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1、重庆市巴蜀中学高2015级高三（下）第四次月考数学试题卷（理科）一.选择题(每小题5分，共50分)1.设全集是实数集R，则（ ） A. B. C. D. 2已知向量，则 可以为 ( )A B C D 3. 已知命题 命题，则 （ ）A. 命题是假命题 B. 命题是真命题 C. 命题是假命题 D. 命题是真命题4. 正项等比数列中，若，则等于( ) A.-16B. 10C. 16D.256零售价（元/瓶）销量（瓶）5044434035285. 某小卖部销售一品牌饮料的零售价（元/瓶）与销量（瓶）的关系统计如下：已知的关系符合线性回归方程，其中，当单价为元时，估计该小卖部销售这种品牌饮料的销量为
2、( ) A B C D6. 执行如图所示程序框图，则输出的（ ）A. B. 2012C. D. 2013 7若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体外接球的表面积是( )A6 B C. D 8. 过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线FE交该双曲线右支于点 ，若，且则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D.9. 函数，关于x的方程恰有三个不同实数解，则实数的取值范围为 （ ） 10.若存在满足且为常量）的变量使得表达式有最大值，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D.二. 填空题（每小题5分，共25分）11. 设是虚数单位，复数 .12. 已知圆与直线相交于、两点，则当的面积为时，实数的
3、值为 13 将6名教师全部安排去开发四门课程，要求每门课程至少有一名教师开发，每名教师只开发一门课程，且这6名中甲、乙两人不开发 课程，则不同的安排方案共有 种(用数字作答)考生注意：14、15、16三题选做两题.14. 如图，圆的直径与弦交于点， ，则 15已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）设直线与轴的交点是，是曲线一动点，则的最大值为_16. 不等式的解为三.解答题（共75分）17某种食品是经过、三道工序加工而成的，、工序的产品合格率分别为、已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；有两道合格为二等品；其它的为废品，不进入市场（）正式生产前先试
4、生产1袋食品，求其为废品的概率；（）设为某件产品在三道加工工序中合格的次数，求的分布列和数学期望 18. 如图，菱形的边长为，对角线交于点，.（1）求证： ；（2）若，上一点满足，求直线与平面所成角的正弦值 . 19. 已知向量，（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在中，内角的对边分别为，若，求（）的取值范围. 20. 已知处的切线为（I）求的值；（II）若的极值；（III）设，是否存在实数（，为自然常数）时，函数的最小值为3. 21. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，两个顶点分别为过点的直线交椭圆于两点，直线与的交点为（1）求实数的值； （2）当直线的斜率1时，若椭圆上恰有两个点使
5、得和的面积为，求的取值范围；（3）求证：点 在一条定直线上 22. 已知数列的前项和为且 （1）求数列的通项公式 （2）设求证： 重庆市巴蜀中学高2015级高三（下）第四次月考数学答案一.选择题 AADCD BCBDA二. 填空题11. 12. 13. 14. 15. 16. 10. 解：设过点的直线与轴的正半轴分别交于点,点为坐标原点，且设,则有,而设令那么,要使有最大值，必有在上有最小值，因为当且仅当时等号成立，根据的范围可求得.17解：（）为废品的概率 （） 18. 解析：(1)略 （2）建系如图所示：则， 设平面BCE的法向量为，则取，则 .设直线AF和平面BCE所成的角为，则sin=
6、.19. 解析：（1） （2）+由正弦定理得或因为，所以,所以 .20.解: ()易得 () 时,定义域为极小值可以看出,当时,函数有极小值 () 当时，所以在上单调递减，（舍）当时,(i)当时,，在上恒成立所以在上单调递减，（舍）(ii)当时, ，当时,所以在上递减当时,在上递增所以, 所以满足条件.综上，存在使时有最小值。 21解析: （1）a2， b1 （2）由题设可知，椭圆的方程为4(x2)y21，直线MN的方程为yx1设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组4(x2)yx1(y21)，消去y可得5x28x0，解得x10，x25(8) 将x10，x25(8)，代入直线MN的方程
7、，解得y11，y25(3)所以MN2( )5(8)2( ) 设与直线MN平行的直线m方程为yx联立方程组4(x2)yx(y21)，消去y可得5x28x4240，若直线m与椭圆只有一个交点，则满足64220(424)0，解得5( ) 当直线m为yx5( )时，直线l与m之间的距离为d15( )2( )2( )5( )2( )2( )；当直线m为yx5( )时，直线l与m之间的距离为d25( )2( )2( )5( )2( )2( )； 设点C到MN的距离为d，要使CMN的面积为S的点C恰有两个，则需满足d1dd2，即5( )2( )2( )d5( )2( )2( )因为S2(1)dMN5(4)2
8、( )d，所以5( )5(4)S5( )5(4) （3）方法一. 设直线A1M的方程为yk1(x2)，直线A2N的方程为yk2(x2) 联立方程组4(x2)x2(y21)，消去y得(14k12)x216k12x16k1240， 解得点M的坐标为(14k12(28k12)，14k12(4k1)同理，可解得点N的坐标为(14k22(8k222)，14k22(4k2) 由M，D，N三点共线，有14k12(4k1)14k12(28k12)1(28k12)14k22(4k2)14k22(8k222)1(8k222)，化简得(k23k1)(4k1k21)0由题设可知k1与k2同号，所以k23k1 联立方程
9、组x2(x2)，解得交点G的坐标为(k2k1(k1k2)，k2k1(4k1k2)将k23k1代入点G的横坐标，得xGk2k1(k1k2)3k1k1(k13k1)4 所以，点G恒在定直线x4上 方法二. 显然，直线MN的斜率为0时不合题意 设直线MN的方程为xmy1 令m0，解得M(1，3( )3)，N(1，3( )3)或M(1，3( )3)，N(1，3( )3) 当M(1，3( )3)，N(1，3( )3)时，直线A1M的方程为y3( )3x3( )3，直线A2N的方程为y3( )3x3( ) 联立方程组3( )33( )33( )33( )3( )，解得交点G的坐标为(4，3( )； 当M(
10、1，3( )3)，N(1，3( )3)时，由对称性可知交点G的坐标为(4，3( ) 若点G恒在一条定直线上，则此定直线必为x4 下面证明对于任意的实数m，直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x4上 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，G(4，y0) 由点A1，M，G三点共线，有x12(y10)42(y0)，即y0x12(6y1)再由点A2，N，G三点共线，有x22(y20)42(y0)，即y0x22(2y2) 所以，x12(6y1)x22(2y2) 将x1my11，x2my21代入式，化简得2my1y23(y1y2)0 联立方程组4(x2)xmy1(y21)，消去x得(m24)y22my30，从而有y1y2m24(2m)，y1y2m24(3) 将其代入式，有2mm24(3)3m24(2m)0成立 所以，当m为任意实数时，直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x4上 22解：（1）由已知得,两式相减得,所以数列是以为首项、3为公差的等差数列，可得又也满足此式，即（2）所证的不等式为,下用数学归纳法： 当时，左边=右边,不等式成立； 假设当时，有成立，则当时有下面我们只需证明即可，等价于证明,等价于证明（），设只需证明成立，令,则函数的导数那么函数在上是减函数，所以有又即成立，从而不等式（）成立. 由、可知，所证不等式成立.
