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1、2015届德化一中高三第二次月考试卷理科数学 满分：150分，考试时间：120分钟参考公式：球的表面积（其中为球的半径）第卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求1已知集合A=，则=【】 A3，4，5 B4,5,6 Cx|3x6 Dx|3x62 命题“如果实数能被2整除，则是偶数”的否命题是【】 A如果实数不能被2整除，则是偶数 B如果实数能被2整除，则不是偶数C如果实数不能被2整除，则不是偶数D存在一个能被2整除的数，它不是偶数3如果，则【】A BC D 4设是定义在上的奇函数，当x0时，则【】 A3 B1 C1 D35.
2、一个棱长为2的正方体，它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为【】A B C D.O124533-26如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是【】A函数在区间上单调递增B函数在处取得极大值C函数在上单调递增 D当时，取极大值7.设（其中为自然对数的底数），则的值为【】A B. C. D. 8. 设为平面， 为直线，则的一个充分条件是【】A B C D9. 在正n棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围是【】A B C D10已知函数，则关于x的方程有5个不同实数解的充要条件是【】 ABCD第卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分11.已知数列的通项公
3、式，则它的前10项和. 12.在中，角、所对应的边分别为、，若，角 成等差数列，则.13在集合内任取一个元素，能满足约束条件的概率为.14.在空间直角坐标系中， 各点的坐标分别为，其中，若要使该三角形在平面中投影面积最大，则的值等于.15已知命题p：在上恒有意义，命题 q：存在，使得不等式成立，若 “p且q”为真命题，则实数的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分13分）如图，圆:与抛物线：的一个交点M，且抛物线在点M处的切线过圆心.求和的标准方程. 17（本小题满分13分）ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量=
4、（2sinB，2-cos2B），,且（I）求角B的大小；（II）若ABC不是钝角三角形，且，b=1，求的面积18（本小题满分13分）已知二次函数有两个零点0和2，且最小值是1，函数与的图象关于原点对称（I）求和的解析式；（II）若满足，且时，若方程的所有正根从小到大依次排列所得数列记为，求数列的前10项和19（本小题满分13分）如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，在梯形ABCD中，分别是以DB和CD为斜边的等腰直角三角形，AD=1（I）求证AF平面ABCD；（II）求直线FC与平面ABCD所成角的正弦值；（III）在线段CE上是否存在点M，使得DM平面FAB，如果存在，说明
5、点M满足的条件，如果不存在，说明理由20（本小题满分14分）函数，在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.（I）求函数的解析式；（II）将的图象上每个点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位得到函数，若设图象在轴右侧第一个最高点为P，试问图象上是否存在点，使得，若存在请求出满足条件的点Q的个数，若不存在，说明理由.21（本小题满分14分）已知函数(为自然对数的底数，为常数）对于函数，若存在常数，对于任意，不等式都成立，则称直线是函数的分界线（I）若，求的极值；（II）讨论函数的单调性；（III）设，试探究函数与函数是否存在“分界线”？若存在
6、，求出分界线方程；若不存在，试说明理由2015届德化一中高三年第二次月考数学（理）参考解答及评分标准参考公式：球的表面积（其中为球的半径）第卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求1已知集合A=，则=【B】 A3，4，5 B4,5,6 Cx|3x6 Dx|3x62 命题“如果实数能被2整除，则是偶数”的否命题是【C】 A如果实数不能被2整除，则是偶数 B如果实数能被2整除，则不是偶数C如果实数不能被2整除，则不是偶数D存在一个能被2整除的数，它不是偶数3如果，则【D】A BCD 4设是定义在上的奇函数，当x0时，则【A】 A
7、3 B1 C1 D35.一个棱长为2的正方体，它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为【B】A B C D.O124533-26如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是【C】A函数在区间上单调递增B函数在处取得极大值C函数在上单调递增 D当时，取极大值7.设（其中为自然对数的底数），则的值为【C】A B. C. D. 8. 设为平面， 为直线，则的一个充分条件是【A】A B C D9. 在正n棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围是【B】A B C D10已知函数，则关于x的方程有5个不同实数解的充要条件是【D】 ABCD第卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题
8、4分，共20分11.已知数列的通项公式，则它的前10项和.12.在中，角、所对应的边分别为、，若，角 成等差数列，则.13在集合内任取一个元素，能满足约束条件的概率为.14.在空间直角坐标系中， 各点的坐标分别为，其中，若要使该三角形在平面中投影面积最大，则的值等于.15已知命题p：在上恒有意义，命题 q：存在，使得不等式成立，若 “p且q”为真命题，则实数的取值范围是. 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分13分）如图，圆:与抛物线：的一个交点M，且抛物线在点M处的切线过圆心.求和的标准方程. 解:把M代入：得，故： 6分由得，从而在
9、点M处的切线方程为 8分令有，圆心（1，0）， 10分又M 在圆上 所以，解得，故： 13分17（本小题满分13分）ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量=（2sinB，2-cos2B），,且（I）求角B的大小；（II）若ABC不是钝角三角形，且，b=1，求的面积解：（I） 1分 3分（II）法一：因为ABC不是钝角三角形8分法二：因为ABC不是钝角三角形8分由余弦定理得：10分经检验，当时，ABC是钝角三角形，不符合题意，舍去11分所以则13分18（本小题满分13分）已知二次函数有两个零点0和2，且最小值是1，函数与的图象关于原点对称（I）求和的解析式；（II）若满足，且时，若方
10、程的所有正根从小到大依次排列所得数列记为，求数列的前10项和解：（I）依题意，设1分图象的对称轴是，即，得.3分.4分又函数g(x)的图象与的图象关于原点对称，.6分（II）由得函数是以2为周期的周期函数，7分又时，故时，的根为，9分类似的，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，11分从而 13分19（本小题满分13分）如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，在梯形ABCD中，分别是以DB和CD为斜边的等腰直角三角形，AD=1（I）求证AF平面ABCD；（II）求直线FC与平面ABCD所成角的正弦值；（III）在线段CE上是否存在点M，使得DM平面FAB，如果存在，说明点M
11、满足的条件，如果不存在，说明理由（I）证明：是正方形，又平面ADEF和平面ABCD互相垂直，且相交于AD，平面ADEFAF平面ABCD3分（II）法一：由（1）得AF平面ABCD，FC在平面ABCD上的射影是AC，FC和平面ABCD所成的角为5分，在中，又，在中，7分8分法二：由（1）得AF平面ABCD，又，故两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系，4分并且可求得，5分又平面ABCD的法向量为， 6分设直线FC与平面ABCD所成角为，则 8分（III）法一：平面FAB，平面FAB 9分在梯形ABCD中，平面FAB，平面FAB 10分由及，得平面平面FAB， 11分又不论M在线段CE的何种位置
12、，都有平面EDC所以不论M在线段CE的何种位置，都有DM平面FAB 13分法二：在（2）所建的空间直角坐标系中，因为轴平面FAB，所以可取平面FAB的法向量为 9分设，则， 11分若DM平面FAB，则即，因为上式对于任意的恒成立，故不论M在线段CE的何种位置，都有DM平面FAB13分20（本小题满分14分）函数，在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.()求函数的解析式；()将的图象上每个点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位得到函数，若设图象在轴右侧第一个最高点为P，试问图象上是否存在点，使得，若存在请求出满足条件的点Q的个数，若不存在
13、，说明理由.解:(1)由已知得: =2分A为图象的最高点，A的纵坐标为又为正三角形，所以3分可得 即 得5分6分（2）由题意可得8分法一：作出如右图象，由图象可知满足条件的点Q是存在的，而且有两个10分注：以上方法虽然能够得到答案，但其理由可信度不高，故无法给满分。法二：由得，即，由此作出函数及图象，由图象可知满足条件的Q点有两个。12分注：数形结合是我们解题中常用的方法，但就其严密性而言，仍有欠缺和不足。法三：由得，即，问题转化为研讨函数零点个数。当时，恒成立，从而说明函数在中是单调递增函数，10分又故存在，使得从而函数在区间单调递减，在区间单调递增，12分又，由零点存在定理得函数在区间和区
14、间上各有一个零点14分注：该方法解题严密，但对学生数学素养要求较高。本题还有其他不少做法，大家可以再去研讨。21（本小题满分14分）已知函数(为自然对数的底数，为常数）对于函数，若存在常数，对于任意，不等式都成立，则称直线是函数的分界线（I）若，求的极值；（II）讨论函数的单调性；（III）设，试探究函数与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由解：（I）若，则，由得又得； 得，在单调递增，在单调递减；在处取得极大值,无极小值 2分（II），3分当时，由得由得函数在区间上是增函数，在区间上是减函数：5分当时，对恒成立，此时函数是区间上的增函数；6分当时，由得由得函数在区间上是增函数，在区间上是减函数 8分（III）若存在，则恒成立，令，则，所以， 9分因此：对恒成立，即对恒成立，由得到， 11分现在只要判断是否恒成立， 设，则，当时，当时， 13分所以，即恒成立，所以函数与函数存在“分界线”，且方程为14分
