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1、2015年石景山区高三统一测试数 学（理）本试卷共6页，150分考试时长120分钟请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后上交答题卡第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1若集合，且，则集合可能是（ ） A B C D 是开始输出结束否2在极坐标系中，圆被直线 截得的弦长为（ ）A B C D3执行如右图的程序框图，若输出的，则输入的值可以为 （ ）A B C D4已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5二项式的展开式中，常
2、数项的值是（ ） A B C D6等差数列中，则该数列前项之和为（ ）A B C D7在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）xy11Oz2122 A和 B和 C和 D和 8如果双曲线的离心率，则称此双曲线为黄金双曲线有以下几个命题：双曲线是黄金双曲线； 双曲线是黄金双曲线；在双曲线中， F1为左焦点， A2为右顶点， B1（0，b），若F1 B1 A2,则该双曲线是黄金双曲线；在双曲线中，过焦点F2作实轴的垂线交双曲线于M、N两点，O为坐标原点，若MON，
3、则该双曲线是黄金双曲线其中正确命题的序号为（ ）A和 B和 C和 D和第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分 ACDPOB9，为复数的共轭复数，则_10如图，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA、DC 的延长线交于点P，若PA 4，PC 5，则CBD _11设不等式组 表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落在圆内的概率为_12如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量满足，则 13若甲乙两人从门课程中各选修门，则甲乙所选的课程中恰有门相同的选法有 种（用数字作答） 14已知集合，若对于任意，都存在，使得成立，则称集合M是“垂直对
4、点集”给出下列四个集合：； ； 其中是“垂直对点集”的序号是 三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题满分13分）xyPQO在平面直角坐标系中，设锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点. 记.()求函数的值域；()设的角所对的边分别为，若，且，求.16（本小题满分13分）空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染AQI值范围0,50)50，100）100,150)150,200)200,300)300及以上国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI）与空气质量等级对应关系如下表：下表是由天气
5、网获得的全国东西部各6个城市2015年3月某时刻实时监测到的数据： 西部城市AQI数值东部城市AQI数值西安108北京104西宁92金门42克拉玛依37上海x鄂尔多斯56苏州114巴彦淖尔61天津105库尔勒456石家庄93AQI平均值：135AQI平均值：90() 求x的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市AQI数值的方差的大小关系（只需写出结果）；()环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为，求的分布列和数学期望17（本小题满分14分）ACDEFB如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF平面ABCD，正方
6、形ADEF的边长为2，直角梯形ABCD中，ABCD，ADDC，AB2，CD4 ()求证：BC平面BDE；()试在平面CDE上确定点P，使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF所成的角等于3018（本小题满分13分）已知函数()若，求函数的极值；()设函数，求函数的单调区间；()若存在，使得成立，求的取值范围19（本小题满分14分）已知椭圆C:离心率，短轴长为()求椭圆的标准方程；() 如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论 20（本小
7、题满分13分）设数列满足：；所有项；设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值我们称数列为数的伴随数列例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3()若数列的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列；()设，求数列的伴随数列的前30项之和；()若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和 2015年石景山区高三统一测试数 学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案A CCB ACDB二、填空题共6小题，每小题5分，共30分题号91011121314答案180三、解答题共6小题，共80分15（本小题共
8、13分）（）由题意，得， 3分所以， 5分因为，所以，故. 7分（）因为，所以， 9分在中，由余弦定理得，即，解得. 13分16（本小题共13分）（）x82 2分D东部D西部 4分（）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个根据题意的所有可能取值为： 5分,， 11分的分布列为：所以 13分17（本小题共14分）（）证明：因为平面ABEF平面ABCD，EDAB所以ED平面ABCD 1分又因为BC平面ABCD，所以EDBC 2分在直角梯形ABCD中,由已知可得BC2=8，BD2=8，CD2=16，所以，CD 2=BC2+BD2 ，所以，BDBC 4分又因为EDBD=D，所以BC平面BDE 5
9、分（）如图建立空间直角坐标系Dxyz 6分ACDEFBxzy则 7分设，则令是平面BEF的一个法向量，则所以，令，得所以 9分因为AP与平面BEF所成的角等于，所以AP与所成的角为或所以 11分所以又因为，所以或 12分当时，（*）式无解当时，解得： 13分所以，或. 14分18.（本小题共13分）（）的定义域为 1分当时， 2分由，解得.当时，单调递减；当时，单调递增；所以当时，函数取得极小值，极小值为； .4分（），其定义域为又 .6分由可得，在上，在上，所以的递减区间为；递增区间为 .7分（III）若在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得即在上的最小值小于零 8分当，即时，由（II
10、）可知在上单调递减故在上的最小值为，由，可得 9分因为所以； 10分当，即时，由（II）可知在上单调递减，在上单调递增在上最小值为 11分因为，所以，即不满足题意，舍去 12分综上所述: 13分19（本小题共14分）（）由短轴长为，得， 1分由，得椭圆的标准方程为 4分（）以为直径的圆过定点 5分证明如下：设，则，且，即，直线方程为：， 6分直线方程为：， 7分以为直径的圆为 10分【或通过求得圆心，得到圆的方程】即， ， 12分令，则，解得.以为直径的圆过定点 14分20（本小题共13分）（）1,4,7 3分（）由，得当时， 4分当时， 5分当时， 6分当时， 7分 8分（III） 当时， 9分由得：因为使得成立的的最大值为，所以 当时： 11分当时： 12分所以 13分【注：若有其它解法，请酌情给分】
