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1、顺义区2015届高三第一次统一练习数学试卷(文科)一、选择题.(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合,则A.B.C.D.2.下列函数中,既是奇函数又在区间上单调递减的是A.B.C.D.3.在复平面内,复数对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.当时,执行如图所示的程序框图,输出的的值等于A.2B.4C.7D.115.若,则的取值范围是A.输出S结束否开始是B.C.D.6.函数的图像关于轴对称的充分必要条件是A.B.C.D.7.已知无穷数列是等差数列,公差为,前项和为,则A.当首项时,数列是递减数列且有最大值
2、B.当首项时,数列是递减数列且有最小值C.当首项时,数列是递增数列且有最大值D.当首项时,数列是递减数列且有最大值8.某桶装水运营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如下表所示:销售单价/元67891011日均销售量/桶480440400360320280设在进价基础上增加元后,日均销售利润为元,且.该经营部要想获得最大利润,每桶水在进价的基础上应增加A.3元B.4元C.5元D.6元二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.双曲线的离心率为,则 ,其渐近线方程为 .10.不等式组所表示平面区域的面积为 .11.设向量,若,则实数
3、 .12.已知函数,则在闭区间上的最小值为 ,最大值为 .13.已知直线,点是圆上的动点,则点到直线的距离的最小值为 .14.已知函数.又且的最小值等于,则的值为 .三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)设数列满足:.(I)求的通项公式及前项和;(II)已知是等比数列,且.求数列的前项和.16.(本小题满分13分)在中,角所对的边分别为,已知, 为钝角.(I)求的值;(II)求的值.17.(本小题满分14分)如图(1),在Rt中,分别是上的点,且.将沿折起到的位置,使,如图(2).(I)求证:平面;(II)求证:;(III)线
4、段上是否存在点,使平面.若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.18.(本小题满分13分)某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查,抽调了50名市民,他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表:月收入(单位:百元)频数51055频率0.10.20.10.1赞成人数4812531(I)若所抽调的50名市民中,收入在的有15名,求的值,并完成频率分布直方图;(II)若从收入(单位:百元)在的被调查者中随机选取两人进行追踪调查,求选中的2人至少有1人不赞成“楼市限购令”的概率.19.(本小题满分14分)已知椭圆.(I)求椭圆的离心率;(II)设椭圆与轴下半轴的交点为,如果直线
5、交椭圆于不同的两点,且构成以为底边,为顶点的等腰三角形,判断直线与圆的位置关系.20.(本小题满分13分)已知函数.(I)当时,求函数的单调区间;(II)设,且函数在点处的切线为,直线,且在轴上的截距为1,求证:无论取任何实数,函数的图像恒在直线的下方;(III)已知点,且当时,直线的斜率恒小于2,求实数的取值范围.顺义区2015届高三第一次统一练习数学试卷答案(文科)一、CBBD DCAD二、9. 10. 11. 12. 13. 14.三、15.解:(I)因为,所以,所以数列是以为首项,公差的等差数列,所以, . .4分. . .6分(II)由(I)可知,所以,所以 . .9分设等比数列的公
6、比为,则,所以, . .11分所以数列的前项和. . .12分16.解:(I)在中,因为,所以. .3分由正弦定理,得. . .6分(II)因为为钝角,所以，. .8分由(I)可知, 又 所以 .10分 . .13分17.(I)证明:因为分别为上的点,且,又因为,所以平面. . .3分(II)证明:因为,所以,由题意可知, . .4分又,所以, . .5分所以, . .6分所以, . .7分又,且,所以, . .8分又,所以. . .9分(III)解:线段上存在点,使平面.理由如下:因为,所以,在Rt中,过点作于,由(II)可知,又所以,又,所以,. .12分因为,所以平面,故线段上存在点,使
7、平面. .13分如图（1），因为 ,所以， ，即 ,所以， .所以，如图（2），在 中, 所以， ,在 中, . .14分18.解:(I)由频率分布表得,即.因为所抽调的50名市民中,收入(单位:百元)在的有15名,所以,所以,所以,且频率分布直方图如下: . .4分(II)设收入(单位:百元)在的被调查者中赞成的分别是,不赞成的分别是,事件:选中的2人中至少有1人不赞成“楼市限购令”,则从收入(单位:百元)在的被调查者中,任选2名的基本事件共有10个:, . .10分事件包含的结果是, 共7个, . .11分所以, . .12分故所求概率为. . .13分19.解:(I)由题意,椭圆的标准方
8、程为,所以,因此,故椭圆的离心率. . .4分(II)由得,由题意可知. . .5分设点的坐标分别为,的中点的坐标为,则,. .7分因为是以为底边,为顶点的等腰三角形,所以,因此的斜率. . .8分又点的坐标为,所以,. .10分即,亦即,所以, . .12分故的方程为. . .13分又圆的圆心到直线的距离为,所以直线与圆相离. . .14分20.(I)解:, . .2 分所以,时,与的变化情况如下:-0+因此,函数的单调递增区间为,单调递减区间为. . .4分(II)证明:,所以,所以的斜率.因为,且在轴上的截距为1,所以直线的方程为 . .6分令,则无论取任何实数,函数的图像恒在直线的下方,等价于, . .7分而.当时,当时,所以函数的上单调递增,在上单调递减,从而当时,取得极大值,即在上,取得最大值,.8分所以,因此,无论取任何实数,函数的图像恒在直线的下方. . .9分(III)因为,所以,所以当时,即恒成立. . .10分令,则,因为,所以.(i)当时,此时,所以在上单调递增,有不满足题意;(ii)当时,所以当时,当时,所以至少存在,使得不满足题意;(iii)当时,此时,所以在上单调递减,满足题意.综上可得,故所求实数的取值范围是. . .13分
