）若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是 。三解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）（17）（本小题满分13分，小问6分，小问7分）设，其中，曲线在点处的切线与直线：平行。确定的值； 求函数的单调区间。（18）（本小题满分13分，小问5分，小问8分）（原创）小张有4张VCD光盘
5、和3张DVD光盘，小王有2张VCD光盘和1张DVD光盘，所有10张光盘都各不相同。现小张和小王各拿一张光盘互相交换，求：小张恰有4张VCD光盘的概率；小张的DVD光盘张数的分布列与期望。（19）（本小题满分13分，小问5分，小问8分）（原创）如图，在四面体中，平面，。是的中点，是的中点，点在线段上，且。证明:平面；若异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求的值。（20）（本小题满分12分，小问5分，小问7分）（原创）在中，内角、的对边分别是、，且。求角的大小；设，求的面积。（21）（本小题满分12分，小问5分，小问7分）（原创）如图所示，椭圆：的左右焦点分别为，椭圆上的点到的距离之差的最大值为
6、2，且其离心率是方程的根。求椭圆的方程；过左焦点的直线与椭圆相交于两点，与圆相交于两点，求的最小值，以及取得最小值时直线的方程。（22）（本小题满分12分，小问3分，小问4分，小问5分）（原创）在数列中，已知，其前项和满足。求的值；求的表达式；对于任意的正整数，求证：。 命题人：薛廷兵 审题人：梁 波 2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考 数 学 答 案（理科）2014.3一选择题：BDACB ACDCD二填空题：1112；12；13；14；152；16 17解：由题，故。因直线的斜率为，故，从而； ，由得或，由得。故的单增区间为和，单减区间为。234 18解：记事件为“小张和小王
7、各拿一张VCD光盘交换”，事件为“小张和小王各拿一张DCD光盘交换”，则互斥，且，故所求概率为； 所有可能取值为，且，。故的分布列如右表，的期望。 19法一：如图，连并延长交于，连，过作交于，则，。故，从而。因平面，平面，故平面； 过作于，作于，连。因平面，故平面平面，故平面，因此，从而平面，所以即为二面角的平面角。因，故，因此即为的角平分线。由易知，故，从而，。由题易知平面，故。由题，故。所以，从而。法二：如图建立空间直角坐标系，则，。 设，则，因此。显然是平面的一个法向量，且，所以平面；由，故由得，因此，从而，。设是平面的法向量，则，取得。设是平面的法向量，则，取得。故。 20解：由正弦定
8、理可得，即，故由余弦定理得，因此； 因，故，得，且。故，得，故。 21解：设是椭圆上任意一点，则，故。解方程得或。因，故，因此，从而。所以椭圆的方程为；法一：焦准距，设，则，故。易知，故。令，则。令，则，故在单调递增，从而，得，当且仅当即时取等号。所以的最小值为，取得最小值直线的方程为。法二：当轴时易知，有。当与轴不垂直时，设：，代入并整理得，故。圆心到的距离，故，令，则。令，且，则。因，故，因此，从而，可知。综上知的最小值为，取得最小值直线的方程为。 22解：依次令可得，； 法一：由猜想，下面用数学归纳法证明：当时结论显然成立；假设时结论成立，即，则，故当时结论成立。综上知结论成立。 法二：猜想，下面用第二数学归纳法证明：当时结论显然成立；假设时结论成立，即，则，故当时结论成立。综上知结论成立。 法三：由题，当时，故，因此。又，故。法一：由知为等差数列，故。由知一定时，要使最小，则最大。显然，故，因此，从而。 法二：因为，所以，故，因此，从而，即。法三：当时不等式显然成立；假设时不等式成立，即，则如“法二”可证，故，即当时不等式成立。综上得证。
